Ecuaciones exponenciales resueltas

Por Carlos Martínez
imagen ecuaciones exponenciales

©2021 Carlos Martínez Martínez

A continuación encontrarás una serie de ejercicios de ecuaciones exponenciales que te permitirán comprender mejor este tema. Además, aprenderás como resolver ecuaciones exponenciales paso a paso con ejemplos prácticos. Comenzaremos viendo ejercicios de ecuaciones exponenciales sencillos a medida que vamos aumentando la dificultad viendo desde ecuaciones exponenciales básicas a ecuaciones exponenciales por cambio de variable.

Ecuaciones exponenciales resueltas

Ecuación exponencial 1 resuelta

$$
\textcolor{blue}{2^x=16}
$$

Para resolver este tipo de ecuaciones exponenciales lo que tenemos que hacer es intentar tener a ambos lados de la igualdad potencias con la misma base. En este caso tenemos que intentar escribir 16 como potencia de dos. Usando que \(16=2^4\) podemos reescribir la ecuación como,

$$
2^x=16\Leftrightarrow 2^x=2^4
$$

Tenemos una igualdad con potencias de la misma base. Para que se verifique dicha igualdad los exponentes de ambos lados deben coincidir por tanto concluimos que \(x=4\)

Ecuación exponencial 2 resuelta

$$
\textcolor{blue}{3^{x+1}=27^x}
$$

En esta ocasión vamos a intentar escribir todo como potencia de base 3 obteniendo,

$$
3^{x+1}=27^x\Leftrightarrow 3^{x+1}=(3^3)^x\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{3x}
$$

Igualando los exponentes tenemos,

$$
x+1=3x\Leftrightarrow 1=2x\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}
$$

Ecuación exponencial 3 resuelta

$$
\textcolor{blue}{4^{3x+1}=8^{4x-2}}
$$

En esta ocasión en ambos lados de la igualdad tenemos múltiplos de dos por lo que intentaremos expresar todo como potencias de base 2.

\begin{align}
4^{3x+5}=8^{4x-2} &\Leftrightarrow (2^2)^{3x+1}=(2^3)^{4x-2} \\ \\
&\Leftrightarrow 2^{2(3x+1)}=2^{3(4x-2)} \\ \\
& \Leftrightarrow 2^{6x+2}=2^{12x-6} \\ \\
& \Leftrightarrow 6x+2=12x-6 \\ \\
& \Leftrightarrow 8=6x \\ \\
& \Leftrightarrow x=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
\end{align}

Ecuación exponencial 4 resuelta

$$
\textcolor{blue}{4^{x^2-3x+2}=1}
$$

Para resolver esta ecuación exponencial tenemos que intentar expresar 1 como una potencia de 4. Para ello debemos escribir \( 1=4^0\). De este obtenemos una igualdad en la que las bases son las mismas y solo tendremos que igualar los exponentes para resolverla,

\begin{align}
4^{x^2-3x+2}=1&\Leftrightarrow 4^{x^2-3x+2}=4^0 \\ \\
&\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{3\pm 1}{2} \\ \\
&\Leftrightarrow x=2 \quad \text{y} \quad x=1
\end{align}

Ecuación exponencial 5 resuelta

$$
\textcolor{blue}{25^{2x-1}=125^{3x+1}}
$$

Para resolver esta ecuación exponencial debemos intentar expresar ambos lados de la igualdad con la misma base. Para ello podemos escribir \(25=5^2\) y \(125=5^3\). Así, la ecuación exponencial tiene la forma,

\begin{align}
25^{2x-1}=125^{3x+1}&\Leftrightarrow (5^2)^{2x-1}=(5^3)^{3x+1} \\ \\
&\Leftrightarrow 5^{2(2x-1)}=5^{3(3x+1)} \\ \\
&\Leftrightarrow 5^{4x-2}=5^{9x+3} \\ \\
&\Leftrightarrow 4x-2=9x+3\Leftrightarrow -5=5x \\ \\
&\Leftrightarrow x=-1
\end{align}

