Bases de un espacio vectorial

Por Carlos Martínez
Bases de un espacio vectorial

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post aprenderás a trabajar los conceptos básicos de los espacios vectoriales. En concreto, aprenderás los conceptos de dependencia e independencia lineal, sistema de generadores y finalmente aprenderás a trabajar con bases de un espacio vectorial.

Para la correcta comprensión de las siguientes líneas se recomienda haber cursado asignaturas de álgebra y geometría y conocer los conceptos de espacio vectorial así como sus principales propiedades.

Dependencia e independencia lineal

Comenzamos esta sección considerando un conjunto de \(n\) vectores, \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \ldots, \overrightarrow{v_n}\) de un espacio vectorial V. Una combinación lineal de esos vectores no es más que un vector de la forma,

$$ \lambda_1\cdot \overrightarrow{v_1}+\lambda_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +\lambda_n\cdot \overrightarrow{v_n} $$

donde \(\lambda_i\) son escalares con \(i=1,\ldots, n\)

Bajo estas suposiciones, un conjunto \(\{\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \ldots, \overrightarrow{v_n}\}\) es un conjunto linealmente dependiente si existen escalares \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots ,\lambda_n\) no todos nulos tales que se verifica,

$$
\lambda_1\cdot\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\cdot\overrightarrow{v_2}+\cdots + \lambda_n\cdot\overrightarrow{v_n}=0
$$

Es decir, 0 se puede escribir como combinación lineal no trivial de los vectores \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2},\ldots, \overrightarrow{v_n}\). Equivalentemente se dice que los vectores \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2},\ldots, \overrightarrow{v_n}\) son linealmente dependientes.

Por otra parte, un conjunto de vectores \(\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\ldots, \overrightarrow{v_n}\}\) es un conjunto linealmente independiente si para toda combinación lineal de la forma,

$$
\lambda_1\cdot\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\cdot\overrightarrow{v_2}+\cdots +\lambda_n\cdot\overrightarrow{v_n}=0
$$

Se verifica que \(\lambda_1= \lambda_2=\cdots=\lambda_n=0\). Equivalentemente se dirá que los vectores \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\ldots, \overrightarrow{v_n}\) son linealmente independientes.

Para una mejor comprensión de estos conceptos veamos un ejemplo,

Consideremos el conjunto de vectores \(\{(0,2,-4), (1,-2,1), (1,4,3)\}\)

Para comprobar si son o no linealmente dependientes o independientes vamos a plantear la combinación lineal,

$$
(0,2,-4)\cdot \lambda_1+ (1,-2,1)\cdot \lambda_2+(1,4,3)\cdot \lambda_3=0
$$

Desarrollando coordenada a coordenada obtenemos el siguiente sistema,

\begin{align}
\lambda_2+\lambda_3&=0\\
2\lambda_1-2\lambda_2+4\lambda_3&=0\\
-4\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3&=0
\end{align}

Cuya solución viene dada por \( \lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=0\), por lo que podemos concluir que estamos ante un conjunto de vectores linealmente independientes.

Sistema de generadores de un espacio vectorial

Dado un conjunto de vectores \(\{\overrightarrow{v_1},\ldots, \overrightarrow{v_n}\}\) de un espacio vectorial \(V\), se dice que dicho conjunto de vectores es un sistema de generadores del espacio vectorial \(V\) si todo vector de \(V\) puede escribirse como combinación lineal de los vectores \(\{\overrightarrow{v_1},\ldots, \overrightarrow{v_n}\}\), es decir, si para todo \(\overrightarrow{v}\in V\) existen \(\lambda_1,\ldots, \lambda_n\) tales que,

$$
\overrightarrow{v}=\lambda_1\cdot v_1+\cdots +\lambda_n\cdot v_n
$$

Bases de un espacio vectorial

Comenzamos esta sección introduciendo el concepto de base de un espacio vecorial.

Un conjunto de vectores \(\{\overrightarrow{v_1},\ldots ,\overrightarrow{v_n}\}\) de un espacio vectorial \(V\) es una base de \(V\) si se cumplen las siguientes condiciones:

  • \(\{\overrightarrow{v_1},\ldots ,\overrightarrow{v_n}\}\) es un sistema generador de \(V\)
  • \(\{\overrightarrow{v_1},\ldots ,\overrightarrow{v_n}\}\) es linealmente independiente

A continuación vamos a dar un resultado teórico que permite de manera bastante sencilla comprobar en la práctica si un conjunto de vectores es base de un espacio vectorial.

base del espacio vectorial
Base del espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\)

Propiedad bases de un espacio vectorial

Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\), dado un conjunto \(\mathcal{B}=\{\overrightarrow{v_1},\ldots ,\overrightarrow{v_n}\}\) con \(n\) vectores de \(V\). Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

  • \(\mathcal{B}\) es una base del espacio vectorial V.
  • \(\mathcal{B}\) es un sistema de generadores de V.
  • \(\mathcal{B}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Para ver como se aplica este resultado vamos a resolver unos ejercicios.

