Reglas de derivación

Por Carlos Martínez
Reglas de derivación

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post aprenderemos las principales reglas de derivación para diferentes tipos de funciones entre las que destacaremos: constantes, potencias, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y las principales funciones trigonométricas.

Reglas de derivación. Idea de derivada

La derivada de una función es un concepto matemático cuyos orígenes se dieron en el siglo XVII gracias a Newton y Leibniz. Gracias a sus aportes hoy día existen multitud de aplicaciones de la derivada de una función.

Reglas de derivación de las principales funciones

Durante el desarrollo de este post explicaremos las principales reglas de derivación para funciones donde denotaremos como \(f'(x)\) a la derivada de una función \(f(x)\) . Además estudiaremos las reglas de derivación para el producto y el cociente de dos funciones.

Derivada de una constante

La derivada de una función constante es muy simple ya que siempre será cero. La siguiente expresión genérica expresa la derivada de una constante:

$$ f(x)=k\longrightarrow f'(x)=0 $$

Por ejemplo para la función se tiene,

$$ f'(x)=0 $$

Derivada de una potencia

Una función potencial es del forma con un número entero. En general la derivada de una función potencial viene dada por,

$$ \left(f^n \right)’=nf^{n-1}\cdot f’ $$

Como caso particular de este ejemplo podemos ver la derivada de una función de la forma \(f(x)=x^n\). Así,

$$ f(x)=x^n\longrightarrow f'(x)=nx^{n-1} $$

Como ejemplo podemos observar que la derivada de la función \(f(x)=x^4\) viene dada por,

$$ f(x)=x^4 \longrightarrow f'(x)=4x^3 $$

Como ejemplo del caso general vamos a calcular la derivada de \((1+2x)^5\)

$$ \left((1+2x)^5\right)’=5(1+2x)^4\cdot 2 $$

Derivada de la función exponencial

A continuación explicaremos las reglas de derivación para las funciones exponenciales y distinguiremos entre exponenciales generales y funciones exponenciales con base

Función exponencial

En general la derivada de cualquier función exponencial con base viene dada por,

$$ a^f \longrightarrow (a^f)’=a^f\cdot f’\cdot \ln(a) $$

Como ejemplo de este caso podemos calcular la derivada de la función \(8^{3x}\)

$$ \left(8^{3x}\right)’=8^{3x}\cdot 3 \cdot \ln(8) $$

Como caso particular de esta generalización se tienen las funciones exponenciales de la forma cuya derivada viene dada por,

$$ f(x)=a^x\longrightarrow f'(x)=a^x\cdot \ln(a) $$

Como ejemplo de este caso particular podemos calcular la derivada de la función \(f(x)=3^x\)

$$ f'(x)=3^x\cdot \ln(3) $$

Función exponencial en base \(e\)

En general la derivada de una función exponencial con base \(e\) viene dada por la siguiente expresión

$$ e^f\longrightarrow (e^f)’=e^f\cdot f’ $$

Como ejemplo de esta regla podemos calcular la derivada de la función \(e^{x^2}\)

$$ \left(e^{x^2} \right)’=e^{x^2}\cdot 2x $$

Además podemos calcular el caso particular para la función

$$ f(x)=e^x\longrightarrow f'(x)=e^x $$

Derivada de la función logaritmo neperiano

En general la derivada del logaritmo neperiano de una función viene dada por,

$$ \ln(f)\longrightarrow (\ln(f))’=\frac{f’}{f} $$

Como ejemplo de esta generalización podemos calcular la derivada de la función \(\ln(3x^2+5)\) obteniendo,

$$ \left(\ln(3x^2+5)\right)’=\frac{6x}{3x^2+5} $$

Como caso particular podemos obtener la derivada para la función \(f(x)=\ln(x)\) cuya derivada viene dada por,

$$ f(x)=\ln(x)\longrightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $$

Derivada de las funciones trigonométricas

Derivada de la función seno

En general la derivada del seno de una función (denotada como \(\sin\))sigue la siguiente estructura,

$$ \sin(f)\longrightarrow \left(\sin(f)\right)’=\cos(f)\cdot f’ $$

Como ejemplo de esta estructura se puede calcular la derivada de la función \( \sin(x^3+3x)\)

$$ \left(\sin(x^3+3x)\right)’=\cos(x^3+3x)\cdot (3x^2+3) $$

Como caso particular es posible obtener la derivada de la función \(f(x)=\sin(x)\)

$$ f(x)=\sin(x)\longrightarrow f'(x)=\cos(x) $$

Derivada de la función coseno

En general la derivada del coseno de una función viene dada por:

$$ \cos(f)\longrightarrow \left( \cos(f)\right)’=-\sin(f)\cdot f’ $$

Como ejemplo de esta estructura podemos calcular la derivada de la función \(\cos(x^2+5x-2)\)

$$ \left(\cos(x^2+5x-2)\right)’=-\sin(x^2+5x-2)\cdot (2x+5) $$

Como caso particular de esta generalización podemos calcular la derivada de la función \(f(x)=\cos(x)\) dada por,

$$ f(x)=\cos(x)\longrightarrow f'(x)=-\sin(x) $$

Reglas de derivación para cociente y producto de dos funciones

Consideremos dos funciones no nulas de la forma \(f\) y \(g\). Es posible calcular la derivada del producto \(f\cdot g\) y la del cociente \(f/g\).

Derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones \(f\) y \(g\) es una de las reglas de derivación más ampliamente usadas y viene dada por,

$$ \left( f\cdot g\right)’=f’\cdot g+f\cdot g’ $$

Como ejemplo podemos calcular la derivada del producto de las funciones \(f(x)=\sin(x)\) y \(g(x)=e^x\)

$$ \left(f(x)\cdot g(x)\right)’=\left(\sin(x)\cdot e^x\right)’=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x $$

Derivada del cociente de funciones

La derivada del cociente de dos funciones \(f(x)\) entre \(g(x)\) viene dada por

$$ \left( \frac{f}{g}\right)’=\frac{f’\cdot g-f\cdot g’}{g^2} $$

Como ejemplo de esta regla vamos a calcular la derivada del cociente de las funciones \(f(x)=x^2+3x\) y \(g(x)=\ln(x)\)

$$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\left(\frac{x^2+3x}{\ln(x)} \right)’=\frac{(2x+3)\cdot\ln(x)+(x^2+3x)\cdot\frac{1}{x}}{(\ln(x))^2} $$

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