Examen de Matemáticas II Selectividad Junio 2021 Andalucía Resuelto

Por Carlos Martínez
examen matematicas II selectividad junio 2021 andalucia

©2021 Carlos Martínez Martínez

A continuación podrás encontrar el examen de matematicas II de selectividad 2021 Andalucía resuelto paso a paso.

Si lo deseas puedes visitar mi p√°gina de ex√°menes de selectividad resueltos donde encontrar√°s ex√°menes de selectividad en Andaluc√≠a de distintos a√Īos resueltos paso a paso.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

Se sabe que la gráfica de la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{ax^2+b2+2}{x-1}\) para \(x\neq 1\) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \((1,1)\) y tiene pendiente 2. Calcula \(a\) y \(b\).

Sabemos que la as√≠ntota oblicua es de la forma \(y=mx+n\). Seg√ļn el enunciado la pendiente de la as√≠ntota es \(m=2\) y podemos imponer que la recta pasa por el punto \((1,1)\) para obtener,

Por tanto la expresión de la asíntota oblicua es \(y=2x-1\).

Por otra parte sabemos que dada una función \(f\), la asíntota oblicua es de la forma \(y=mx+n\) con

$$
m=\lim_{x\longrightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x} \qquad n=\lim_{x\longrightarrow \infty} f(x)-mx
$$

Podemos calcular entonces,

$$
m=\lim_{x\longrightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\longrightarrow \infty}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-x}=a
$$

Como \(m=2\) concluimos que \(a=2\).

Continuamos calculando el valor de \(n\).

\begin{align}
n&=\lim_{x\longrightarrow \infty} f(x)-mx=n=\lim_{x\longrightarrow \infty} \dfrac{2x^2+bx+2}{x-1}-2x \\ \\
&=\lim_{x\longrightarrow \infty} \dfrac{2x^2+bx+2-2x^2+2x}{x-1}=\lim_{x\longrightarrow \infty} \dfrac{bx+2x+2}{x-1} \\ \\
&=\lim_{x\longrightarrow \infty} \dfrac{x(b+2)+2}{x-1}=b+2
\end{align}

Usando que \(n=-1\) tenemos que \(b+2=-1\Leftrightarrow b=-3\)
Por tanto, los valores pedidos son \(a=2\) y \(b=-3\)

Ejercicio 2. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

Considera la función continua definida por

$$
f(x)=
\left \{ \begin{matrix} (3x-6)e^x&\text{si} &x\leq 0 \\ \dfrac{36(\text{sen}(x)-ax)}{x^3} & \text{si} & x>0 \end{matrix} \right.
$$

a) Calcula \(a\)

Como la función es continua sabemos que lo es en todo su dominio. De la continuidad en los intervalos \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\) no podemos obtener ninguna conclusión sobre \(a\) por lo que tenemos que imponer que la función es continua en el punto de ruptura \(x=0\).

Como \(f\) es continua en \(x=0\) se ha de verificar que,

$$ \lim_{x\longrightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^+}f(x)=f(0)$$

Vamos a calcular el valor de \(a\) para que se verifique esa igualdad.

$$
\lim_{x\longrightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}(3x-6)e^x=-6
$$

$$
\lim_{x\longrightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}\dfrac{36(\text{sen}(x)-ax)}{x^3}=\left( \dfrac{0}{0}\right)\text{ Indet.}
$$

Resolvemos la indeterminaci√≥n aplicando la regla de L’H√īpital.

$$
\lim_{x\longrightarrow 0}\dfrac{36(\text{sen}(x)-ax)}{x^3}=\lim_{x\longrightarrow 0}\dfrac{36(\text{cos}(x)-a)}{3x^2}=\dfrac{36(1-a)}{3x^2}
$$

Para que exista el l√≠mite anterior es necesario imponer que el numerador sea igual a 0 para tener nuevamente una indeterminaci√≥n y que el l√≠mite sea finito. As√≠ podremos aplicar la regla de L’H√īpital para obtener el valor de dicho l√≠mite.

Por tanto \(1-a=0\Leftrightarrow a=1\).

