Ejercicios recta tangente a una función

Por Carlos Martínez
ejercicios recta tangente

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post aprenderás a calcular la recta tangente a la gráfica de una función en un punto y podrás ver y practicar ejercicios resueltos paso a paso.

En el ámbito del análisis y el cálculo, la recta tangente a la gráfica de una función es una recta que únicamente toca a la función en un punto determinado. Así podremos hablar de recta tangente a la gráfica de una función \(f(x)\) en un punto \(x=x_0\).

Para la correcta compresión de la teoría y ejercicios de recta tangente es fundamental comprender que son y cómo se aplican las reglas de derivación existentes. Si tienes problemas con las reglas de derivación puedes consultar este post.

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Para calcular la ecuación de la recta tangente comenzamos considerando una función \(f(x)\) y un punto \(x=x_0\). De este modo, es posible definir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(x=x_0\) como,

$$
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)
$$

De la definición de la ecuación de la recta tangente se deduce como hipótesis que la función \(f(x)\) debe ser continua y derivable en el punto \(x_0\).

Ecuación de la recta tangente a la grafica de la función
Intepretación geométrica de la recta tangente

A continuación vamos a realizar paso a paso una serie de ejercicios para los niveles de Bachillerato, Selectividad y Universidad, que te permitirán comprender cómo se calcula la recta tangente a una función en distintas situaciones.

Ejercicios resueltos recta tangente

Ejercicio 1

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa

Comenzamos escribiendo la expresión general de la recta tangente a la función \(f(x)\) en el punto \(x=5\).

$$
y-f(5)=f'(5)(x-5)
$$

Calculamos a continuación la expresión de la derivada de la función \(f(x)\). Para ello, es buena idea expresar la función como una potencia,

$$
f(x)=\sqrt{2x-1}=(2x-1)^{1/2}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2}(2x-1)^{-1/2}2=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}
$$

Continuamos evaluando la expresión de \(f\) y \(f’\) en \(x=5\)

\begin{align}
f(5)&=\sqrt{2\cdot 5-1}=\sqrt{9}=3 \\
f'(5)&=\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 5-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}
\end{align}

Sustituyendo en la expresión general obtenemos,

\begin{align}
y-f(5)&=f'(5)(x-5) \\
y-3&=\dfrac{1}{3}(x-5) \\
y-3&=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{3}\\
y&=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{3}+3 \\
y&=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3}

\end{align}

Ejercicio 2

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(f(x)=x+xe^{-x}\) que es paralela a la recta \(x-y+1=0\)

Como la recta tangente ha de ser paralela a \(x-y+1=0\) las pendientes de ambas recta serán iguales.

Comenzamos transformando la recta a su forma explicita,

$$
x-y+1=0\Leftrightarrow y=x+1
$$

La pendiente de dicha recta (el coeficiente del término \(x\)) es \(m=1\). Si atendemos a la expresión de la recta tangente en un punto cualquiera \(x_0\),

$$
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)
$$

Vemos que la pendiente es . Calculamos entonces el valor de e igualamos las pendientes.

$$
f(x)=x+xe^{-x}\Rightarrow f'(x)=1+e^{-x}-xe^{-x}
$$

En un punto \(x_0\) se tiene (igualando las pendientes),

\begin{align}
f'(x_0)=1+e^{-x_0}-x_0e^{x_0}=1 &\Leftrightarrow e^{-x_0}-x_0e^{-x_0}=0 \\
& \Leftrightarrow e^{-x_0}(1-x_0)=0 \\
&\Leftrightarrow 1-x_0=0 \\
& \Leftrightarrow x_0=1
\end{align}

Donde hemos usado que \(e^{-x_0}\neq 0\).
Sabemos por tanto que tenemos que calcular la recta que es tangente en el punto \(x_0=1\). Sustituyendo los valores deseados obtenemos,

\begin{align}
&f(1)=1+1e^{-1}=1+\dfrac{1}{e} \\
&f'(1)=1
\end{align}

Sustituyendo en la expresión general,

\begin{align}
y-(1+\dfrac{1}{e})=1(x-1) &\Leftrightarrow y-(1+\dfrac{1}{e})=x-1 \\
&\Leftrightarrow y=x-1+1+\dfrac{1}{e} \\
&\Leftrightarrow y=x+\dfrac{1}{e}
\end{align}

Una representación de esta situación se puede ver a continuación,

Ejercicio resuelto recta tangente

Ejercicio 3

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(f(x)=-\dfrac{3}{x^2-4}\) en el punto \((1,1)\)

En este caso nos dan las dos coordenadas del punto donde se ha de calcular la recta que será tangente a la función. De este modo, lo que el enunciado nos ofrece son las coordenadas del punto \((x_0,f(x_0))\). Por lo tanto,

$$
x_0=1 \qquad f(x_0)=f(1)=1
$$

Si atendemos a la expresión de la recta tangente en el punto \(x_0=1\) tenemos,

$$
y-f(1)=f'(1)(x-1)
$$

Por lo que solo nos queda por calcular la expresión de \(f'(1)\).

$$
f(x)=-\dfrac{3}{x^2-4} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{6x}{(x^2-4)^2}
$$

De donde, \(f'(1)=\dfrac{2}{3}\) y sustituyendo en la expresión general se obtiene,

\begin{align}
y-1=\dfrac{2}{3}(x-1)& \Leftrightarrow y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}+1 \\
& \Leftrightarrow y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}
\end{align}

Ejericio 4

Calcula la ecuación de la recta que es tangente a la gráfica de la función \(f(x)=2\sin(x)\) en el punto de abscisas \(x=\dfrac{\pi}{4}\)

En esta ocasión la ecuación de la recta tangente viene dada por la expresión,

$$
y-f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)
$$

Comenzamos calculando el valor de \(f'(x)\),

$$
f(x)=2\sin(x)\Rightarrow f'(x)=2cos(x)
$$

Evaluando en el punto buscado se obtiene,

$$
f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
$$

Calculamos por otra parte la imagen del punto,

$$
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
$$

Sustituyendo en la expresión general se tiene,

\begin{align}
y-\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) &\Leftrightarrow y=\sqrt{2}x-\sqrt{2}\dfrac{\pi}{4}+\sqrt{2} \\
y=\sqrt{2}x+\sqrt{2}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)
\end{align}

Podemos respresentar esta situación obteniendo,

ejercicio resuelto recta tangente

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Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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