Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Por Carlos Mart铆nez
Ecuaciones de segundo grado

漏2020 Carlos Mart铆nez Mart铆nez

A lo largo de este post podr谩s aprender qu茅 son y c贸mo se resuelven ecuaciones de segundo grado en sus diferentes formas. Adem谩s encontrar谩s ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado.

Las ecuaciones de segundo grado son un elemento destacado del 谩lgebra estudiada en los cursos de primero y segundo de E.S.O. Las soluciones de una ecuaci贸n de segundo grado no son m谩s que las ra铆ces de funciones cuadr谩ticas (par谩bolas) y es por ello que su tratamiento y resoluci贸n deben ser bien estudiados.

A continuaci贸n, estudiaremos los aspectos m谩s importantes de las ecuaciones de segundo grado adem谩s de realizar ejercicios paso a paso.

驴Qu茅 son las ecuaciones de segundo grado?

Una ecuaci贸n de segundo grado no es m谩s que una expresi贸n polin贸mica igualada a 0 tal que el grado m谩s elevado que se puede encontrar de la variable utilizada (normalmente \( x\) ) es 2.

Es posible definir expresi贸n general de una ecuaci贸n de segundo grado de la siguiente forma,

$$
ax^2+bx+c=0 \qquad \text{con} \quad a\neq 0 \quad b, c \in \mathbb{R}
$$

donde al valor \(a\) es el coeficiente cuadr谩tico, \(b\) es el coeficiente lineal y \(c\) es el t茅rmino independiente.

Estos son algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado,
$$
x^2-5x+7=0 \qquad 4x^2-16=0 \qquad 5x^2-3x=0
$$

Cuando una ecuaci贸n de segundo grado tiene todos los coeficientes distintos de 0 diremos que la ecuaci贸n es completa mientras que si alguno de los coeficientes \(b\) o \(c\) es igual a 0 se dice que la ecuaci贸n es incompleta.

Soluciones de una ecuaci贸n de segundo grado.

Cuando trabajamos con ecuaciones de segundo grado estamos trabajando con funciones cuadr谩ticas o par谩bolas. De forma m谩s concreta, la soluci贸n de una ecuaci贸n de segundo grado se corresponde con las ra铆ces de una funci贸n cuadr谩tica o polin贸mica de grado 2. As铆, cuando calculamos las soluciones de una ecuaci贸n de segundo grado estamos calculando los puntos donde una par谩bola corta al eje \(OX\)

soluciones ecuaci贸nes de segundo grado

Pasamos ahora a estudiar las soluciones de una ecuaci贸n de segundo grado en sus distintas formas.

Si nos encontramos ante una ecuaci贸n de segundo grado completa, es decir, de la forma,
$$
ax^2+bx+c=0
$$
Las soluciones vienen dadas por la siguiente formula,

$$
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

Al valor, \(b^2-4ac\) se le conoce como discriminante y se denota por la letra \(\Delta\). As铆, es posible obtener el n煤mero de soluciones de una ecuaci贸n de segundo grado completa en funci贸n del valor del discriminante.

  • Si \(\Delta\)>0 entonces la ecuaci贸n tiene dos soluciones.
  • Si \( \Delta \)<0 la ecuaci贸n no tiene soluci贸n real.
  • Si \(\Delta\)=0 la ecuaci贸n tiene una 煤nica soluci贸n.

Cuando nos encontramos ante una ecuaci贸n de segundo grado incompleta existen varias posibilidades para las soluciones en funci贸n de si \(b=0\) o \(c=0\)

Si \(b=0\) la ecuaci贸n de segundo grado queda en la forma,

$$
ax^2+c=0
$$

Y su soluci贸n viene dada por,
$$
x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}
$$

De donde se deduce que solo existir谩 soluci贸n de la ecuaci贸n de segundo grado si \(\dfrac{-c}{a}\geq 0\)

Si \(c=0\) la ecuaci贸n de segundo grado queda de la forma,

$$
ax^2+bx=0
$$

Cuya soluci贸n viene dada, extrayendo factor com煤n por,

$$
ax^2+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0  \\ ax+b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a} &  \end{matrix}\right.
$$

A continuaci贸n vamos a resolver diferentes ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

  • \(x^2-3x+2=0\)

Esta es una ecuaci贸n de segundo grado completa. Para su resoluci贸n solo hay que sustituir en la f贸rmula,
\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\\ \\
=&\dfrac{3\pm 1}{2}
\end{align}

Obteniendo como soluciones,
$$
x=\dfrac{3+1}{2}=2 \qquad \qquad x=\dfrac{3-1}{2}=1
$$

  • \(6x^2+7x=3\)

De nuevo nos encontramos ante una ecuaci贸n de segundo grado completa pero desordenada. As铆, el primer paso es dejar la ecuaci贸n igualada a 0.

$$
6x^2+7x=3\Leftrightarrow 6x^2+7x-3=0
$$

Y resolvemos sustituyendo en la f贸rmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot 6\cdot (-3)}}{2\cdot 6}\\ \\
=&\dfrac{-7\pm 11}{12}
\end{align}