As√≠, obtenemos nuevamente una indeterminaci√≥n y podemos aplicar de nuevo L’H√īpital.

$$
\lim_{x\longrightarrow 0}\dfrac{36(\text{cos}(x)-1)}{3x^2}=\lim_{x\longrightarrow 0}\dfrac{36(\text{-sen}(x))}{6x} =\left( \dfrac{0}{0}\right)\text{ Indet.}
$$

Aplicamos una √ļltima vez L’H√īpital para obtener,

$$
\lim_{x\longrightarrow 0}\dfrac{36(\text{-cos}(x))}{6}=-6
$$

Finalmente \(f(0)=-6\)

Concluimos que se cumple la condición de continuidad solamente si \(a=1\).

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=-1\)

Para calcular la recta tangente a la grafica de la función en el punto que nos piden debemos observar el dominio de la función para seleccionar la parte correspondiente. En este caso utilizaremos \(f(x)=(3x-6)e^x\)

Sabemos que la expresión de la recta tangente en el punto \(x=-1\) viene dada por,

$$
y-f(-1)=f'(-1)(x+1)
$$

Calculamos en primer lugar el valor de \(f'(x)\)

$$
f'(x)=3 e^x+(3x-6)e^x
$$

Evaluando en \(-1\) tenemos \(f'(-1)=3e^{-1}-9e^{-1}=-6e^{-1}=\dfrac{-6}{e}\)

Por otra parte se tiene que \(f(-1)=(3\cdot (-1)-6)e^{-1}=-3e^{-1}=\dfrac{-3}{e}\)

Así la expresión de la recta tangente viene dada por,

$$
y+3e^{-1}=-6e^{-1}(x+1)\Leftrightarrow y=-\dfrac{6}{e}x-\dfrac{15}{e}
$$

Ejercicio 3. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

Considera la función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x)=4x^3-x^4\)

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\)

Comenzamos calculando los puntos donde cambia la monotonía de la función, es decir los puntos con derivada igual a 0.

$$
f'(x)=0\Leftrightarrow 12x^2-4x^3=0\Leftrightarrow 4x(3-x)=0
$$

Obteniendo \(x=0\) y \(x=3\).

  • En \((-\infty, 0)\), \(f'(x)>0\Rightarrow\) \(f\) es estrictamente creciente
  • En \((0, 3)\), \(f'(x)>0\Rightarrow\) \(f\) es estrictamente creciente
  • En \((3, +\infty)\), \(f'(x)<0\Rightarrow\) \(f\) es estrictamente decreciente

b) Esboza la gr√°fica de \(f\) y calcula el √°rea del recinto limitado por dicha gr√°fica y el eje de abscisas.

area recinto limitado examen de matematicas II selectividad junio 2021 Andalucía resuelto

Para calcular el área del recinto limitado por la función y el eje de abscisas solo tenemos que resolver,

$$
\int_0^4f(x)dx=\int_0^4 4x^3-x^4dx=\left[\dfrac{4x^4}{4}-\dfrac{x^5}{5}\right]_0^4=\dfrac{256}{5} u^2
$$

Ejercicio 4. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

Considera la función definida por

$$
F(x)=\int_0^x(2t+\sqrt{t})dt
$$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x=1\)

Sabemos que la expresión de la recta tangente en el punto \(x=1\) viene dada por,

$$
y-F(1)=F'(1)(x-1)
$$

Calculamos en primer lugar el valor de resolviendo la integral,

$$
F(x)=\int_0^x(2t+\sqrt{t})dt=\left[\dfrac{2t^2}{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{t^3} \right]_0^x=x^2+\dfrac{2}{3}\sqrt{x^3}
$$

Por el Teorema fundamental del c√°lculo tenemos que \(F'(x)=2x+\sqrt{x}\). Por tanto \(F'(1)=3\)

Por otra parte, sustituyendo en la expresión de \(F\) tenemos que

$$F(1)=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$$

Así, la expresión de la recta tangente es,

$$
y-\dfrac{5}{3}=3(x-1)\Leftrightarrow y=3x-\dfrac{4}{3}
$$

Ejercicio 5. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$$
\left \{
\begin{align}
mx+2y-z=1\\
5x-4y+2z=0\\
x+3my=m+\dfrac{2}{5}
\end{align} \right.
$$

a) Discute el sistema seg√ļn los valores de \(m\)

Para resolver este ejercicio del examen de matem√°ticas II selectividad de 2021 comenzamos escribiendo la matriz ampliada del sistema

$$
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
m & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0 \\
1 & 3m & 0 & m+\dfrac{2}{5} \\
\end{array} \right)
$$