Ecuación exponencial 6 resuelta

$$
\textcolor{blue}{5^x+5^{x+1}=6}
$$

Para resolver este tipo de ecuaciones exponenciales utilizaremos la técnica del cambio de variable ya que, a diferencia de las anteriores ecuaciones, no podemos escribir todo en términos de la misma base. Comenzamos desarrollando la ecuación utilizando las propiedades de las potencias,

$$
5^x+5^{x+1}=6\Leftrightarrow 5^x+5^x\cdot 5=6
$$

Vemos que el término \(5^x\) se repite en la ecuación por lo que realizaremos el siguiente cambio de variable, \(5^x=t\). Así podemos escribir la ecuación en la forma,

$$
5^x+5^x\cdot 5=6 \Leftrightarrow t+5\cdot t=6\Leftrightarrow 6t=6\Leftrightarrow t=1
$$

A continuación vamos a deshacer el cambio de variable para el valor \(t=1\) consiguiendo así el valor de \(x\) que resuelve la ecuación original.

$$
5^x=1\Leftrightarrow 5^x=5^0\Leftrightarrow x=0
$$

Por tanto la solución de la ecuación es \(x=0\).

Ecuación exponencial 7 resuelta

$$
\textcolor{blue}{5^{2x-1}-8\cdot 5^{x-1}=-3}
$$

Al igual que antes, esta ecuación no permite escribir todas las potencias en la misma base por lo que nuevamente deberemos recurrir al cambio de variable y a las propiedades de las ecuaciones exponenciales y potencias.

\begin{align}
5^{2x-1}-8\cdot 5^{x-1}=-3&\Leftrightarrow 5^{2x}\cdot 5^{-1}-8\cdot 5^x\cdot 5^{-1}=-3 \\ \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\cdot 5^{2x}-\dfrac{8}{5}\cdot 5^x+3=0 \\ \\
&\Leftrightarrow \dfrac{1}{5}(5^x)^2-\dfrac{8}{5}\cdot 5^x+3=0
\end{align}

A continuación vamos a aplicar el cambio de variable \(5^x=t\) obteniendo,

$$
\dfrac{1}{5}t^2-\dfrac{8}{5}t+3=0\Leftrightarrow t^2-8t+15=0
$$

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos los valores \(t=5\) y \(t=3\). Ahora debemos comprobar si ambas soluciones de \(t\) dan soluciones válidas para la variable \(x\) deshaciendo el cambio de variable.

$$
5^x=5\Leftrightarrow x=1\quad \text{y} \quad 5^x=3 \quad \text{No tiene solucion}
$$

Por tanto concluimos que la solución de la ecuación exponencial es \(x=1\).

Ecuación exponencial 8 resuelta

$$
\textcolor{blue}{5\cdot 3^{2x-1}=3^{2+x}}
$$

De nuevo, no podemos escribir los términos de la ecuación exponencial como potencia de la misma base. Por tanto, tendremos que aplicar un cambio de variable después de aplicar las propiedades de las potencias.

\begin{align} 5\cdot3^{2x-1}=3^{2+x}&\Leftrightarrow 5\cdot 3^{2x}\cdot 3^{-1}=3^2\cdot 3^x \\ \\
&\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}(3^x)^2=3^2\cdot 3^x
\end{align}

Aplicamos el cambio de variable \(3^x=t\) obteniendo,

\begin{align}
\dfrac{5}{3}(3^x)^2=3^2\cdot 3^x & \Leftrightarrow \dfrac{5}{3}t^2=9t\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}t^2-9t=0 \\ \\
& \Leftrightarrow t\left( \dfrac{5}{3}t-9\right)=0
\end{align}

Obteniendo como soluciones \(t=0\) y \(t =\dfrac{27}{5}\). Comprobamos si son solución para la variable \(x\) deshaciendo el cambio de variable.

$$
3^x=0 \quad \text{No tiene solucion}
$$

$$
3^x=\dfrac{27}{5} \quad \text{No tiene solucion}
$$

Por tanto la ecuación exponencial planteada no tiene solución.

