Examen de Matemáticas II Selectividad Julio 2021 Andalucía Resuelto

Por Carlos Martínez
examen de matematicas II selectividad julio 2021 andalucia resuelto

©2021 Carlos Martínez Martínez

A continuación podrás encontrar el examen de matematicas II de selectividad Julio 2021 Andalucía resuelto paso a paso.

Si lo deseas puedes visitar mi p√°gina de ex√°menes de selectividad resueltos donde encontrar√°s ex√°menes de selectividad en Andaluc√≠a de distintos a√Īos resueltos paso a paso.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

(2.5 puntos) Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\longrightarrow0}\dfrac{a(1-\text{cos}(x))+b\text{sen}(x)-2(e^x-1)}{x^2}=7\)

Comenzamos intentando resolver el límite obteniendo

$$
\lim_{x\longrightarrow0}\dfrac{a(1-\text{cos}(x))+b\text{sen}(x)-2(e^x-1)}{x^2}= \left( \dfrac{0}{0}\right)\, \text{Indet.}
$$

Aplicamos la regla de L’Hopital para resolver la indeterminaci√≥n obteniendo,

$$
\lim_{x\longrightarrow0}\dfrac{a \text{sen}(x)+b\text{cos}(x)-2e^x}{2x}=\dfrac{b-2}{0}
$$


Como el límite debe ser finito forzamos nuevamente la indeterminación imponiendo \(b-2=0\Leftrightarrow b=2\).

Para dicho valor de \(b\) obtenemos una indeterminaci√≥n \(0/0\) y volvemos a aplicar L’H√īpital.

$$
\lim_{x\longrightarrow0}\dfrac{a \text{cos}(x)-2\text{sen}(x)-2e^x}{2}=\dfrac{a-2}{2}
$$
Del enunciado sabemos que el límite es 7 por tanto se debe verificar,

$$
\dfrac{a-2}{2}=7\Leftrightarrow a-2=14 \Leftrightarrow a=16
$$

Por tanto los valores pedidos son \(a=16\) y \(b=2\)

Ejercicio 2. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

(2.5 puntos) Halla \(a>0\) y \(b>0\) sabiendo que la gráfica de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\dfrac{bx^2}{1+ax^4}\) tiene en el punto \((1,2)\) un punto crítico.

Si la función función tiene un punto crítico en el punto \((1,2)\) deducimos que,

$$
f(1)=2 \qquad \text{y} \qquad f'(1)=0
$$

Comenzamos calculando la derivada e imponiendo la condición anterior,

$$
f'(x)=\dfrac{2bx(1+ax^4)-bx^2(4ax^3)}{(1+ax^4)^2}
$$

\begin{align}
f'(1)=0&\Leftrightarrow \dfrac{2b(1+a)-b(4a)}{(1+a)^2}=0 \\
& \Leftrightarrow 2b(1+a)-b(4a) =0 \\
& \Leftrightarrow 2b+2ba-4ba=0 \\
& \Leftrightarrow 2b-2ba=0 \\
& \Leftrightarrow 2b(1-a)=0 \Leftrightarrow b=0 \, \text{y} \, a=1
\end{align}

Por el enunciado sabemos que \(b>0\) por lo que solo es v√°lido el valor \(a=1\).

Imponemos la condición \(f(1)=2\),

$$
f(1)=2\Leftrightarrow \dfrac{b}{1+a}=2\Leftrightarrow \dfrac{b}{2}=2 \Leftrightarrow b=4
$$

Por tanto, los valores buscados son \(a=1\) y \(b=4\)

Ejercicio 3. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

(2.5 puntos) Considera la función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) dada por

$$
f(x)=1+\int_0^xte^tdt.
$$
Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \(f\) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

Para resolver este ejercicio utilizamos el Teorema Fundamental del Calculo para obtener directamente la expresión de \(f'(x)\). Como necesitaremos la expresión de \(f\) más adelante resolveremos la integral para calcular dicha expresión.

$$
f'(x)=x\cdot e^x
$$

Podemos calcular la expresión de la segunda derivada,

$$
f^″(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)
$$

Calculamos el punto de inflexión,

$$
f^″(x)=0\Leftrightarrow e^x(1+x)=0 \Leftrightarrow x=-1
$$

Donde hemos usado que \(e^x\neq 0\, \forall x\in \mathbb{R}\).

