Integrales por cambio de variable resueltas | 2023 | Ejercicios de integrales
©2021 Carlos Martínez Martínez
A lo largo de esta entrada de mi blog de matemáticas aprenderás a calcular integrales por cambio de variable. Veremos cómo aplicar el método de cambio de variable para resolver integrales de selectividad y otras más sencillas.
Si lo deseas puedes consultar otra entrada con ejercicios de integrales por partes resueltas
Tabla de contenidos
¿En qué consiste el método de integración por cambio de variable?
La idea para resolver integrales por cambio de variable es sencilla; partimos de una integral que depende de una variable, generalmente \(x\), pero que no se puede resolver a simple vista. Con la técnica de integración por cambio de variable, también conocida como método de sustitución, conseguimos escribir la integral original en términos de una nueva variable, normalmente \(t\) que es más sencilla de resolver. Finalmente habrá que deshacer el cambio de variable realizado para obtener la solución en términos de la variable original y así tendríamos resuelta la integral por cambio de variable.
Para poder resolver estas integrales normalmente nos proporcionan el cambio de variable que hay que utilizar o seremos nosotros quienes tengamos que plantearlo.
Dado que así explicado puede que no esté del todo claro vamos a ver una serie de ejercicios resueltos de integrales por cambio de variable para que esta técnica quede mucho más clara. Es importante mencionar que los ejercicios de integrales por cambio de variable son muy comunes en el curso segundo de bachillerato y en las pruebas de selectividad, pevau o ebau.
Ejercicios resueltos de integrales por cambio de variable o sustitución
A continuación vamos a resolver integrales por cambio de variable paso a paso para que puedas aprender correctamente esta técnica de integración. Si tienes dudas o cualquier pregunta puedes plantearla en los comentarios al final de la página.
En todos los ejercicios de integrales por cambio de variable o sustitución encontrarás la integral planteada en verde y el cambio de variable que vamos a usar en color rojo.
Ejemplo 1
$$\int\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}dx \qquad\qquad cv:1+\sqrt{x}=t$$
Para resolver esta integral por cambio de variable debemos lograr expresar todo lo que dependa de \(x\) de dentro de la integral (incluido el diferencial) en términos de la nueva variable \(t\) usando el cambio de variable proporcionado.
Comenzamos trabajando el cambio de variable para obtener el diferencial de \(x\) en términos de \(t\). Para ello, es buena idea despejar el valor de \(x\) en la expresión del cambio y posteriormente derivar para obtener los diferenciales.
$$
1+\sqrt{x}=t\Leftrightarrow \sqrt{x}=t-1\Leftrightarrow x=(t-1)^2
$$
Si derivamos a la izquierda respecto de \(x\) y a la derecha respecto de \(t\) obtenemos los diferenciales,
$$
dx=2(t-1)dt
$$
A continuación vamos a sustituir toda la información en la integral original obteniendo una nueva integral que solo dependa de \(t\),
$$
\int\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}dx=\int\dfrac{1}{t}\cdot 2(t-1)dt=2\int\dfrac{t-1}{t}dt
$$
Aplicando algunas propiedades más de las integrales podemos resolver la integral obteniendo,
$$
2\left( \int 1dt -\int \dfrac{1}{t}dt\right)=2(t-\ln(t))
$$
Hemos resuelto la integral que dependía de la variable \(t\), como la integral original dependía de \(x\) solo tenemos que escribir el resultando sustituyendo los valores de \(t\) mediante el cambio de variable. Así el resultado de la integral es,
$$
\int\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2(1+\sqrt{x}-\ln(1+\sqrt{x}))+C
$$
Ejemplo 2
$$\int\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}dx \qquad \qquad cv: e^x=t$$
Para resolver esta integral por el método de sustitución no vamos a despejar la variable \(x\) como en el ejercicio anterior ya que solo obtendríamos un logaritmo que no nos facilitaría mucho el trabajo. Lo que vamos a hacer es derivar directamente el cambio de variable para obtener los diferenciales,
$$
e^xdx=dt
$$
Despejando \(dx\) obtenemos,
$$
dx=\dfrac{dt}{e^x}=\dfrac{dt}{t}
$$
El problema lo vamos a tener a la hora de sustituir en la integral. El valor \(e^x\) se puede sustituir sin problemas por \(t\) pero, ¿cómo expresamos \(e^{-x}\) en términos de \(t\)?. Solo tenemos que recordar que,
$$
e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{t}
$$
Sustituyendo toda la información en la integral obtenemos,
$$
\int\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}dx=\dfrac{1}{\left(t+\dfrac{1}{t} \right)}\cdot \dfrac{dt}{t}=\int \dfrac{1}{t^2+1}dt=\text{arctg}(t)
$$
Finalmente deshacemos el cambio de variable para terminar esta integral por sustitución obteniendo,
$$
\int\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}dx=\text{arctg}(e^x)+C
$$
Ejemplo 3
$$\int x^2\sqrt{x+1}dx \qquad \qquad cv:t=\sqrt{x+1}$$
En esta ocasión conviene nuevamente despejar la variable \(x\) del cambio de variable para posteriormente derivar y obtener el diferencial.
