Ecuaciones de segundo grado

Por Carlos Martínez
Ecuaciones de segundo grado

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post podrás aprender qué son y cómo se resuelven ecuaciones de segundo grado en sus diferentes formas. Además encontrarás ejercicios resueltos paso a paso sobre ecuaciones de segundo grado.

Las ecuaciones de segundo grado son un elemento destacado del álgebra estudiada en los cursos de primero y segundo de E.S.O. Las soluciones de una ecuación de segundo grado no son más que las raíces de funciones cuadráticas (parábolas) y es por ello que su tratamiento y resolución deben ser bien estudiados.

A continuación, estudiaremos los aspectos más importantes de las ecuaciones de segundo grado además de realizar ejercicios paso a paso.

¿Qué son las ecuaciones de segundo grado?

Una ecuación de segundo grado no es más que una expresión polinómica igualada a 0 tal que el grado más elevado que se puede encontrar de la variable utilizada (normalmente \( x\) ) es 2.

Es posible definir expresión general de una ecuación de segundo grado de la siguiente forma,

$$
ax^2+bx+c=0 \qquad \text{con} \quad a\neq 0 \quad b, c \in \mathbb{R}
$$

donde al valor \(a\) es el coeficiente cuadrático, \(b\) es el coeficiente lineal y \(c\) es el término independiente.

Estos son algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado,
$$
x^2-5x+7=0 \qquad 4x^2-16=0 \qquad 5x^2-3x=0
$$

Cuando una ecuación de segundo grado tiene todos los coeficientes distintos de 0 diremos que la ecuación es completa mientras que si alguno de los coeficientes \(b\) o \(c\) es igual a 0 se dice que la ecuación es incompleta.

Soluciones de una ecuación de segundo grado.

Cuando trabajamos con ecuaciones de segundo grado estamos trabajando con funciones cuadráticas o parábolas. De forma más concreta, la solución de una ecuación de segundo grado se corresponde con las raíces de una función cuadrática o polinómica de grado 2. Así, cuando calculamos las soluciones de una ecuación de segundo grado estamos calculando los puntos donde una parábola corta al eje \(OX\)

soluciones ecuaciónes de segundo grado

Pasamos ahora a estudiar las soluciones de una ecuación de segundo grado en sus distintas formas.

Si nos encontramos ante una ecuación de segundo grado completa, es decir, de la forma,
$$
ax^2+bx+c=0
$$
Las soluciones vienen dadas por la siguiente formula,

$$
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

Al valor, \(b^2-4ac\) se le conoce como discriminante y se denota por la letra \(\Delta\). Así, es posible obtener el número de soluciones de una ecuación de segundo grado completa en función del valor del discriminante.

  • Si \(\Delta\)>0 entonces la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \( \Delta \)<0 la ecuación no tiene solución real.
  • Si \(\Delta\)=0 la ecuación tiene una única solución.

Cuando nos encontramos ante una ecuación de segundo grado incompleta existen varias posibilidades para las soluciones en función de si \(b=0\) o \(c=0\)

Si \(b=0\) la ecuación de segundo grado queda en la forma,

$$
ax^2+c=0
$$

Y su solución viene dada por,
$$
x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}
$$

De donde se deduce que solo existirá solución de la ecuación de segundo grado si \(\dfrac{-c}{a}\geq 0\)

Si \(c=0\) la ecuación de segundo grado queda de la forma,

$$
ax^2+bx=0
$$

Cuya solución viene dada, extrayendo factor común por,

$$
ax^2+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0  \\ ax+b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a} &  \end{matrix}\right.
$$

A continuación vamos a resolver diferentes ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

  • \(x^2-3x+2=0\)

Esta es una ecuación de segundo grado completa. Para su resolución solo hay que sustituir en la fórmula,
\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\\ \\
=&\dfrac{3\pm 1}{2}
\end{align}

Obteniendo como soluciones,
$$
x=\dfrac{3+1}{2}=2 \qquad \qquad x=\dfrac{3-1}{2}=1
$$

  • \(6x^2+7x=3\)

De nuevo nos encontramos ante una ecuación de segundo grado completa pero desordenada. Así, el primer paso es dejar la ecuación igualada a 0.

