Examen de Matemáticas II Selectividad Julio 2022 Andalucía Resuelto

©2023 Carlos Martínez Martínez

A continuación podrás ver el examen de matemáticas II selectividad julio 2022 de Andalucía resuelto paso a paso. Si quieres ver más exámenes resueltos te invito a que visites mi página de exámenes de selectividad de Andalucía.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Calcula \(a\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\longrightarrow{\infty}}\frac{ax }{(\ln(x))^3+2x}=1 \)

donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

Comenzamos calculando el valor del límite,

$$
\displaystyle\lim_{x\longrightarrow{\infty}}\frac{ax }{(\ln(x))^3+2x}=\frac{\infty}{\infty} \quad \text{Indet.}
$$

Como tenemos una indeterminación de tipo infinito partido infinito podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

$$
\displaystyle\lim_{x\longrightarrow{\infty}}\frac{ax }{(\ln(x))^3+2x}=\displaystyle\lim_{x\longrightarrow{\infty}}\frac{a }{3(\ln(x))^2\cdot \frac{1}{x}+2}=\frac{a}{3\cdot\infty\cdot \frac{1}{\infty}+2}
$$

Aquí tenemos una situación rara porque en el denominador tenemos dos infinitos. Solamente tenemos que recordad que por la escala de límites, la función polinómica tiene a infinito más rápido que la función logaritmo neperiano. Por tanto podemos afirmar que el límite inicial se comporta de la siguiente forma,

$$
\displaystyle\lim_{x\longrightarrow{\infty}}\frac{a }{3(\ln(x))^2\cdot \frac{1}{x}+2}=\frac{a}{ \frac{3}{\infty}+2}=\dfrac{a}{2}=1 \Leftrightarrow a=2
$$

Ejercicio 2. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto delimitado por la gráfica de la función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x)=-x^2+12\) y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

Comenzamos representando la situación descrita en el enunciado.

Tenemos que calcular los valores de \(x\) e \(y\) de manera que maximicemos el área del cuadrado de la situación representada.

Comenzamos definiendo la función área. Como se trata de un cuadrado será

$$
A(x,y)=2xy
$$

A continuación tenemos que encontrar la relación que existe entre las dos variables de manera que pasemos de tener una función de dos variables a una función de una única variable. En este caso, sabemos que la altura del cuadrado está dada por la expresión de la función cuadrática, por tanto,

$$
y=-x^2+12
$$

Así, podemos reescribir la función área en términos de \(x\),

$$
A(x)=2x\cdot (-x^2+12)=-2x^3+24x
$$

Buscamos el máximo de esa función utilizando la derivada,

$$
A'(x)=0\Leftrightarrow -6x^2+24=0\Leftrightarrow x=\pm 2
$$

Como \(x\) representa una distancia ha de ser positiva por tanto la solución buscada es \(x=2\). Comprobamos que dicho valor de \(x\) es un máximo con la segunda derivada.

$$
A^″(x)=-12x\Rightarrow A^″(2)=-24<0
$$

Por tanto en \(x=2\) existe un máximo de la función área y la altura la obtenemos sustituyendo en la expresión de \(y\)

$$
y=-(2)^2+12=8
$$

El área máxima la obtenemos sustituyendo por ejemplo \(x=2\) e \(y=8\) en la función original de dos variables.

$$
A(2,8)=2\cdot 2\cdot 8=32 u^2
$$

Y los vértices del cuadrado serían \( (2,0), (2,8), (-2,8), (-2,0)\)

Ejercicio 3. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Calcula \( \displaystyle\int_3^8 \dfrac{1}{\sqrt{1+x}-1}dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=\sqrt{1+x}-1 \))

Vamos a trabajar el cambio de variable que nos facilitan para poder expresar la integral original en términos de la variable \(t\). Cuando tenemos este tipo de cambio con raíces, lo ideal es intentar despejar \(x\) y después obtener el término \(dx\).

$$
\sqrt{1+x}-1==\Leftrightarrow \sqrt{1+x}=t+1\Leftrightarrow 1+x=(t+1)^2 \Leftrightarrow x=(t+1)^2-1
$$

Obtenemos entonces que

$$
dx=2(t+1)dt
$$

Por otra parte, tenemos que calcular los nuevos límites de integración,

\begin{align}
\text{Si } x=3\Rightarrow t=\sqrt{1+3}-1=1 \\ \\
\text{Si } x=8\Rightarrow t=\sqrt{1+8}-1=2
\end{align}

La integral que tenemos que resolver es,

\begin{align}
\int_1^2\dfrac{1}{t}2(t+1)dt&=\int_1^2\dfrac{2(t+1)}{t}dt=2\cdot\int_1^21+\dfrac{1}{t}dt \\ \\
&=2\cdot\left[ t+\ln|t|\right]_1^2=2\cdot[ (2+\ln(2))-(1+ln(1))] \\ \\
&=2(1+\ln(2))=2+\ln(4)
\end{align}

Podemos dejar el resultado expresado en términos del logaritmo neperiano.