Calculamos el determinante de la matriz \(A\) de coeficientes para igualarlo a 0 y poder discutir su rango.

$$
|A|= \begin{vmatrix}
1 & -2 & 1 \\
m & 4 & -2 \\
0 & m+2 & -3
\end{vmatrix} =-15m+4-4-6m^2=0\Leftrightarrow-6m^2-15m
$$

Igualando a cero el determinante ,

$$
|A|=0\Leftrightarrow -6m^2-15m= 0 \Leftrightarrow m(-6m-15)=0
$$

Obtenemos las soluciones \(m=0\) y \(m=-\dfrac{5}{2}\)

Ya podemos afirmar que si \(m\neq 0\) y \(m\neq -\dfrac{5}{2}\) entonces \(|A|\neq 0\) y existe un menor de dimensi√≥n 3 de la matriz ampliada cuyo determinante es distinto de cero. As√≠, aplicando el Teorema de Rouch√©-Frobenius tendr√≠amos que

$$
rg(A)=rg(A^*)=3\Rightarrow \, \text{Sistema compatible determinado}
$$

Continuamos estudiando el rango de la matriz \(A\) y la matriz \(A^*\) cuando \(m=0\)

En este caso la matriz ampliada es de la forma,

$$
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
0 & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 & \dfrac{2}{5} \\
\end{array} \right)
$$

Es claro que si \(m=0\) entonces \(rg(A)<3\) por lo que buscamos un menor de dimensión 2 cuyo determinante sea distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix} 0 & 2\\ 5 & -4 \end{vmatrix} =-10\neq 0\Rightarrow \, rg(A)=2
$$

En cuanto a la matriz ampliada veamos si existe alg√ļn menor de dimensi√≥n 3 cuyo determinante sea distinto de 0. En este caso tenemos que todos los menores de orden 3 tienen determinante 0,

$$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 5 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & \dfrac{2}{5} \end{vmatrix} =0 \quad \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & \dfrac{2}{5} \end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{2}{5} \end{vmatrix}=0
$$

Buscamos entonces un menor de orden dos en la ampliada cuyo determinante sea distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix} 0 & 2\\ 5 & -4 \end{vmatrix} =-10\neq 0\Rightarrow \, rg(A^*)=2
$$

Podemos afirmar que,

$$
rg(A)=rg(A^*)=2<3=\text{ n¬ļ de inc√≥gnitas} \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado}
$$

Estudiamos a continuación el caso en el que \(m=-\dfrac{5}{2}\)

En este caso la matriz ampliada es de la forma,

$$
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
-\dfrac{5}{2} & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0 \\
1 & -\dfrac{15}{2} & 0 & -\dfrac{21}{10} \\
\end{array} \right)
$$

Es claro que si \(m=-\dfrac{5}{2}\) entonces \(|A|=0\Rightarrow \, rg(A)<3\) por lo que buscamos un menor de dimensión 2 cuyo determinante sea distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix} -4 & 2\\ -\dfrac{15}{2} & 0 \end{vmatrix} =15\neq 0\Rightarrow \, rg(A)=2
$$

Para la matriz ampliada, veamos si existe alg√ļn menor de orden tres cuyo determinante sea distinto de 0. En este caso,

$$
\begin{vmatrix} 2& -1 & 1\\ -4 & 2 & 0 \\ -\dfrac{15}{2} & 0 & -\dfrac{21}{10} \end{vmatrix} =15\neq 0\Rightarrow \, rg(A^*)=3
$$

Tenemos que \(2=rg(A)\neq rg(A^*)=3\Rightarrow \text{Sistema incompatible}\)

b) Resuelve el sistema para \(m=0\). ¬ŅHay alguna soluci√≥n en la que \(x=0\)? En caso afirmativo, calc√ļlala. En caso negativo justifica la respuesta.