Obteniendo como soluciones,
$$
x=\dfrac{-7+11}{12}=\dfrac{1}{3} \qquad \qquad x=\dfrac{-7-11}{12}=\dfrac{-3}{2}
$$

  • \(2x^2-32=0\)

En esta ocasi贸n estamos ante una ecuaci贸n de segundo grado incompleta (falta el t茅rmino b) por lo que la soluci贸n se obtiene despejando \(x^2\) y tomando ra铆ces,

$$
2x^2-32=0\Leftrightarrow 2x^2=32\Leftrightarrow x^2=16 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{16}
$$

Obteniendo las soluciones,

$$
x=+\sqrt{16}=4 \qquad \qquad x=-\sqrt{16}=-4
$$

  • \(5x^2=40x\)

Esta ecuaci贸n de segundo grado es incompleta (falta el t茅rmino independiente c) por lo que habr谩 que resolverla extrayendo factor com煤n tras igualarla previamente a 0.

$$
5x^2=40x\Leftrightarrow 5x^2-40x=0\Leftrightarrow x(5x-40)=0 \Leftrightarrow\left \{ \begin{matrix} x=0  \\ 5x-40=0\Leftrightarrow x=\dfrac{40}{5}=8 &  \end{matrix}\right.
$$

  • \(2x^2+x+3=0 \)

En esta ocasi贸n estamos ante una ecuaci贸n de segundo grado completa cuya soluci贸n se obtiene sustituyendo en la f贸rmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2}\\ \\
=&\dfrac{-2\pm \sqrt{-8}}{4}
\end{align}

En esta ecuaci贸n se obtiene un valor del discriminante \(\Delta=-8\) por lo que se obtiene una ra铆z cuadra negativa y por tanto no existe soluci贸n real de la ecuaci贸n.

  • \(\dfrac{1}{2}x^2-4x=0\)

Estamos ante una ecuaci贸n de segundo grado incompleta que se ha de resolver extrayendo factor com煤n,

$$
\dfrac{1}{2}x^2-4x=0\Leftrightarrow x(\dfrac{1}{2}x-4)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0  \\ \dfrac{1}{2}x-4=0\Leftrightarrow x=4\cdot 2=8 &  \end{matrix}\right.
$$

  • \(5x^2+25=0 \)

Esta ecuaci贸n de segundo grado es incompleta por lo que hay que resolver despejando \(x^2\) y tomando ra铆ces cuadradas.

$$
5x^2+25=0 \Leftrightarrow 5x^2=-25\Leftrightarrow x^2=\sqrt{-\dfrac{25}{5}}
$$

Como se obtiene una ra铆z negativa concluimos que no existe soluci贸n real

  • \(x^2-4x+4=0\)

Ecuaci贸n de segundo grado completa cuya soluci贸n se obtiene sustituyendo en la f贸rmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}\\ \\
=&\dfrac{4\pm \sqrt{0}}{2}
\end{align}

En este caso se obtiene una soluci贸n doble \(x=2\)

  • \((2x+3)(x+1)=1\)

Para resolver esta ecuaci贸n comenzamos desarrollando el producto de los par茅ntesis, sumando t茅rminos y dejando la ecuaci贸n igualada a 0.

\begin{align}
(2x+3)(x+1)&=1 \\
2x^2+2x+3x+3&=1\\
2x^2+5x+2&=0
\end{align}

Ahora nos encontramos con una ecuaci贸n completa de segundo grado cuya soluci贸n se obtiene sustituyendo en la f贸rmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}\\ \\
=&\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{4}=\dfrac{-5\pm 3}{4}
\end{align}

Obteniendo como soluci贸n,
$$
x=\dfrac{-5+3}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2} \qquad \qquad x=\dfrac{-5-3}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2
$$

  • \(2x(x-2)=x(3+x)\)

Comenzamos desarrollando los par茅ntesis en cada lado de la igualdad,

\begin{align}
2x(x-2)=x(3+x)\\
2x^2-4x=3x+x^2
\end{align}

Llevamos todos los t茅rminos a la izquierda para obtener una ecuaci贸n igualada a 0,

$$
2x^2-x^2-4x-3x=0\Leftrightarrow x^2-7x=0
$$

Y resolvemos la ecuaci贸n de segundo grado incompleta extrayendo factor com煤n,

$$
x^2-7x=0\Leftrightarrow x(x-7)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0  \\ x-7=0\Leftrightarrow x=7 &  \end{matrix}\right.
$$

Si quieres seguir practicando te invito a que visites esta entrada con ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltos paso a paso.


Si tienes dudas en cuanto a la resoluci贸n de ecuaciones de segundo grado o cualquier problema en matem谩ticas o estad铆stica puedes contactar conmigo. Adem谩s te invito a que dejes un comentario con cualquier duda o sugerencia que tengas.

Carlos Mart铆nez matem谩ticas y estad铆stica Granada

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