Operaciones con fracciones: Suma, resta multiplicación y división de fracciones
©2024 Carlos Martínez Martínez
A lo largo de este post encontrarás toda la teoría y ejercicios resueltos de operaciones con fracciones. Aprenderás a realizar sumas y restas de fracciones ya sean con el mismo denominador o sumas y restas de fracciones con distinto denominador. Además trabajaremos la multiplicación y división de fracciones donde utilizaremos la regla de lo signos y la jerarquía de operaciones.
A medida que vayas avanzando la dificultad de las operaciones con fracciones irá aumentando teniendo que usar técnicas como el mínimo común múltiplo en las sumas y restas de fracciones con distinto denominador.
Suma y resta de fracciones
En esta primera sección veremos como sumar y restar fracciones con el mismo denominador y como hacer sumas y restas de fracciones con distinto denominador.
Suma y resta de fracciones con el mismo denominador
Cuando trabajamos con fracciones se puede dar la situación en la que necesitemos saber como sumar y restar fracciones con el mismo denominador. Este tipo de operaciones es muy sencilla ya que únicamente debemos mantener el mismo denominador y sumar o restar los numeradores según los signos. Veamos algunos ejercicios de suma y resta de fracciones con igual denominador.
\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{1+5}{3}=\dfrac{6}{3}=2
$$
También podemos encontrarnos con varias sumas y restas de fracciones con el mismo denominador
enlazadas
\dfrac{2}{7}-\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{7}=\dfrac{2-5+4}{7}=\dfrac{1}{7}
$$
-\dfrac{1}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{-1-5}{8}=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}
$$
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{13}{2}-\dfrac{23}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{-1+13-23+5}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3
$$
Regla de los signos
La regla de los signos nos permite saber qué hacer cuando nos encontramos con dos signos juntos es decir, podemos saber el resultado de multiplicar o dividir dos números con el mismo o distinto signo.
\begin{align}
+\cdot-=- \\
-\cdot +=- \\
-\cdot -=+ \\
+\cdot+=+
\end{align}
\begin{align}
+:-=- \\
-: +=- \\
-: -=+ \\
+:+=+ \\
\end{align}
La regla de los signos nos permite resolver operaciones con fracciones de igual denominador del tipo,
\dfrac{5}{9}+\dfrac{-2}{9}
$$
Como tenemos dos signos juntos significa que se están multiplicando y usando que \( +\cdot -=- \) tenemos,
$$
\dfrac{5}{9}+\dfrac{-2}{9}=\dfrac{5-2}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}
$$
Veamos algunos ejemplos más de este tipo de suma y resta de fracciones.
\dfrac{5}{11}-\dfrac{-3}{11}
$$
Nuevamente nos encontramos dos signos juntos por lo que hay que aplicar la regla de multiplicación
de los signos. Usando que \( -\cdot -=+\) tenemos,
$$
\dfrac{5}{11}-\dfrac{-3}{11}=\dfrac{5-(-3)}{11}=\dfrac{5+3}{11}=\dfrac{8}{11}
$$
\dfrac{-3}{5}-\dfrac{-6}{5}+\dfrac{-4}{5}
$$
En esta operación con varias sumas y restas tenemos que aplicar la regla de los signos en cada paso.
Así, obtenemos,
$$
\dfrac{-3}{5}-\dfrac{-6}{5}+\dfrac{-4}{5}=\dfrac{-3-(-6)+(-4)}{5}=\dfrac{-3+6-4}{5}=-\dfrac{1}{5}
$$
Un último ejemplo sería,
-\dfrac{-15}{27}-\dfrac{-36}{27}=\dfrac{15+36}{27}=\dfrac{51}{27}=\dfrac{17}{9}
$$
Suma y resta de fracciones con distinto denominador
A continuación vamos a descubrir como sumar y restar fracciones con diferente denominador. Para ello tendremos que utilizar el mínimo común múltiplo.
El problema que tenemos en este tipo de ejercicios es que no podemos sumar y restar fracciones con distinto denominador. Por ello, el primer paso será obtener fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador para despúes poder operar.
En este ejemplo el tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los dos denominadores,\( m.c.m(3,4)=12\).
$$
\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{15}{12}=\dfrac{19}{12}
$$
A continuación podrás ver una serie de ejercicios resueltos de sumas y restas de fracciones con distinto denominador.
\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{2}
$$
En esta ocasión el mínimo común múltiplo es \(m.c.m(4,8,2)=8\). Por tanto podemos operar para obtener fracciones equivalentes y terminar realizando las operaciones.
$$
\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{20}{8}=\dfrac{25}{8}
$$
Veamos otro ejercicio de suma y resta de fracciones donde tenemos que usar la regla de los signos.
