Reglas de derivación | Cómo calcular derivadas
©2020 Carlos Martínez Martínez
A lo largo de este post aprenderemos las principales reglas de derivación para diferentes tipos de funciones entre las que destacaremos: constantes, potencias, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y las principales funciones trigonométricas.
La derivada de una función es un concepto matemático cuyos orígenes se dieron en el siglo XVII gracias a Newton y Leibniz. Gracias a sus aportes hoy día existen multitud de aplicaciones de la derivada de una función.
Reglas de derivación de las principales funciones
Durante el desarrollo de este post explicaremos las principales reglas de derivación para funciones donde denotaremos como \(f'(x)\) a la derivada de una función \(f(x)\) . Además estudiaremos las reglas de derivación para el producto y el cociente de dos funciones.
Derivada de una constante
La derivada de una función constante es muy simple ya que siempre será cero. La siguiente expresión genérica expresa la derivada de una constante:
$$ f(x)=k\longrightarrow f'(x)=0 $$Por ejemplo para la función
Derivada de una potencia
Una función potencial es del forma
Como caso particular de este ejemplo podemos ver la derivada de una función de la forma \(f(x)=x^n\). Así,
$$ f(x)=x^n\longrightarrow f'(x)=nx^{n-1} $$Como ejemplo podemos observar que la derivada de la función \(f(x)=x^4\) viene dada por,
$$ f(x)=x^4 \longrightarrow f'(x)=4x^3 $$Como ejemplo del caso general vamos a calcular la derivada de \((1+2x)^5\)
$$ \left((1+2x)^5\right)’=5(1+2x)^4\cdot 2 $$Derivada de la función exponencial
A continuación explicaremos las reglas de derivación para las funciones exponenciales y distinguiremos entre exponenciales generales y funciones exponenciales con base
Función exponencial
En general la derivada de cualquier función exponencial con base
Como ejemplo de este caso podemos calcular la derivada de la función \(8^{3x}\)
$$ \left(8^{3x}\right)’=8^{3x}\cdot 3 \cdot \ln(8) $$Como caso particular de esta generalización se tienen las funciones exponenciales de la forma
Como ejemplo de este caso particular podemos calcular la derivada de la función \(f(x)=3^x\)
$$ f'(x)=3^x\cdot \ln(3) $$Función exponencial en base \(e\)
En general la derivada de una función exponencial con base \(e\) viene dada por la siguiente expresión
$$ e^f\longrightarrow (e^f)’=e^f\cdot f’ $$Como ejemplo de esta regla podemos calcular la derivada de la función \(e^{x^2}\)
$$ \left(e^{x^2} \right)’=e^{x^2}\cdot 2x $$Además podemos calcular el caso particular para la función
Derivada de la función logaritmo neperiano
En general la derivada del logaritmo neperiano de una función viene dada por,
$$ \ln(f)\longrightarrow (\ln(f))’=\frac{f’}{f} $$Como ejemplo de esta generalización podemos calcular la derivada de la función \(\ln(3x^2+5)\) obteniendo,
$$ \left(\ln(3x^2+5)\right)’=\frac{6x}{3x^2+5} $$Como caso particular podemos obtener la derivada para la función \(f(x)=\ln(x)\) cuya derivada viene dada por,
$$ f(x)=\ln(x)\longrightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $$Derivada de las funciones trigonométricas
Derivada de la función seno
En general la derivada del seno de una función (denotada como \(\sin\))sigue la siguiente estructura,
$$ \sin(f)\longrightarrow \left(\sin(f)\right)’=\cos(f)\cdot f’ $$Como ejemplo de esta estructura se puede calcular la derivada de la función \( \sin(x^3+3x)\)
$$ \left(\sin(x^3+3x)\right)’=\cos(x^3+3x)\cdot (3x^2+3) $$Como caso particular es posible obtener la derivada de la función \(f(x)=\sin(x)\)
$$ f(x)=\sin(x)\longrightarrow f'(x)=\cos(x) $$Derivada de la función coseno
En general la derivada del coseno de una función viene dada por:
$$ \cos(f)\longrightarrow \left( \cos(f)\right)’=-\sin(f)\cdot f’ $$Como ejemplo de esta estructura podemos calcular la derivada de la función \(\cos(x^2+5x-2)\)
$$ \left(\cos(x^2+5x-2)\right)’=-\sin(x^2+5x-2)\cdot (2x+5) $$Como caso particular de esta generalización podemos calcular la derivada de la función \(f(x)=\cos(x)\) dada por,
$$ f(x)=\cos(x)\longrightarrow f'(x)=-\sin(x) $$Reglas de derivación para cociente y producto de dos funciones
Consideremos dos funciones no nulas de la forma \(f\) y \(g\). Es posible calcular la derivada del producto \(f\cdot g\) y la del cociente \(f/g\).
Derivada del producto de funciones
La derivada del producto de dos funciones \(f\) y \(g\) es una de las reglas de derivación más ampliamente usadas y viene dada por,
$$ \left( f\cdot g\right)’=f’\cdot g+f\cdot g’ $$Como ejemplo podemos calcular la derivada del producto de las funciones \(f(x)=\sin(x)\) y \(g(x)=e^x\)
$$ \left(f(x)\cdot g(x)\right)’=\left(\sin(x)\cdot e^x\right)’=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x $$Derivada del cociente de funciones
La derivada del cociente de dos funciones \(f(x)\) entre \(g(x)\) viene dada por
$$ \left( \frac{f}{g}\right)’=\frac{f’\cdot g-f\cdot g’}{g^2} $$Como ejemplo de esta regla vamos a calcular la derivada del cociente de las funciones \(f(x)=x^2+3x\) y \(g(x)=\ln(x)\)
$$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\left(\frac{x^2+3x}{\ln(x)} \right)’=\frac{(2x+3)\cdot\ln(x)+(x^2+3x)\cdot\frac{1}{x}}{(\ln(x))^2} $$Si te ha gustado esta entrada sobre reglas de derivación puedes descubrir más material gratuito en mi blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre matemáticas o estadística puedes visitar mi canal de Youtube .
Muy bueno!! Gracias por el aporte, me has salvado en mi examen de matemáticas.
Un placer poder ayudarte Pablo. No te pierdas nuestros próximos post sobre derivadas.