Analizando el signo de la segunda derivada concluimos,

$$
\begin{array}{| c | c |c|}\hline & (-\infty,-1) & (-1,\infty) \\
\hline \text{Signo } f^‚Ä≥(x) & ‚Äď & + \\
\hline \text{Función} & \text{Cóncava} & \text{Convexa} \\
\hline\end{array}
$$

En el punto \(x=-1\) se produce un cambio en la curvatura de la función por lo que tenemos un punto de inflexión y sus coordenadas son \((-1,f(-1))\). Como necesitamos la expresión de \(f\) resolvemos la integral planteada inicialmente para obtener la expresión deseada. Utilizando el método de integración por partes seleccionamos,

$$
\begin{matrix} u=t & du=dt \\
dv=e^tdt & v=e^t
\end{matrix}$$

Aplicando la fórmula de integración por partes tenemos,

\begin{align}
\int_0^xte^tdt&=\left[te^t \right]_0^x-\int_0^xe^tdt \\ \\
&=\left[te^t \right]_0^x-\left[e^t \right]_0^x \\ \\
&=\left[te^t-e^t\right]_0^x=e^x(x-1)+1
\end{align}

Sustituyendo en la expresión de \(f\) obtenemos,

$$
f(x)=e^x(x-1)+2
$$

Así, obtenemos que,

$$
f(-1)=e^{-1}(-2)+2=-\dfrac{2}{e}+2
$$

Luego el punto de inflexión tiene por coordenadas,

$$
\left( -1,-\dfrac{2}{e}+2\right)
$$

Ejercicio 4. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

(2.5 puntos) Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\) (para \(x\neq -1,\, x\neq 1)\). Halla una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((2,4)\).

En este ejercicio buscamos una función de la forma,

$$
F(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1} \quad \text{verificando que} \quad F(2)=4
$$

Para resolver la integral realizamos la división entre los polinomios obteniendo entonces que,

$$
\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=1+\dfrac{2}{x^2-1}
$$

Por tanto, la función buscada es,

$$
F(x)=\int 1+\dfrac{2}{x^2-1}dx=x+2\int\dfrac{1}{x^2-1}dx
$$

Calculamos la integral usando el método de las fracciones simples partiendo de que \(x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)

Podemos trabajar con el cociente de dentro de la integral obteniendo,

$$
\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}=\dfrac{A(x+1)+B(x-1)}{(x+1)(x-1)}
$$

Para \(x=1\) obtenemos \(A=1/2\) y para \(x=-1\) obtenemos \(B=-1/2\). Podemos calcular entonces la función \(F\),

$$
F(x)=x+2\int\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}dx=x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C
$$

Imponiendo que \(F(2)=4\) concluimos,

\begin{align}
F(2)=4\Leftrightarrow 2+0-\ln(3)+C=4\Leftrightarrow C=2+\ln(3)
\end{align}

Y la función \(F\) viene dada por,

$$
F(x)=x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+2+\ln(3)
$$

Ejercicio 5. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix} 0 & 3 &4 \\ 1& -4 &-5 \\ -1& 3& 4 \end{pmatrix}\)

a)(1.25 puntos) Comprueba que \(A^2=-A^{-1}\).

Calculamos \(A^2\)

$$
A^2=\begin{pmatrix} 0 & 3 &4 \\ 1& -4 &-5 \\ -1& 3& 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 &4 \\ 1& -4 &-5 \\ -1& 3& 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 \\ 1& 4 &4 \\ -1& -3& -3 \end{pmatrix}
$$

Calculamos \(A^{-1}\) usando que,

$$
A^{-1}=\dfrac{Adj(A^t)}{|A|}
$$

Calculamos la matriz traspuesta,

$$
A^t=\begin{pmatrix} 0 & 1 &-1 \\ 3& -4 &3 \\ 4& -5& 4 \end{pmatrix}
$$

La matriz adjunta viene dada por,

$$
Adj(A^t)=\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 \\ 1& 4 &4 \\ -1& -3& -3 \end{pmatrix}
$$

Usando que \(|A|=-1\) tenemos que la matriz inversa es,

$$
A^{-1}=\dfrac{\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 \\ 1& 4 &4 \\ -1& -3& -3 \end{pmatrix}}{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 \\ -1& -4 &-4 \\ 1& 3& 3 \end{pmatrix}
$$

De este modo obtenemos que la matriz \(-A^{-1}\) es de la forma,

$$
-A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 \\ 1& 4 &4 \\ -1& -3& -3 \end{pmatrix}=A^2
$$

b) (1.25 puntos) Dadas las matrices

$$
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3& 0 \\ -4& 5 \end{pmatrix}\qquad \text{y} \qquad C=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3& 2 \\ 1& -1 \end{pmatrix}\qquad \text{y}
$$

calcula la matriz \(X\) que verifica \(A^4X+B=AC\).