Dado que estamos trabajando con una función definida a trozos tenemos que ver si en cada una de las regiones donde se define la función existen punto de corte.

Comenzamos estudiando el caso en el que (x<0). Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen imponiendo,

\begin{align}
f(x)=0\Leftrightarrow 2x+4=0\Leftrightarrow x=-2 \in (-\infty, 0)
\end{align}

Luego ((-2,0)) es el primer punto de corte.

Para \(x\geq0\) tenemos,

\begin{align}
f(x)=0\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2 \in [0,+\infty)
\end{align}

Por lo que \((2,0)\) es el otro punto de corte de la función con el eje de abscisas y a continuación podemos ver una representación de la función a trozos.

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de (f) y por el eje de abscisas

Usando la representación del apartado anterior es sencillo ver que el área limitada por la función y el eje de abscisas puede calcularse como,

\begin{align}
\int_{-2}^0 2x+4dx+\int _0^2(x-2)^2dx&=\left[ x^2+4x\right]_{-2}^0+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3} \right]_0^2 \\
&=0-(-4)+0-\left( -\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{20}{3} u^2
\end{align}

Ejercicio 4. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=x^3+2\) y \(g(x)=-x^2+2x+2\).

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \(f\) y \(g\). Esboza sus gráficas.

Para calcular el punto de corte de las dos funciones comenzamos igualando sus expresiones.

$$
f(x)=g(x)\Leftrightarrow x^3+2=-x^2+2x+2\Leftrightarrow x^3+x^2-2x=0\Leftrightarrow x(x^2+x-2)=0
$$

Por un lado obtenemos que \(x=0\) es una solución y por otra parte resolvemos \(x^2+x-2=0\)

$$
x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{1+4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 3}{2}
$$

Obteniendo como soluciones \(x=1\) y \(x=-2\). Si evaluamos las soluciones en cualquiera de las dos funciones obtenemos la imagen de dichos puntos.

\begin{align}
&f(0)=2 \\
&f(1)=1^3+2=3 \\
&f(-2)=(-2)^3+2=-6
\end{align}

Así, los puntos de corte de las gráficas de las funciones son \((-2,-6), (0,2), (1,3)\)

Podemos representar las gráficas de las funciones ayudándonos por ejemplo de una tabla de valores o estudiando la monotonía. Obtenemos,

b) Determina el área del recinto limitado por las gráficas de \(f\) y\(f\) en el primer cuadrante.

Como nos tenemos que ceñir al primer cuadrante, utilizando la representación anterior nos damos cuenta que los límites de integración están determinados por los puntos de corte \(x=0\) y \(x=1\) por lo que solamente tenemos que calcular el resultado de,

\begin{align}
\int_0^1 g(x)-f(x)dx&=\int_0^2 (-x^2+2x+2)-(x^3+2)dx=\int_0^1-x^3-x^2+2xdx \\ \\
&=\left[-\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^2}{2} \right]_0^2=\left[ \left(-\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{1^3}{3}+\dfrac{2\cdot 1^2}{2} \right)-\left( -\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^3}{3}+\dfrac{2\cdot 0^2}{2}\right) \right] \\ \\
&=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{5}{12} u^2
\end{align}

Una primitiva no es más que una función (F(x)) que verifique que,

Ejercicio 5. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Considera las matrices:

$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 &1
\end{pmatrix}
,\quad
B=
\begin{pmatrix}
1&1 & a\\
2& a&1 \\
2& 2&0
\end{pmatrix}
\text{y }
C=
\begin{pmatrix}
1&0 & -2\\
2& -1&-1 \\
\end{pmatrix}
$$

a) Determina los valores de \(a\) para los que la matriz \(B\) no tiene inversa

Sabemos que la matriz \(B\) no tiene inversa cuando su determinante es igual cero. Buscamos los valores de \(a\) que lo verifiquen,

$$
\begin{vmatrix}
1&1 & a\\
2& a&1 \\
2& 2&0
\end{vmatrix}=(0+4a+2)-(2a^2+2+0)=0\Leftrightarrow a=-2a^2+4a=0\Leftrightarrow a(-2a+4)=0
$$
Obtenemos como valores \(a=0\) y \(a=2\). Podemos afirmar que para dichos valores la matriz \(B\) no tiene inversa.

b) Para \(a=1\) calcula \(X\) tal que \(AXB=C\), si es posible.

