Punto simétrico en el espacio | Ejercicios punto simétrico

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post vamos a aprender toda la teoría necesaria para resolver ejercicios paso a paso de punto simétrico en el espacio \(\mathbb{R}^3\).

Para la correcta comprensión de las siguientes líneas es necesario saber trabajar con puntos, vectores, rectas y planos en el espacio por lo que se recomienda su estudio de forma previa.

Punto medio

Antes de hablar de punto simétrico es importante conocer la idea de punto medio de dos puntos dados. Para ello, vamos a considerar dos puntos del espacio, \(P=(x_0,y_0,z_0)\) y \(P’=(x_1,y_1,z_1)\). Definimos el punto medio del segmento definido por los puntos \(P\) y \(P’\) como,

$$
Q=\left( \dfrac{x_0+x_1}{2},\dfrac{y_0+y_1}{2}, \dfrac{z_0+z_1}{2}\right)
$$

En términos de distancia, el punto medio del segmento verifica \(dist(P,Q)=dist(P’,Q)\)

Punto simétrico respecto de un punto

En las condiciones anteriores, decimos que el punto es el punto simétrico de respecto de .
Dicho de otro modo, el punto simétrico de un punto respecto de otro punto , es otro punto de manera que es el punto medio del segmento \(\overline{PP’}\)

A continuación podemos ver algunos ejercicios resueltos,

Ejercicio resuelto 1

Calcula el punto simétrico de \(P=(-1,2,1)\) respecto del punto \(Q=(2,1,-3)\).

Buscamos un punto de manera que sea el punto medio del segmento \(\overline{PP’}\).

$$
(2,1,-3)=\left(\dfrac{-1+x}{2},\dfrac{2+y}{2},\dfrac{1+z}{2}\right)
$$

Igualando coordenada a coordenada tenemos,

\begin{align}
2&=\dfrac{-1+x}{2}\Leftrightarrow 4=-1+x\Leftrightarrow x=5 \\ \\
1&=\dfrac{2+y}{2} \Leftrightarrow 2=2+y \Leftrightarrow y=0 \\ \\
-3&=\dfrac{1+z}{2} \Leftrightarrow -6=1+z\Leftrightarrow z=-7
\end{align}

Así, el punto buscado es

Ejercicio resuelto 2

Dado un punto \(P=(3,2,-4)\) y su simétrico \(P’=(-3,0,2)\). Calcula el punto \(Q\) que es el punto medio del segmento \(\overline{PP’}\).

En esta ocasión solamente es necesario calcular el punto medio de los dos puntos dados utilizando la propia definición.

$$
Q=(x,y,z)=\left( \dfrac{3+(-3)}{2}, \dfrac{2+0}{2}, \dfrac{-4+2}{2}\right)=(0,1,-1)
$$

Así el punto buscado es \(Q=(0,1,-1)\)

Aquí puedes ver un vídeo sobre cómo calcular el punto simétrico respecto de otro punto en el espacio.

Punto simétrico de un punto respecto de una recta

Cuando estudiamos la simetría de un punto respecto a una recta o dicho de otro modo el punto simétrico respecto a una recta partimos de la siguiente definición: El punto simétrico de un punto \(P\) respecto de una recta \(r\) es otro punto \(P’\) de manera que la recta \(r\) pasa por el punto medio del segmento \(\overline{PP’}\). De esta manera el vector \(\overrightarrow{PP’}\) es perpendicular a la recta \(r\).

A continuación vamos a resolver dos ejercicios que permiten calcular el punto simétrico de un punto respecto de una recta de dos maneras distintas.

Ejercicio resuelto 1

Calcula el punto simétrico del punto \(P=(3,2,0)\) respecto de la recta \(r\) definida por,
$$
\left \{ \begin{matrix} x+y-z=3  \\ x+2z=-1\end{matrix}\right.
$$

La idea de este tipo de ejercicio es calcular el punto \(Q\) (punto medio del segmento \(\overline{PP’}\)) y a partir de dicho punto y el punto \(P\) obtener \(P’\) como punto simétrico respecto de un punto.
En primer lugar hay que darse cuenta que el punto \(Q\) viene dado por la intersección entre la recta \(r\) y el plano \(\pi\).

Comenzamos calculando la expresión en coordenadas paramétricas de la recta \(r\) para que sea más fácil hallar la expresión del plano. Tomando \(z=\lambda\) se tiene,

$$
x=-1-2\lambda \qquad y=4+3\lambda \qquad z=\lambda
$$

Por lo que la recta \(r\) viene dada por,
$$
\left \{ \begin{align}
x&=-1-2\lambda  \\
y&=4+3\lambda \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
z&=\lambda
\end{align}\right.
$$

Es claro que el vector director de la recta \(r\) coincide con el vector normal del plano \(\pi\),

$$
\overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{n_{\pi}}=(2,3,1)
$$

Por lo que calculamos la ecuación general del plano imponiendo que su vector normal es \(\overrightarrow{n}_{\pi}\) y pasa por el punto \( P=(3,2,0)\) 

La ecuación general del plano estará dada por la expresión,

$$
\pi\equiv -2x+3y+z+D=0
$$

Imponiendo que el punto \(P\) está en el plano se tiene,

Así que el plano \(\pi\) viene dado por,

A continuación, solo tenemos que calcular el punto medio del segmento como la intersección entre el plano y la recta .

\begin{align}
-2(-1-2\lambda)+3(4+3\lambda)+\lambda=0 &\Leftrightarrow 2+4\lambda+12+9\lambda+\lambda=0 \\ \Leftrightarrow &14\lambda +14=0 \\ \Leftrightarrow &\lambda=-1
\end{align}