Para \(m=0\) tenemos el sistema,

$$
\left\{\begin{matrix}2y-z=1 \\ 5x-4y+2z=0 \\ x=\dfrac{2}{5}\end{matrix} \right.
$$

Sustituyendo el valor \(x=\dfrac{2}{5}\) tenemos el sistema de dos ecuaciones,

$$
\left\{\begin{matrix}2y-z=2 \\ -4y+2z=-2 \end{matrix} \right.
$$

Una ecuación es proporcional a la otra por lo que solo debemos considerar una de ellas. Por ejemplo de la primera ecuación podemos despejar \(z\) y tomando \(y=\lambda\) tenemos,

$$
z=2\lambda -1
$$

Luego las soluciones son de la forma

$$
\left( \dfrac{2}{5},\lambda,2\lambda-1\right) \quad \lambda \in \mathbb{R}
$$

Como la variable \(x\) no depende del parámetro y \(x\neq 0\) concluimos afirmando que no existe ninguna solución con

Ejercicio 6. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

En una empresa se fabrican tres tipos de productos pl√°sticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia
prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada
garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón.
El gerente tambi√©n nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por √ļltimo, se sabe que,
por motivos de capacidad de trabajo, en las m√°quinas se producen en total 52 productos cada hora.
¬ŅCu√°ntas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Comenzamos definiendo las siguientes variables asociadas al problema.

  • x=¬ĽN√ļmero de botellas que se producen cada hora¬Ľ
  • y=¬ĽN√ļmero de garrafas que se producen cada hora¬Ľ
  • z=¬ĽN√ļmero de bidones que se producen cada hora¬Ľ

Como tenemos los datos expresados con diferentes medidas hacemos la siguiente transformación:

En lugar de usar 50 gr para cada botella usaremos 0’05 kg y en lugar de usar 100 gr para cada garrafa usaremos 0’1 kg.

Así, el sistema asociado al problema viene dado por:

$$
\left\{\begin{align}
0’05x+0’1y+z=10 \\
x-2y=0 \\
x+y+z=52
\end{align} \right.
$$

Como tenemos una fila con valores decimales, podemos multiplicar dicha fila por una constante (por ejemplo 20) para obtener un sistema equivalente sin valores decimales.

$$
\left\{\begin{align} x+2y+20z=200 \\ x-2y=0 \\ x+y+z=52 \end{align} \right.
$$

Para calcular la solución de este sistema podemos utilizar por ejemplo la regla de Cramer. Por una parte tenemos que

$$
|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 20 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 &1 & 1 \end{vmatrix}=56
$$

Por tanto, las soluciones vienen dadas por,

$$x=\dfrac{\begin{vmatrix} 200 & 2 & 20 \\ 0 & -2 & 0 \\ 52 &1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{1680}{56}=30 $$

$$ y=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 200 & 20 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 &52 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{840}{56}=15 $$

$$ z=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 20 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 &1 & 52 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{392}{56}=7 $$

Concluimos con que deben producirse 30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones cada hora.

Ejercicio 7. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

Considera las rectas

$$
r\equiv\left\{
\begin{align}
2x-3y+z-2=0\\
-3x+2y+2z+1=0
\end{align}\right.
$$


$$
s\equiv\left\{
\begin{align}
&x=3-2\lambda \\
&y=-1 +\lambda \qquad \lambda \in \mathbb{R} \\
&z=-2+2\lambda
\end{align}
\right.
$$

a) Calcula el plano perpendicular a la recta \(s\) que pasa por el punto \(P(1,0,-5)\)

Sabemos que si el plano es perpendicular a la recta, entonces el vector normal del plano coincidir√° con el vector director de la recta, esto es,

$$
\overrightarrow{n_\pi}=\overrightarrow{v_s}=(-2,1,2)
$$

Si la ecuación general de un plano es de la forma \(Ax+By+Cz+D=0\) entonces el plano buscado será de la forma,

$$
-2x+y+2z+D=0
$$

Imponiendo que el punto \(P\) est√° contenido en dicho plano obtenemos,

$$
-2\cdot 1+0-10+D=0\Leftrightarrow D=12
$$

Por tanto, la expresión del plano buscado es,

$$
\pi\equiv -2x+y+2z+12=0
$$

b) Calcula el seno del √°ngulo que forma la recta \(r\) con el plano \( \pi\equiv -2x+y+2z=0\)

Sabemos que el ángulo que forman la recta y el plano es equivalente al ángulo que forma la recta \(r\) con su proyección ortogonal sobre el plano \(\pi\). Considerando el vector director de la recta \(\overrightarrow{v_r}\) y el vector normal del plano \( \overrightarrow{n_\pi} \) sabemos que

$$
\text{sen}(\alpha)=\dfrac{|\overrightarrow{v_r}\cdot \overrightarrow{n_\pi} |}{|\overrightarrow{v_r}|\cdot |\overrightarrow{n_\pi}|}
$$