$$
t=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow t^2=x+1 \Leftrightarrow x=t^2-1
$$
Derivando a la izquierda respecto de \(x\) y a la derecha respecto de \(t\) obtenemos,
$$
dx=2tdt
$$
Sustituyendo en la integral podemos escribir,
\begin{align}
\int x^2\sqrt{x+1}dx& =\int (t^2-1)^2\cdot t\cdot 2tdt=\int (t^4+1-2t^2)2t^2dt=\int 2t^6+2t^2-4t^4dt \\ \\
&= \dfrac{2t^7}{7}+\dfrac{2t^3}{3}-\dfrac{4t^5}{5}
\end{align}
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos,
$$
\int x^2\sqrt{x+1}dx=\dfrac{2(\sqrt{x+1})^7}{7}+\dfrac{2(\sqrt{x+1})^3}{3}-\dfrac{(4\sqrt{x+1})^5}{5}+C
$$
Ejemplo 4
$$\int\dfrac{x^2}{x^3+1}dx \qquad\qquad cv:t=x^3+1$$
Para resolver esta integral comenzamos despejando el valor \(x^3\) del cambio de variable,
$$
t=x^3+1\Leftrightarrow x^3=t-1
$$
Buscamos los diferenciales obteniendo en esta ocasión,
$$
3x^2dx=dt
$$
Y podemos obtener la siguiente expresión,
$$
x^2dx=\dfrac{dt}{3}
$$
Sustituyendo en la integral tenemos,
$$
\int\dfrac{x^2}{x^3+1}dx=\int\dfrac{1}{t}\dfrac{dt}{3}=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{1}{t}dt=\dfrac{1}{3}\ln(t)
$$
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos,
$$
\int\dfrac{x^2}{x^3+1}dx=\dfrac{1}{3}\ln(x^3+1)+C
$$
Ejemplo 5
$$\int xe^{-x^2}dx \qquad\qquad cv:t=-x^2$$
Comenzamos despejando el valor \(x^2\) del cambio de variable obteniendo,
$$
x^2=-t
$$
Derivando para obtener los diferenciales se tiene,
$$
2xdx=-dt\Leftrightarrow xdx=-\dfrac{dt}{2}
$$
Reescribiendo la integral original y sustituyendo los valores obtenidos podemos escribir,
$$
\int xe^{-x^2}dx=\int e^{-x^2}xdx=\int e^t\cdot\left(-\dfrac{dt}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}\int e^tdt=-\dfrac{1}{2}e^t
$$
Finalmente, podemos deshacer el cambio de variable utilizado para obtener,
$$
\int xe^{-x^2}dx=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}+C
$$
Ejemplo 6
$$\int\text{sen}(\sqrt{x})dx \qquad\qquad cv:\sqrt{x}=t$$
Comenzamos despejando el valor \(x\) del cambio de variable elevando la expresión al cuadrado.
$$
\sqrt{x}=t\Leftrightarrow x=t^2
$$
Ahora podemos obtener los diferenciales facilmente,
$$
dx=2tdt
$$
Sustituyendo en la integral original obtenemos,
$$
\int\text{sen}(\sqrt{x})dx=\int \text{sen}(t)\cdot 2tdt=2\int \text{sen}(t)\cdot tdt
$$
Esta nueva integral que hemos obtenido no se puede resolver de forma inmediata. De manera más concreta, es una integral que tendremos que resolver aplicando la técnica de integración por partes.
$$
\begin{matrix}
u=t & du=dt \\
dv=\text{sen}(t)dt & v=-\text{cos}(t)
\end{matrix}
$$
Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos,
\begin{align}
2\int \text{sen}(t)\cdot tdt=&2\left( t(-\text{cos}(t))-\int -\text{cos}(t)dt \right) \\ \\
%= -2t\text{cos}(t)+2\int \text{cos}(t)dt \\ \\
&=-2t\text{cos}(t)+2\text{sen}(t)
\end{align}
Ahora tenemos que deshacer el cambio de variable original obteniendo,
$$
-2\sqrt{x}\,\text{cos}(\sqrt{x})+2\,\text{sen}(\sqrt{x})=2\,(\text{sen}(\sqrt{x})-\sqrt{x}\,\text{cos}(\sqrt{x}))+C
$$
Ejemplo 7
$$\int\dfrac{1}{x(\ln(x))^2}dx \qquad\qquad cv:t=\ln(x)$$
Para resolver la integral comenzamos trabajando con el cambio de variable. En esta ocasión no es necesario despejar la variable \(x\) ya que obtendríamos una exponencial por lo que directamente podemos derivar para obtener los diferenciales.