Sustituyendo el valor de \(\lambda\) en la expresión de \(r\) obtenemos el punto \(Q\),
$$
Q=(1,1,-1)
$$

Finalmente calculamos el punto simétrico de \(P\) respecto de \(Q\). Tomamos \(P’=(x,y,z)\)

$$
Q=(1,1,-1)=\left(\dfrac{3+x}{2},\dfrac{2+y}{2},\dfrac{0+z}{2}\right)
$$

Despejando obtenemos,

$$
P’=(-1,0,-2)
$$

Ejercicio resuelto 2

Calcula el punto simétrico del punto \(P=(1,0,-1)\) respecto de la recta \(r\) dada por
$$
r\equiv x-5=y=\dfrac{z+2}{-2}
$$

Vamos a resolver este ejercicio de una manera alternativa al anterior. Para ello, vamos a buscar el punto \(Q\) de la recta \(r\) que es el punto medio del segmento \(\overline{PP’}\) imponiendo que el vector \(\overrightarrow{PQ}\) es perpendicular al vector director de la recta, \(\overrightarrow{v}_r\)

Comenzamos escribiendo la recta en coordenadas paramétricas.

$$
r\equiv\left \{ \begin{align} x&=5+\lambda  \\ y&=\lambda \qquad \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\ z&=-2-2\lambda \end{align}\right.
$$

Por tanto, el punto \(Q\), que pertenece a la recta, se puede escribir de forma genérica como,

$$
Q=(5+\lambda,\lambda,-2-2\lambda)
$$

El vector director de la recta viene dado por \(\overrightarrow{v}_r=(1,1,-2)\) y podemos calcular el vector que va del punto \(P\) al punto \(Q\),
\begin{align}
\overrightarrow{PQ}&=Q-P=(5+\lambda,\lambda,-2-2\lambda)-(1,0,-1) \\
&=(4+\lambda,\lambda, -1-2\lambda)
\end{align}

Imponiendo que los vectores \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{v}_r\) son perpendiculares (su producto escalar es igual a 0) se tiene,

\begin{align}
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{v}_r=0&\Leftrightarrow (4+\lambda,\lambda, -1-2\lambda)\cdot(1,1,-2)=0 \\
&\Leftrightarrow4+\lambda+\lambda+2+4\lambda=0\\
&\Leftrightarrow \lambda=-1
\end{align}

Sustituyendo ese valor de \(\lambda\) en la expresión de \(Q\) se tiene,

$$
Q=(4,-1,0)
$$

Finalmente, solo tenemos que calcular el punto simétrico de \(P\) respecto de \(Q\). Si definimos \(P’=(x,y,z)\) se ha de verificar,

$$
Q=(4,-1,0)=\left(\dfrac{1+x}{2},\dfrac{0+y}{2},\dfrac{-1+z}{2}\right)
$$

Igualando coordenada a coordenada y despejando las incógnitas se tiene,

$$
P’=(7,-2,1)
$$

Punto simétrico respecto de un plano

El punto simétrico de un punto respecto de un plano es otro punto de manera que el plano pasa por el punto medio del segmento \(\overline{PP’}\) y además el plano es perpendicular al segmento y al vector que une los puntos y .

Para calcular puntos simétricos respecto de un plano la idea es parecida a la de los ejemplos anteriores. Calcularemos la recta que es perpendicular al plano y pasa por el punto dado \(P\) y continuaremos calculando el punto \(Q\) que no es mas que la intersección entre la recta mencionada y el plano \(\pi\). Finalmente obtendremos las coordenadas del punto \(P’\) como las coordenadas del punto simétrico de \(P\) respecto de \(Q\).

Para ver como se realizan estos pasos vamos a resolver algunos ejercicios.

Ejercicio resuelto

Calcula el punto simétrico del punto \(P=(1,2,1)\) respecto del plano de ecuación
$$
\pi\equiv x-y+z+2=0
$$

Comenzamos calculando la ecuación de la recta \(r\) que corta perpendicularmente al plano \(\pi\) y pasa por el punto \(P\). Para ello, de la ecuación general del plano podemos obtener el vector normal al plano que coincide con el vector director de la recta buscada,

$$
\overrightarrow{n}_{\pi}=\overrightarrow{v}_r=(1,-1,1)
$$

Así, con el vector \(\overrightarrow{v}_r\) y el punto \(P\) podemos escribir las ecuaciones paramétricas de la recta,

$$
r\equiv\left \{ \begin{align}
x&=1+\lambda  \\
y&=2-\lambda \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
z&=1+\lambda
\end{align}\right.
$$
A continuación, vamos a calcular el punto \(Q\) como intersección de la recta \(r\) y el plano \(\pi\) sin más que sustituir las coordenadas de la recta en la expresión del plano,

$$
(1+\lambda)-(2-\lambda)+(1+\lambda)+2=0\Leftrightarrow 3\lambda+2=0\Leftrightarrow \lambda=-\dfrac{2}{3}
$$

Sustituyendo el valor de \(\lambda\) en la expresión de la recta obtenemos las coordenadas del punto \(Q\),

$$
Q=\left( \dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}\right)
$$

Finalmente, calculamos las coordenadas del punto como punto simétrico de respecto de ,

$$
Q=\left( \dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1+x}{2},\dfrac{2+y}{2},\dfrac{1+z}{2} \right)
$$

Obteniendo,
$$
P’=\left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)
$$

Si tienes dudas con la teoría o los ejercicios sobre puntos simétricos o cualquier problema en matemáticas o estadística puedes contactar conmigo.

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