\dfrac{7}{2}+\dfrac{-5}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{42}{12}+\dfrac{-15}{12}-\dfrac{2}{12}=\dfrac{42+(-15)-2}{12}=\dfrac{42-15-2}{12}=\dfrac{25}{12}
$$
Ejercicios resueltos de suma y resta de fracciones con distinto denominador
A continuación proponemos una serie de ejercicios de suma y resta de fracciones con diferente denominador para que puedas seguir practicando
&\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}
\\ \\
&\dfrac{1}{5}-\dfrac{-1}{10}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{89}{30} \\ \\
&-\dfrac{-7}{3}+\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{12}\right)=\dfrac{37}{13} \\ \\
&\dfrac{13}{5}-\dfrac{8}{4}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{53}{30}
\end{align}
Multiplicación y división de fracciones
En esta parte vamos a ver cómo multiplicar y dividir fracciones. En esta situación no importa si los denominadores son o no iguales así que simplemente tendremos que aplicar estas dos fórmulas.
¿Cómo multiplicar y dividir fracciones?
$$
\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}
$$
$$
\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}
$$
Es decir, cuando trabajamos con producto de fracciones multiplicamos los numeradores por una parte y los denominadores por otra en línea mientras que si estamos trabajando con división de fracciones multiplicaremos en cruz. A la hora de hacer multiplicaciones o divisiones de fracciones no podemos olvidar usar la regla de los signos
Veamos algunos ejemplos de multiplicación y división de fracciones.
A continuación introducimos operaciones donde hay que aplicar la regla de los signos.
-\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{7}{4}=\dfrac{(-3)\cdot 7}{10\cdot 4}=\dfrac{-21}{40} \qquad \qquad \dfrac{-5}{2}:\dfrac{-8}{7}=\dfrac{(-5)\cdot 7}{2\cdot (-8)}=\dfrac{-35}{-16}=\dfrac{35}{16}
$$
Ejercicios de multiplicación y división de fracciones
A continuación podrás ver una lista con ejercicios resueltos de multiplicación y división de fracciones para que puedas seguir practicando. Recuerda utilizar siempre la regla de los signos cuando haya productos y divisiones.
&\left( -\dfrac{3}{4} \right) \times \dfrac{2}{5} = -\dfrac{6}{20} = -\dfrac{3}{10} \\ \\
&\dfrac{7}{3} \div \left( -\dfrac{2}{5} \right) = -\dfrac{35}{6} \\ \\
&-\dfrac{9}{8} \times -\dfrac{4}{3} = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2} \\ \\
& \dfrac{5}{6} \div \left( \dfrac{-7}{9} \right) = -\dfrac{45}{42} = -\dfrac{15}{14} \\ \\
&-\dfrac{11}{5} \div \dfrac{3}{4} = -\dfrac{44}{15}
\end{align}
Ejercicios suma, resta, multiplicación y división de fracciones
A continuación te dejo una nueva lista donde podrás practicar la suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Si tienes alguna duda puedes dejar un comentario con tu pregunta más abajo y la resolveremos.
& \frac{3}{4} + \left( -\frac{2}{5} \right) = \frac{15}{20} – \frac{8}{20} = \frac{7}{20} \\ \\
&\left( -\frac{7}{3} \right) – \left( \frac{4}{9} \right) = -\frac{21}{9} – \frac{4}{9} = -\frac{25}{9} \\ \\
&\frac{5}{6} \times \left( -\frac{3}{7} \right) = -\frac{15}{42} = -\frac{5}{14} \\ \\
&\left( -\frac{9}{8} \right) \div \frac{2}{5} = -\frac{45}{16} \\ \\
&\frac{11}{5} + \left( -\frac{13}{10} \right) = \frac{22}{10} – \frac{13}{10} = \frac{9}{10} \\ \\
&\left( \frac{-2}{3} \right) \times \frac{7}{4} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6} \\ \\
&\left( \frac{8}{9} \right) – \left( -\frac{5}{6} \right) = \frac{16}{18} + \frac{15}{18} = \frac{31}{18} \\ \\
&\left( -\frac{4}{7} \right) \div \left( \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{7} \times \frac{3}{2} = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7} \\ \\
&\frac{3}{10} + \frac{-1}{5} = \frac{3}{10} – \frac{2}{10} = \frac{1}{10} \\ \\
&\left( \frac{-6}{11} \right) \times \left( -\frac{5}{8} \right) = \frac{30}{88} = \frac{15}{44}
\end{align}
Si te ha gustado esta entrada de ejercicios de operaciones con fracciones y deseas descubrir más material gratuito puedes visitar mi blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre matemáticas y estadística puedes visitar mi canal de Youtube donde encontrarás ejercicios resueltos de matemáticas y estadística a todos los niveles.