Comenzamos resolviendo de forma teórica la ecuación matricial

\begin{align}
A^4X+B&=AC \\
A^4X&=AC-B \\
X&=(A^4)^{-1}(AC-B)
\end{align}

Antes de resolver la ecuación matricial es importante darse cuenta de lo siguiente,

$$
A^2=-A^{-1}\Rightarrow A^4=(A^{-1})^2 \Rightarrow (A^4)^{-1}=((A^{-1})^2)^{-1}=A^2
$$

Por lo que la expresión que tenemos que calcular es,

\begin{align}
X&=A^2(AC-B)=
\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 \\ 1& 4 &4 \\ -1& -3& -3 \end{pmatrix}\cdot \left (\begin{pmatrix} 0 & 3 &4 \\ 1& -4 &-5 \\ -1& 3& 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3& 2 \\ 1& -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3& 0 \\ -4& 5 \end{pmatrix}\right) \\
\end{align}

Obteniendo como resultado,

$$
X=\begin{pmatrix}
3 & -6 \\
6 & -21 \\
-3 & 15
\end{pmatrix}
$$

Ejercicio 6. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

Una empresa de mensajer√≠a opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el n√ļmero de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

a) (1.25 puntos) Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70. ¬ŅPodr√≠amos deducir el n√ļmero de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.

Definimos las siguientes variables,

x=’n√ļmero de viajes por la ruta A’
y=’n√ļmero de viajes por la ruta B’
z=’n√ļmero de viajes por la ruta C’

El sistema de ecuaciones asociado al problema es,
$$
\left. \begin{matrix}
x+y+z=70\\
y=x+z\\
2(x+z)=70
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\left. \begin{matrix}
x+y+z=70\\
-x+y-z=0\\
2x+2z=70
\end{matrix}
\right\}
$$

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial obteniendo las matrices \(A\) y \(A^*\),

$$
A=\begin{pmatrix}
1 &1& 1 \\
-1& 1& -1 \\
2& 0 & 2
\end{pmatrix}
\qquad \text{y} \qquad
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 70 \\
-1 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 70 \\
\end{array} \right)
$$

Pasamos ahora a estudiar el rango de ambas matrices para saber si existe solución del problema.

Si nos fijamos, la matriz A tiene dos columnas iguales por lo que \(|A|=0\). Buscamos un menor de orden dos cuyo determinante sea distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix}
-1 & 1\\
2 & 0
\end{vmatrix}
=-2\neq 0
$$

Por lo tanto \(rg(A)=2\). Estudiamos ahora el rango de \(A^*\), para ello vemos si existe alg√ļn menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de cero.

$$
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 70 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 70 \end{vmatrix} =0 \quad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 70 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 70 \end{vmatrix}=0 \quad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 70 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 70 \end{vmatrix}=0
$$

Deducimos que \(rg(A^*)<3\). Para ver si el rango es dos buscamos un menor de orden dos cuyo determinante sea distinto de cero obteniendo,

$$
\begin{vmatrix}
-1 & 1\\
2 & 0
\end{vmatrix}
=-2\neq 0
$$

Por el Teorema de Rouché-Frobenius tenemos que,

$$
2=rg(A)=rg(A^*)<\,\text{n¬ļ de inc√≥gnitas}=3
$$

As√≠ que tenemos un sistema compatible indeterminado por lo que existen infinitas soluciones al problema as√≠ que no podemos deducir un √ļnico n√ļmero de viajes por cada ruta.

b) (1.25 puntos) Si el doble de viajes por la ruta C es igual al n√ļmero de viajes por la ruta B menos 5, ¬Ņcu√°ntos viajes hace por cada ruta?

En este apartado el sistema de ecuaciones planteado es el siguiente,


$$\left. \begin{matrix} x+y+z=70\\ y=x+z\\ 2z=y-5 \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left. \begin{matrix} x+y+z=70\\ -x+y-z=0\\ -y+2z=-5 \end{matrix} \right\}$$

Resolvemos el sistema de ecuaciones utilizando por ejemplo la Regla de Cramer. En primer lugar, la matriz de coeficientes es,

$$
A=
\begin{pmatrix}
1 &1& 1 \\
-1& 1& -1 \\
0& -1 & 2
\end{pmatrix}
$$

Usando que obtenemos,

$$
x=\dfrac{\begin{vmatrix} 70 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 &-1 & 2 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{80}{4}=20
$$

$$
y=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 70 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 &-5 & 2 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{140}{4}=35
$$

$$
z=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 70 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 &-1 & -5 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{60}{4}=15
$$

La empresa realiza 20 viajes por la ruta A, 35 viajes por la ruta B y 15 viajes por la ruta C.