Comenzamos resolviendo la ecuación matricial de forma teórica,

\begin{align}
AXB=C &\Leftrightarrow A^{-1}\cdot AXB=A^{-1}\cdot C \Leftrightarrow XB=A^{-1}\cdot C \\
& \Leftrightarrow XB\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C \cdot B^{-1} \Leftrightarrow X=A^{-1}\cdot C \cdot B^{-1}
\end{align}

Calculamos ahora las matrices \(A^{-1}\) y \(B^{-1}\)

Para el cálculo de la matriz inversa de \(A\) utilizamos que,
$$
A^{-1}=\dfrac{Adj(A^t)}{|A|}
$$

Por un lado la matriz traspuesta viene dada por,

$$
A^t=\begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

Calculamos ahora la matriz adjunta,

$$
Adj(A^t)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
$$

Usando que \( |A|=1\) tenemos,

$$
A^{-1}=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
$$

Por otro lado sabemos que
$$
B^{-1}=\dfrac{Adj(B^t)}{|B|}
$$

La matriz traspuesta viene dada por,
$$
B^t
\begin{pmatrix}
1&2 & 2\\
1& 1&2 \\
1& 1&0
\end{pmatrix}
$$

La matriz adjunta que obtenemos es,

$$
Adj(B^t)=
\begin{pmatrix}
-2&2 & 0\\
2& -2&1 \\
2& 0&-1
\end{pmatrix}
$$

Usando que \(|B|=2\) tenemos,

$$
B^{-1}=
\begin{pmatrix}
-1&1 & 0\\
1& -1&\dfrac{1}{2} \\
1& 0&-\dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$

Podemos calcular ahora la matriz \(X\),

\begin{align}
X=A^{-1}\cdot C \cdot B^{-1}&=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&0 & -2\\ 2& -1&-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1&1 & 0\\ 1& -1&\dfrac{1}{2} \\ 1& 0&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} \\ \\
&=\begin{pmatrix}-3&1 & 1\\ -10& 5&2 \\ \end{pmatrix}
\end{align}

Ejercicio 6. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Se sabe que \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y& z \end{vmatrix}=-2\)

a) Calcula \( \begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r& -3q \end{vmatrix}\)

Vamos a trabajar el determinante que nos piden hasta obtener un similar al dato que nos dan.

Dado que tenemos una fila multiplicada por 2 y otra fila multiplicada por -3 podemos extraer estas constantes quedando fuera multiplicando al determinante
$$
\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r& -3q \end{vmatrix}=-3\cdot 2 \begin{vmatrix} a & c & b \\ x & z & y \\ p & r&q \end{vmatrix}
$$

A continuación, cambiamos de orden las columnas dos y tres del determinante. Sabemos que cuando se intercambian dos filas o columnas se produce un cambio de signo del determinante,

$$
-3\cdot 2 \begin{vmatrix} a & c & b \\ x & z & y \\ p & r&q \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-3)\cdot 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q&r \end{vmatrix}
$$

Finalmente volvemos a intercambiar las filas segunda y tercera con el consiguiente cambio de signo

$$
(-1)\cdot(-3)\cdot 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q&r \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{vmatrix}
$$

Así el valor del determinante pedido es,

$$
\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r& -3q \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot 2 \cdot (-2)=12
$$

b) Calcula: \( \begin{vmatrix} x & a-3p & -2a \\ y & b-3q & -2b \\ z & c-3r& -2c \end{vmatrix}\)

Como la segunda columna está formada por dos sumandos se puede separar el determinante como suma de dos determinantes

$$
\begin{vmatrix} x & a-3p & -2a \\ y & b-3q & -2b \\ z & c-3r& -2c \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & a& -2a \\ y & b & -2b \\ z & c& -2c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x & -3p & -2a \\ y & -3q & -2b \\ z & -3r& -2c \end{vmatrix}
$$