Ecuación exponencial 9 resuelta

$$
\textcolor{blue}{3^{x+1}+9^{x-1}=162}
$$

En esta ocasión tenemos una ecuación exponencial donde las potencias que encontramos tienen distinta base. Para poder escribirla de forma más sencilla vamos a usar que \(9=3^2\). Aplicando las propiedades de las potencias podemos escribir,

\begin{align}
3^{x+1}+9^{x-1}=162 &\Leftrightarrow 3^{x+1}+(3^2)^{x-1}=162 \\ \\
& \Leftrightarrow 3^{x+1}+3^{2x-2}-162=0 \\ \\
& \Leftrightarrow 3^x\cdot 3+ 3^{2x} \cdot 3^{-2}-162=0 \\ \\
& \Leftrightarrow 3^x\cdot 3+\dfrac{(3^x)^2}{9}-162=0
\end{align}

Aplicando el cambio de variable \(3^x=t\) podemos escribir la ecuación como,

$$
3t+\dfrac{t^2}{9}-162=0 \Leftrightarrow t^2+27t-1458=0
$$

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos las soluciones,

$$
t=27 \quad \text{y} \quad t=54
$$

Buscamos las soluciones de la ecuación original deshaciendo el cambio de variable,

$$
3^x=27 \Leftrightarrow 3^x=3^3 \Leftrightarrow x=3 \quad \text{y} \quad 3^x=54 \quad \text{No tiene solucion}
$$

Por lo que la solución de la ecuación exponencial con diferentes bases es \(x=3\).

Ecuación exponencial 10 resuelta

$$
\textcolor{blue}{2^{4x+2}-48\cdot 2^{2x-2}+8=0}
$$

Nuevamente tendremos que aplicar cambio de variable para resolver esta ecuación exponencial. Comenzamos aplicando las propiedades de las potencias obteniendo,

\begin{align}
2^{4x+2}-48\cdot 2^{2x-2}+8=0 &\Leftrightarrow 2^{4x}\cdot 2^2-48\cdot 2^{2x}\cdot 2^{-2}+8=0 \\ \\
& \Leftrightarrow (2^x)^4\cdot 4- \dfrac{48}{4} (2^x)^2+8=0
\end{align}

Podemos aplicar el cambio de variable \(2^x=t\) para obtener la ecuación,

$$
4t^4-12t^2+8=0 \Leftrightarrow t^4-3t^2+8=0
$$

En esta ocasión nos encontramos con una ecuación bicuadrada que tendremos que resolver aplicando un nuevo cambio de variable. Haciendo \(t^2=s\) podemos escribir la ecuación como,

$$
s^2-3s+2=0
$$

Cuyas soluciones son \(s=2\) y \(s=1\). Deshacemos el segundo cambio de variable para obtener las soluciones de \(t\).

\begin{align}
t^2=2 \Leftrightarrow t=\pm \sqrt{2} \\
t^2=1\Leftrightarrow t=\pm 1
\end{align}

Por tanto tenemos cuatro soluciones para la variable \(t\). Ahora debemos deshacer el primer cambio de variable para las cuatro soluciones de \(t\).

\begin{align}
&2^x=\sqrt{2} \Leftrightarrow 2^x=2^{1/2} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \\
&2^x= – \sqrt{2} \quad \text{No tiene solucion} \\
&2^x=1 \Leftrightarrow 2^x=2^0 \Leftrightarrow x=0 \\
&2^x=-1 \quad \text{No tiene solucion}
\end{align}

Luego las soluciones de la ecuación exponencial original son \(x=1/2\) y \(x=0\).

Si has llegado hasta aquí y has conseguido resolver todas las ecuaciones exponenciales te doy la enhorabuena. Puedes dejar en los comentarios cualquier duda o consulta que tengas al respecto de las ecuaciones exponenciales.

Ecuaciones exponenciales profesor de matematicas

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