Dado que la recta \(r\) está dada como intersección de dos planos, el vector director de ella será un vector perpendicular al mismo tiempo a los vectores normales de los planos.

$$
\overrightarrow{v_r}=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
2 & -3 & 1 \\
-3 & 2 & 2
\end{vmatrix}
=(-8,-7,-5)
$$

Volviendo a la fórmula del ángulo entre una recta y un plano y utilizando que \(\overrightarrow{n_\pi}=(-2,1,2)\) tenemos,

$$
\text{sen}(\alpha)=\dfrac{|(-8,-7,-5)\cdot (-2,1,2) |}{\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}\cdot \sqrt{(-8)^2+(-7)^2+(-5)^2}}=\dfrac{1}{3\sqrt{138}}
$$

Ejercicio 8. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2021 Andalucía

La recta \(r\equiv \dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z-3}{3}\) y la recta \(s\) que pasa por los puntos \(P(1,0,2)\) y \(Q(a,1,0)\) se cortan en un punto. Calcula el valor de \(a\) y el punto de corte.

Sabemos que si las rectas se cortan entonces est√°n contenidas en un plano. Esto nos sirve para afirmar que si consideramos el vector director de la recta r, el vector director de la recta s y un vector que vaya de la recta r a la recta s, entonces se verifica que dichos vectores son linealmente dependientes o equivalentemente su determinante es nulo.

Como la recta \(r\) est√° en su forma continua tenemos que \(\overrightarrow{v_r}=(2,2,3)\).

Para la recta \(s\) un vector director ser√° \(\overrightarrow{v_s}=\overrightarrow{PQ}=Q-P=(a-1,1,-2)\)

Finalmente un vector que vaya de la recta \(r\) a la recta \(s\) lo calculamos utilizando un punto de cada recta. De la recta \(r\) consideramos el punto \(A=(-3,-4,3)\) y de la recta \(s\) por ejemplo \(P=(1,0,2)\). Así el vector buscado es,

$$
\overrightarrow{AP}=P-A=(4,4,-1)
$$

Construyendo el determinante de la matriz formada por dichos vectores e igualandolo a 0 tenemos,

$$
\begin{vmatrix}
2 & 2 & 3\\
a-1 & 1 & -2 \\
4 & 4 & -1
\end{vmatrix}
=0\Leftrightarrow (-2+12a-12-16)-(12-16-2a+2)=0\Leftrightarrow -28+14a=0\Leftrightarrow a=2
$$

Por tanto las rectas \(r\) y \(s\) se cortan si \(a=1\).

Veamos el punto de corte de ambas rectas. Para ello comenzamos escribiendo la recta \(s\) en forma paramétrica,

$$
s\equiv\left\{\begin{align}
&x=1+\mu \\
&y=\mu \qquad \qquad \mu \in \mathbb{R}\\
&z=2-2\mu
\end{align}
\right.
$$

La recta \(r\) puede ser expresada también de forma paramétrica como,

$$
r\equiv\left\{\begin{align}
&x=-3+2\lambda \\
&y=-4+2\lambda \qquad \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
&z=3+3\lambda
\end{align}
\right.
$$

Igualando ambas expresiones nos damos cuenta que la primera y la segunda ecuación son la misma por lo que solo tenemos que considerar una de ellas. Así, considerando por ejemplo la primera y tercera ecuación tenemos,

$$
\begin{align}
1+\mu=-3+2\lambda \\
2-2\mu=3+3\lambda
\end{align}
$$

Y el sistema equivalente a resolver es,
$$
\begin{align}
\mu-2\lambda =-4 \\
2\mu+3\lambda=-1
\end{align}
$$

Resolviendo por alg√ļn m√©todo obtenemos \(\lambda=1\). Con este valor es suficiente para sustituir en la expresi√≥n de la recta \(r\) obteniendo que el punto de corte entre las dos rectas es \((-1,-2,6)\)


Esta es una resolución personal de todos los ejercicios del examen de matemáticas II de la convocatoria de selectividad de Junio de 2021 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.


Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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