Potencias y propiedades: Guía completa y ejercicios resueltos para ESO

Comprender las potencias y sus propiedades es fundamental en los cursos de ESO, ya que aparecen en expresiones algebraicas, ecuaciones, notación científica y problemas de proporcionalidad. En esta guía aprenderás de manera clara y paso a paso cómo funcionan las potencias, cómo se aplican sus reglas y cómo simplificar cualquier ejercicio típico. Además, encontrarás ejercicios resueltos de potencias paso a paso perfectos para practicar y afianzar tus conocimientos.

El primer paso a la hora de trabajar con potencias es conocer qué es una potencia. En concreto una potencia es una expresión algebraica de la forma \(a^m\) donde \(a\) se conoce como base y \(m\) se conoce como exponente. Tanto para la base como para el exponente puede ocurrir que sean números positivos o negativos.

El siguiente paso es conocer las propiedades de las potencias por lo que aquí te dejo una tabla resumen con las más importantes y las que vas a tener que utilizar a la hora de resolver los ejercicios.

Otra cosa fundamental a la hora de trabajar con potencias y sus propiedades es saber hacer la descomposición en factores primos ya que lo tendremos que utilizar para resolver los problemas de potencias.

Una vez tenemos claras las propiedades es el momento de empezar a resolver ejercicios y a practicar con ellas. En general todos los ejercicios de propiedades de las potencias consisten en simplificar expresiones complejas utilizando dichas propiedades. ¡Vamos a ello!

Ejercicios propiedades de las potencias resueltos

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 1

Simplificar $$2^3\cdot 2^{-5}$$

Aplicamos la propiedad de producto de potencias con la misma base y sumamos los exponentes
\begin{align}
2^3\cdot 2^{-5}&=2^{3+(-5)} \\
&=2^{-2}\quad\text{(Aplicamos la propiedad de exponente negativo)}\\
&= \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 2

Simplificar
$$\dfrac{5^{7}}{5^{4}}$$

\begin{align}
\dfrac{5^{7}}{5^{4}}&=5^{7-4} \quad\text{(cociente de potencias)} \\
&=5^{3}=125.
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 3

Simplificar

$$\dfrac{2^{-4}\cdot 3^2}{6^{-1}}$$

Comenzamos aplicando la descomposición en factores primos para el denominador, por lo que obtenemos,\( 6^{-1}=(2\cdot 3)^{-1}=2^{-1}\cdot 3^{-1}\)

Si juntamos todo tenemos,

\begin{align}
\dfrac{2^{-4}\cdot 3^2}{6^{-1}}&=\dfrac{2^{-4}\cdot 3^2}{2^{-1}\cdot 3^{-1}}=\dfrac{2^{-4}}{2^{-1}}\cdot \dfrac{3^2}{3^{-1}}\quad\text{(cociente de potencias con misma base)}\\
&=2^{-4-(-1)}\cdot 3^{2-(-1)} \\
&=2^{-4+1}\cdot 3^{2+1}\\
&=2^{-3}\cdot 3^{3}\quad\text{(pasamos }2^{-3}\text{ a positivo bajándolo al denominador)}\\
&=\dfrac{3^{3}}{2^{3}} \\
&=\dfrac{27}{8}
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 5

$$
x^{1/2}\cdot x^{3/2}
$$

No siempre la base tienen que ser un número, en este caso es una letra y como tenemos un producto de potencias con la misma base (la letra x) aplicamos dicha propiedad y simplemente sumamos los exponentes.

\begin{align}
x^{1/2}\cdot x^{3/2} &= x^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}} \\
&= x^{\tfrac{4}{2}} \\
&= x^2
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 6

$$\dfrac{(2^{3})^{4}\cdot 4^{-5}}{2^{6}} $$

En esta ocasión tendremos que aplicar las propiedades potencia de una potencia, división de potencias con misma base, potencias con exponente negativo y la factorización en primos del número 4.

\begin{align}
\dfrac{(2^{3})^{4}\cdot 4^{-5}}{2^{6}}
&= \dfrac{2^{3\cdot 4}\cdot (2^{2})^{-5}}{2^{6}} \\
&= \dfrac{2^{12}\cdot 2^{-10}}{2^{6}} \\
&= 2^{12-10-6} \\
&= 2^{-4} \\
&= \dfrac{1}{16}
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 7

Simplifica

$$
\left(\dfrac{(x^{2}y)^{3}}{x^{5}y^{-2}}\right)^{-1}
$$

La estrategia principal que hay que llevar en este tipo de ejercicios es dejar cada expresión que contenga \(x\) e \( y\) lo más simplificada posible y después agrupar términos utilizando las diferentes propiedades de las potencias.

\begin{align}
\left(\dfrac{(x^{2}y)^{3}}{x^{5}y^{-2}}\right)^{-1}&= \left(\dfrac{x^{6}y^{3}}{x^{5}y^{-2}}\right)^{-1} = \left(x^{6-5}y^{3-(-2)}\right)^{-1} \\ \\
&= \left(x\, y^{5}\right)^{-1} = x^{-1}y^{-5} = \dfrac{1}{x\, y^{5}}
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 8

Simplifica

$$
\dfrac{81^{3/4}}{3^{5}}
$$

En este caso lo más importante es expresar el número 81 como una potencia para después simplemente aplicar las propiedades que ya hemos visto.

\begin{align}
\dfrac{81^{3/4}}{3^{5}}= \dfrac{(3^4)^{3/4}}{3^{5}} = \dfrac{3^{3}}{3^{5}}= 3^{3-5} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 9

Simplifica

$$54^{1/3}\cdot 6^{-1}\cdot 3^{2/3} $$

En este caso, de nuevo la clave es expresar los número grandes como potencias y después aplicar las propiedades que hemos visto.

\begin{align}
54^{1/3}\cdot 6^{-1}\cdot 3^{2/3}&= (2\cdot 3^{3})^{1/3}\cdot 6^{-1}\cdot 3^{2/3} = 2^{1/3}\cdot 3^{1}\cdot 6^{-1}\cdot 3^{2/3} \\ \\
&= 2^{1/3}\cdot 3^{1+\tfrac{2}{3}}\cdot 6^{-1} = 2^{1/3}\cdot 3^{\tfrac{5}{3}}\cdot (2\cdot 3)^{-1} = 2^{1/3}-1\cdot 3^{\tfrac{5}{3}-1} \\ \\
&= 2^{-2/3}\cdot 3^{2/3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2/3}
\end{align}

Ejercicio propiedades de las potencias resuelto 10

Simplifica $$(32^{-1/5}\cdot 2^{7/2})\div(4^{3/2}\cdot 16^{-3/4})$$

De nuevo, la clave es este ejercicio es descomponer los número como potencias y aplicar propiedades.

\begin{align}
(32^{-1/5}\cdot 2^{7/2})\div(4^{3/2}\cdot 16^{-3/4})&= \dfrac{(2^5)^{-1/5}\cdot 2^{7/2}}{(2^2)^{3/2}\cdot (2^4)^{-3/4}}= \dfrac{2^{-1}\cdot 2^{7/2}}{2^{3}\cdot 2^{-3}} \\ \\
&= \dfrac{2^{-1+7/2}}{2^{3-3}} = \dfrac{2^{5/2}}{2^{0}}= 2^{5/2}
\end{align}

Si te ha ayudad esta entrada de operaciones con las propiedades de las potencias y necesitas más material gratuito puedes visitar mi blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre matemáticas y estadística puedes visitar mi canal de Youtube donde encontrarás ejercicios resueltos de matemáticas y estadística a todos los niveles.