Ejercicio resuelto 1

Comprueba que el conjunto es una base del espacio vectorial

Este es un ejercicio típico de bases de un espacio vectorial. En este caso tenemos un espacio vectorial de dimensión 3 y un conjunto candidato a base formado por tres vectores, por tanto podemos aplicar el resultado teórico anterior. Así, solo tendremos que comprobar que los vectores son linealmente independientes para afirmar que son base del espacio vectorial.

Para comprobar que tres vectores son linealmente independientes se puede aplicar la definición anteriormente vista, es decir, tenemos que imponer
$$
0=\lambda_1\cdot(2,4,1)+\lambda_2 \cdot (1,0,1)+\lambda_3 \cdot (1,1,3)
$$
Y comprobar que dicha igualdad es cierta solo si \( \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\).

Este problema planteado así es equivalente a resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y existe una manera equivalente de comprobar si tres vectores de \(\mathbb{R}^3\) son linealmente independientes. Si el determinante de tres vectores es 0 dichos vectores son linealmente dependientes mientras que si el determinante es distinto de 0 los vectores son linealmente independientes.

$$
\begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{vmatrix}
=(0+1+4)-(0+2+12)=-9\neq 0
$$

Podemos afirmar que los vectores son linealmente independientes y por tanto aseguramos que el conjunto \( \{(2,4,1),(1,0,1),(1,1,3)\}\) es una base del espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\)

Ejercicio resuelto 2

Halla el valor de para que el conjunto forme una base de .

En este ejercicio de bases de un espacio vectorial utilizaremos la misma estrategia que antes, necesitamos que el conjunto de 3 vectores en el espacio vectorial de dimensión 3 sea linealmente independiente. Debemos exigir por tanto que el determinante de los tres vectores sea distinto de 0.

Buscamos el valor de \(x\) que hace que el determinante valga 0,

$$
\begin{vmatrix}
2 & 5& 1 \\
1 & 2 & 3 \\
0 & x & 0
\end{vmatrix}
=(0+x+0)-(0+6x+0)=0 \Leftrightarrow -5x=0 \Leftrightarrow x=0
$$

Para el valor \(x=0\) se obtiene un sistema linealmente dependiente por lo tanto para \(x\neq 0\) se obtiene un sistema linealmente independiente y por tanto una base de \(\mathbb{R}^3\)

Coordenadas de un vector en una base

Consideremos una base \(\mathcal{B}=\{\overrightarrow{v_1}, \ldots , \overrightarrow{v_n}\}\) de un espacio vectorial V. Siempre se verifica que todo vector \(\overrightarrow{v}\) de \(V\) se expresa de manera única como combinación lineal de los elementos de la base, es decir, existen escalares \(\lambda_1,\ldots , \lambda_n\) tales que

◂=▸v=◂⋅▸λ1v1++◂⋅▸λnvn

Se dice entonces que \((\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)\) son las coordenadas del vector \(\overrightarrow{v}\) en la base \(\mathcal{B}\) y se escribe,

$$
\overrightarrow{v}=(\lambda_1,\ldots , \lambda_n)_\mathcal{B}
$$

Ejercicio resuelto

Calcula las coordenadas del vector \(\overrightarrow{v}=(1,2,4)\) en la base \(\mathcal{B}=\{ (0,2,-4), (1,2,1),(1,0,3) \}\)

Escribimos \(\overrightarrow{v}\) como combinación lineal de los vectores de la base,

$$
(1,2,4)=\lambda_1\cdot (0,2,-4)+\lambda_2 \cdot (1,2,1)+\lambda_3\cdot (1,0,3)
$$

Desarrollando coordenada a coordenada obtenemos el sistema,

\begin{align}
1&=\lambda_2+\lambda_3\\
2&=2\lambda_1+2\lambda_2 \\
4&=-4\lambda_1+\lambda2+3\lambda_3
\end{align}

La solución de este sistema viene dada por,

$$
\lambda_1=-\dfrac{3}{2} \qquad \lambda_2=\dfrac{5}{2} \qquad \lambda_3=-\dfrac{3}{2}
$$

Así, las coordenadas de \(\overrightarrow{v}\) en la base \(\mathcal{B}\) vienen dadas por,

$$
\overrightarrow{v}=\left( -\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{3}{2} \right)_\mathcal{B}
$$

Matriz cambio de base entre espacios vectoriales

Supongamos que tenemos un espacio vectorial \(V\) de dimensión \(n\) y dos bases de dicho espacio \(\mathcal{B}\) y \(\mathcal{B’}\) dadas por,

$$
\mathcal{B}=\{\overrightarrow{v_1},\ldots ,\overrightarrow{v_n} \} \qquad \mathcal{B’}=\{\overrightarrow{v’_1},\ldots ,\overrightarrow{v’_n} \}
$$

Dado un vector cualquiera \(\overrightarrow{u}\) de \(V\), queremos averiguar la relación que existe entre las coordenadas de dicho vector respecto de las dos bases.