$$
dt=\dfrac{1}{x}dx \Leftrightarrow dx=dt\cdot x
$$
En esta ocasión vamos a dejar un término \(x\) en el diferencial que posteriormente se anulará al escribir la integral. Veámoslo,
\begin{align}
\int\dfrac{1}{x(\ln(x))^2}dx&=\int\dfrac{1}{\cancel{x}\cdot t^2}dt\cdot \cancel{x}=\int \dfrac{1}{t^2}dt \\ \\
&= \int t^{-2}dt=\dfrac{t^{-1}}{-1}=-\dfrac{1}{t}
\end{align}
Deshaciendo el cambio de variable podemos escribir,
$$
\int\dfrac{1}{x(\ln(x))^2}dx=-\dfrac{1}{\ln(x)}+C
$$
Ejemplo 8
$$\int\dfrac{3x}{\sqrt[3]{x^2+3}}dx \qquad \qquad cv: t=x^2+3$$
Comenzamos como siempre, trabajando el cambio de variable. En esta ocasión despejamos el término \(x^2\) obteniendo,
$$
x^2=t-3
$$
Podemos calcular los diferenciales y despejar un término que aparece en la integral,
$$
2x\cdot dx=dt\Leftrightarrow x\cdot dx=\dfrac{dt}{2}
$$
Vamos a escribir la integral inicial de una forma que nos permita sustituir de manera más sencilla,
\begin{align}
\int\dfrac{3x}{\sqrt[3]{x^2+3}}dx&=3\int\dfrac{x\cdot dx}{\sqrt[3]{x^2+3}}dx \\ \\
&=3\int \dfrac{dt/2}{\sqrt[3]{t-3+3}}=\dfrac{3}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt[3]{t}} \\ \\
&=\dfrac{3}{2}\int t^{-1/3}dt=\dfrac{3}{2}\dfrac{t^{2/3}}{2/3}=\dfrac{9}{4}t^{2/3}
\end{align}
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos,
$$
\int\dfrac{3x}{\sqrt[3]{x^2+3}}dx=\dfrac{9}{4}(x^2+3)^{2/3}+C
$$
Ejemplo 9
$$\int\dfrac{\text{arctg}(x/2)}{4+x^2}dx \qquad\qquad cv:\text{arctg}(x/2)=t$$
Comenzamos derivando el cambio de variable para obtener los diferenciales. En concreto buscamos una expresión de \(dx\),
\begin{align}
dt=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}dx &\Leftrightarrow dt=\dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{4}}\cdot\dfrac{1}{2}dx \\ \\
& \Leftrightarrow dt=\dfrac{1}{\dfrac{4+x^2}{4}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{4+x^2}dx \\ \\ & \Leftrightarrow dt=\dfrac{2}{4+x^2}dx \Leftrightarrow dx=\dfrac{4+x^2}{2}dt
\end{align}
Sustituyendo en la integral original obtenemos,
$$ \int\dfrac{\text{arctg}(x/2)}{4+x^2}dx=\int\dfrac{t}{\cancel{4+x^2}}\cdot \dfrac{\cancel{4+x^2}}{2}dt =\int\dfrac{t}{2}dt=\dfrac{t^2}{4} $$
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos,
$$ \int\dfrac{\text{arctg}(x/2)}{4+x^2}dx=\dfrac{(\text{arctg}(x/2))^2}{4}+C $$
Ejemplo 10
$$\int(e^x+1)^2e^xdx \qquad\qquad cv:e^x+1=t$$
Derivando el cambio de variable obtenemos los diferenciales,
$$
dt=e^xdx
$$
Sin más, podemos sustituir en la integral planteada obteniendo,
$$ \int(e^x+1)^2e^xdx=\int t^2dt=\dfrac{t^3}{3} $$
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos el resultado final de la integral,
$$ \int(e^x+1)^2e^xdx=\dfrac{(e^x+1)^3}{3}+C $$
Para que puedas seguir practicando ejercicios y viendo si llegas a la solución correcta te dejo esta calculadora de integrales por cambio de variable donde también podrás resolver integrales de otro tipo pero recuerda, si quieres aprender a integrar de forma correcta necesitas conocer la teoría y practicar mucho los ejercicios.
Esta es una resolución personal de las integrales por cambio de variable anteriormente planteada por lo que otras soluciones también pueden ser válidas.
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