$$
6x^2+7x=3\Leftrightarrow 6x^2+7x-3=0
$$

Y resolvemos sustituyendo en la fórmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot 6\cdot (-3)}}{2\cdot 6}\\ \\
=&\dfrac{-7\pm 11}{12}
\end{align}

Obteniendo como soluciones,
$$
x=\dfrac{-7+11}{12}=\dfrac{1}{3} \qquad \qquad x=\dfrac{-7-11}{12}=\dfrac{-3}{2}
$$

  • \(2x^2-32=0\)

En esta ocasión estamos ante una ecuación de segundo grado incompleta (falta el término b) por lo que la solución se obtiene despejando \(x^2\) y tomando raíces,

$$
2x^2-32=0\Leftrightarrow 2x^2=32\Leftrightarrow x^2=16 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{16}
$$

Obteniendo las soluciones,

$$
x=+\sqrt{16}=4 \qquad \qquad x=-\sqrt{16}=-4
$$

  • \(5x^2=40x\)

Esta ecuación de segundo grado es incompleta (falta el término independiente c) por lo que habrá que resolverla extrayendo factor común tras igualarla previamente a 0.

$$
5x^2=40x\Leftrightarrow 5x^2-40x=0\Leftrightarrow x(5x-40)=0 \Leftrightarrow\left \{ \begin{matrix} x=0  \\ 5x-40=0\Leftrightarrow x=\dfrac{40}{5}=8 &  \end{matrix}\right.
$$

  • \(2x^2+x+3=0 \)

En esta ocasión estamos ante una ecuación de segundo grado completa cuya solución se obtiene sustituyendo en la fórmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2}\\ \\
=&\dfrac{-2\pm \sqrt{-8}}{4}
\end{align}

En esta ecuación se obtiene un valor del discriminante \(\Delta=-8\) por lo que se obtiene una raíz cuadra negativa y por tanto no existe solución real de la ecuación.

  • \(\dfrac{1}{2}x^2-4x=0\)

Estamos ante una ecuación de segundo grado incompleta que se ha de resolver extrayendo factor común,

$$
\dfrac{1}{2}x^2-4x=0\Leftrightarrow x(\dfrac{1}{2}x-4)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0  \\ \dfrac{1}{2}x-4=0\Leftrightarrow x=4\cdot 2=8 &  \end{matrix}\right.
$$

  • \(5x^2+25=0 \)

Esta ecuación de segundo grado es incompleta por lo que hay que resolver despejando \(x^2\) y tomando raíces cuadradas.

$$
5x^2+25=0 \Leftrightarrow 5x^2=-25\Leftrightarrow x^2=\sqrt{-\dfrac{25}{5}}
$$

Como se obtiene una raíz negativa concluimos que no existe solución real

  • \(x^2-4x+4=0\)

Ecuación de segundo grado completa cuya solución se obtiene sustituyendo en la fórmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}\\ \\
=&\dfrac{4\pm \sqrt{0}}{2}
\end{align}

En este caso se obtiene una solución doble \(x=2\)

  • \((2x+3)(x+1)=1\)

Para resolver esta ecuación comenzamos desarrollando el producto de los paréntesis, sumando términos y dejando la ecuación igualada a 0.

\begin{align}
(2x+3)(x+1)&=1 \\
2x^2+2x+3x+3&=1\\
2x^2+5x+2&=0
\end{align}

Ahora nos encontramos con una ecuación completa de segundo grado cuya solución se obtiene sustituyendo en la fórmula,

\begin{align}
x=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a} \\ \\
=&\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}\\ \\
=&\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{4}=\dfrac{-5\pm 3}{4}
\end{align}

Obteniendo como solución,
$$
x=\dfrac{-5+3}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2} \qquad \qquad x=\dfrac{-5-3}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2
$$

  • \(2x(x-2)=x(3+x)\)

Comenzamos desarrollando los paréntesis en cada lado de la igualdad,

\begin{align}
2x(x-2)=x(3+x)\\
2x^2-4x=3x+x^2
\end{align}

Llevamos todos los términos a la izquierda para obtener una ecuación igualada a 0,

$$
2x^2-x^2-4x-3x=0\Leftrightarrow x^2-7x=0
$$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común,

$$
x^2-7x=0\Leftrightarrow x(x-7)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0  \\ x-7=0\Leftrightarrow x=7 &  \end{matrix}\right.
$$


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Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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