Supongamos que las coordenadas de \(\overrightarrow{u}\) en cada base vienen dadas por,
$$
(x_1,\ldots ,x_n)_\mathcal{B} \qquad (x’_1,\ldots , x’_n)_\mathcal{B’}
$$

Si queremos obtener la matriz cambio de base de \(\mathcal{B’}\) a \(\mathcal{B}\) no tenemos más que escribir cada vector de \(\mathcal{B’}\) como combinación lineal de los vectores de \(\mathcal{B}\)

\begin{align}
v’_1&=a_{11}\overrightarrow{v_1} +a_{21}\overrightarrow{v_2}+\dots + a_{n1}\overrightarrow{v_n} \\
v’_2&=a_{12}\overrightarrow{v_1} +a_{22}\overrightarrow{v_2}+\dots + a_{n2}\overrightarrow{v_n} \\
\cdots& \\
v’_n&=a_{1n}\overrightarrow{v_1} +a_{2n}\overrightarrow{v_2}+\dots + a_{nn}\overrightarrow{v_n} \\
\end{align}

Las coordenadas de cada vector de la base \(\mathcal{B’}\) en la base \(\mathcal{B}\) se pueden escribir por columnas en una matriz de la forma,

$$
P=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
$$

A la matriz \(P\) se le denomina matriz cambio de base de \(\mathcal{B’}\) a \(\mathcal{B}\) mientras que a la matriz \(P^{-1}\) se le denomina matriz cambio de base de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B’}\)

Si atendemos a las coordenadas del vector \(\overrightarrow{u}\) (que definíamos inicialmente) podemos escribir las coordenadas de \(\overrightarrow{u}\) en \(\mathcal{B}\) como \(X=(x_1,\ldots ,x_n)\) y las coordenadas de \(\overrightarrow{u}\) en \(\mathcal{B’}\) como \(X’=(x’_1,\ldots ,x’_n)\). Entonces se verifica:

$$
X=PX’
$$

Es decir, si tenemos las coordenadas del vector \(\overrightarrow{u}\) en \(\mathcal{B’}\) y la matriz cambio de base, las coordenadas de \(\overrightarrow{u}\) en \(\mathcal{B}\) se obtienen sin más que multiplicar \(PX’\).

Si se despeja la matriz \(X’\) de la anterior igualdad se obtiene,

$$
X’=P^{-1}X
$$

Es decir, si tenemos las coordenadas del vector \(\overrightarrow{u}\) en \(\mathcal{B}\) y la matriz cambio de base, las coordenadas de \(\overrightarrow{u}\) en \(\mathcal{B’}\) se obtienen sin más que multiplicar \(P^{-1}X’\). Con \(P^{-1}\) la matriz inversa de \(P\).

En cuanto a notación es importante resaltar que la matriz cambio de base de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B’}\) se puede escribir como

$$
M(\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{B’})
$$

Mientras que la matriz cambio de base de \(\mathcal{B’}\) a \(\mathcal{B}\) se puede escribir de la forma

$$
M(\mathcal{B’}\rightarrow \mathcal{B})
$$

Matriz cambio de base espacio vectorial

Ejercicio resuelto

Calcula las matrices cambio de base de las bases,

$$
\mathcal{B}=\{(1,1,1),(1,2,1),(1,0,0)\} \qquad \mathcal{B’}=\{(0,0,1),(1,2,0),(0,1,1) \}
$$

Comenzamos calculando la matriz \(P=M(\mathcal{B’}\rightarrow \mathcal{B})\). Para ello escribimos los vectores de \(\mathcal{B’}\) como combinación lineal de los vectores de \( \mathcal{B}\)

$$
(1,1,1)=a_{11}\cdot (0,0,1)+a_{21}\cdot (1,2,0)+a_{31}\cdot (0,1,1)
$$

Obteniendo el sistema,

\begin{align}
1=a_{21}\\
1=2a_{21}+a_{31}\\
1=a_{11}+a_{31}
\end{align}

Cuya solución es

$$
a_{11}=2 \qquad a_{21}=1 \qquad a_{31}=-1
$$

Realizando lo mismo para el resto de vectores de la base se tiene,

$$
(1,2,1)=a_{12}\cdot (0,0,1)+a_{22}\cdot (1,2,0)+a_{32}\cdot (0,1,1)
$$
Obteniendo como solución,

$$
a_{12}=1 \qquad a_{22}=1 \qquad a_{32}=0
$$

Para el último vector tenemos,

$$
(1,0,0)=a_{13}\cdot (0,0,1)+a_{23}\cdot (1,2,0)+a_{33}\cdot (0,1,1)
$$

Obteniendo,

$$
a_{13}=2 \qquad a_{23}=1 \qquad a_{33}=-2
$$

Escribiendo los vectores por columnas obtenemos,

$$
P=M(\mathcal{B’}\rightarrow \mathcal{B})=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
$$

Finalmente para calcular \(M(\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{B’})\) calculamos la matriz inversa de la matriz anterior obteniendo,

$$
P^{-1}=M(\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{B’})=
\begin{pmatrix}
2 & -2 & 1 \\
-1 & 2 & 0 \\
-1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$


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Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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