Ejercicio 7. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

La recta perpendicular desde el punto \(A(1,1,0)\) a un cierto plano \(\pi\) corta a éste en el punto \(B=\left( 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)\).

a) (1.5 puntos) Calcula la ecuación del plano \(\pi\)

La situación que tenemos podemos representarla de la siguiente forma,

plano examen de matematicas ii selectividad julio 2021 andalucia

Lo que tenemos en este ejercicio es que el vector \(\overrightarrow{AB}\) coincide con el vector normal del plano,

$$
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{n_{\pi}}=B-A=\left( 0,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)
$$

Sabemos que la expresión general de un plano viene dada por \(Ax+By+Cz+D=0\), por tanto,

$$
\pi=-\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{2}z+D=0
$$

Imponiendo que el punto \(B\) pertenece al plano obtenemos,

$$
B\in \pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+D=0\Leftrightarrow D=0
$$

Por tanto la expresión del plano buscada es,

$$
\pi\equiv-\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{2}z=0
$$

O de forma m√°s sencilla,

$$
\pi \equiv -y+z=0
$$

b) (1 punto) Halla la distancia del punto \(A\) a su simétrico respecto de \(\pi\).

Podemos representar nuevamente la situación planteada en el enunciado.

distancia punto simetrico examen de matematicas ii selectividad julio 2021 andalucia

Para resolver este apartado basta con tener en cuenta que la distancia que hay entre el punto A y A’ es el doble de la distancia que hay del punto A hasta el punto B ya que el punto B puede verse como el punto medio del segmento que va de A hasta A’.

$$
dist(A,A’)=2\cdot dist(A,B)=2\cdot |\overrightarrow{AB}|=2\cdot \sqrt{0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
$$

Ejercicio 8. Examen de matemáticas II selectividad Julio 2021 Andalucía

Considera las rectas,

$$
r\equiv\left\{ \begin{align} &x=3+\lambda \\ &y=1 \qquad \qquad \lambda \in \mathbb{R} \\ &z=-3-\lambda \end{align} \right.
$$

$$s\equiv\left\{ \begin{align} x+y=1\\ z=0 \end{align}\right.$$

a) (1.5 puntos) Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\)

Para la recta \(r\) podemos conseguir un punto y un vector director,

$$
A=(3,1,-3) \quad \text{y}\quad \overrightarrow{v_r}=(1,0,-1)
$$

Podemos escribir la recta \(s\) en coordenadas paramétricas simplemente haciendo \(y=\mu\), obteniendo,

$$
s\equiv\left\{ \begin{align} &x=1-\mu \\ &y=\mu \qquad \qquad \mu \in \mathbb{R} \\ &z=0 \end{align} \right.
$$

Un punto y un vector director de \(s\) vienen dados por,

$$
B=(1,0,0) \quad \text{y} \quad \overrightarrow{v_s}=(-1,1,0)
$$

Para estudiar la posición relativa de las rectas consideremos los vectores directores de ambas rectas y un vector que va de r a s, en este caso elegimos el vector \(\overrightarrow{AB}=(-2,-1,3)\).

Calculamos el determinante formado por los tres vectores para estudiar su dependencia o independencia lineal,

$$
\begin{vmatrix}
1 &0& -1 \\
-1 &1 &0 \\
-2 &-1 &3
\end{vmatrix}
=(3-1+0)-(2+0+0)= 0
$$

Por tanto los vectores son linealmente dependientes y como no se observa proporcionalidad entre ellos afirmamos que las rectas se cortan en el espacio

b) (1.25 puntos) Halla la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y \(s\)

Para calcular la recta que corta perpendicularmente a ambas calculamos el punto de corte entre las mismas y un vector que sea perpendicular a ambas.

Para calcular dicho vector utilizamos el producto vectorial,

$$
\overrightarrow{u}= \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =(1,1,1)
$$

Por tanto el vector director de la recta buscada es \(\overrightarrow{u}=(1,1,1)\).

Calculamos el punto de intersección de las rectas. Para ello sustituimos la expresión de \(r\) en la expresión original de \(s\) obteniendo,

\begin{align}
3+\lambda+1=1\Leftrightarrow \lambda =-3 \\
-3-\lambda=0\Leftrightarrow \lambda=-3
\end{align}

Sustituyendo en la expresión de \(r\) obtenemos el punto de corte,

$$
I=(0,1,0)
$$

Así, podemos dar las ecuaciones paramétricas de la recta buscada que llamaremos \(r_1\),

$$
r_1\equiv\left\{ \begin{align} &x=\tau \\ &y=1+\tau \qquad \qquad \tau \in \mathbb{R} \\ &z=\tau \end{align} \right.
$$


Esta es una resolución personal de todos los ejercicios del examen de matemáticas II de la convocatoria de selectividad de Julio de 2021 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.


Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

Si te ha gustado esta entrada con la resoluci√≥n del examen de matem√°ticas II selectividad y quieres descubrir m√°s material gratuito puedes visitar mi blog de matem√°ticas. Si te gustar√≠a aprender m√°s sobre matem√°ticas o estad√≠stica puedes visitar mi canal de Youtube donde encontrar√°s ejercicios de matem√°ticas y estad√≠stica a todos los niveles.