El primer sumando tiene la segunda y la tercera columna proporcionales y por tanto, su valor es cero. Tenemos entonces,

$$
\begin{vmatrix} x & a-3p & -2a \\ y & b-3q & -2b \\ z & c-3r& -2c \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & -3p & -2a \\ y & -3q & -2b \\ z & -3r& -2c \end{vmatrix}
$$

Como tenemos dos columnas multiplicadas por constantes las sacamos fuera,

$$
\begin{vmatrix} x & -3p & -2a \\ y & -3q & -2b \\ z & -3r& -2c \end{vmatrix}=(-3)\cdot (-2)\begin{vmatrix} x & p & a \\ y & q & b \\ z & r& c \end{vmatrix}
$$

Intercambiamos las columnas primera y tercera con el consiguiente cambio de signo,

$$
(-3)\cdot (-2)\begin{vmatrix} x & p & a \\ y & q & b \\ z & r& c \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-3)\cdot (-2)\begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r& z \end{vmatrix}
$$

Podemos trasponer la matriz y usar que el determinante de una matriz y el de su traspuesta es el mismo

$$
(-1)\cdot(-3)\cdot (-2)\begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r& z \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-3)\cdot (-2)\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y& z \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-3)\cdot (-2)\cdot (-2)=12
$$

$$A\cdot X=12 \Leftrightarrow AA^{-1}\cdot X=A^{-1}\cdot12\Leftrightarrow X=A^{-1}\cdot12\Leftrightarrow X=12\cdot A^{-1}
$$

Ejercicio 7. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Considera las rectas \(r\equiv x+1=y-a=-z\) y \(s\equiv \left\{\begin{align}&x=5+2\lambda \\ &y=-3\\ &z=2-\lambda\end{align} \right. \)

a) Calcula \(a\) para que \(r\) y \(s\) se corten. Determina dicho punto de corte.

Para que dos rectas se corten en el espacio ambas deben estar contenidas en un mismo plano. Por tanto el vector director de cada una junto con algún vector que vaya de una recta a otra deben ser linealmente dependientes. Es decir, necesitamos un vector director de cada recta y un vector que vaya de una recta a otra e imponer que su determinante valga cero.

Comenzamos con la recta \(r\). En este caso tenemos la ecuación continua de una recta pero podemos reescribirla mejor para obtener el vector director,

$$
r\equiv x+1=y-a=-z \Leftrightarrow r\equiv x+1=y-a=\dfrac{z}{-1}
$$

Por tanto un vector director es \(\overrightarrow{v_r}=(1,1,-1)\) y un punto de la recta es \(A=(-1,a,0)\).

Como la recta \(s\) está dada en forma paramétrica un vector director sería \(\overrightarrow{v_s}=(2,0,-1)\) y un punto \(B=(5,-3,2)\).

El vector que va de una recta a otra es el vector \(\overrightarrow{AB}=(6,-3-a,2)\).

Imponemos que el determinante de los tres vectores es cero y obtenemos,

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & -1 \\
6 & -3-a & 2 \\
\end{vmatrix}
=(0+6+2a-6)-(0+4+3+a)=0\Leftrightarrow a-7=0\Leftrightarrow a=7
$$

Para calcular el punto de corte igualamos ambas rectas, para ello es más sencillo si escribimos \(r\) en paramétricas.

$$
r\equiv\left\{\begin{align}
&x=-1+\mu \\
&y=7+\mu \\
&z=-\mu \\
\end{align}
\right.
$$

Igualando ambas rectas tenemos,

$$
\begin{align}
-1+\mu=5+2\lambda \\
7+\mu=-3 \\
-\mu=2-\lambda
\end{align}
$$

Resolviendo el sistema obtenemos \(\mu=-10\) y \(\lambda=-8\). Sustituyendo en cualquier recta obtenemos el punto de corte \( (-11,-3,10)\)

b) Halla la ecuación del plano que pasa por \( P=(8,-7,2)\) y que contiene a la recta \(s\)

Sabemos el vector director de la recta será un vector director del plano, necesitamos otro vector que será el \( \overrightarrow{BP}=(3,-4,0)\) dado que \(B\) es un punto de \(s\). Así la ecuación del plano viene dada por,

$$
\begin{vmatrix}
x-5 & y+3 & z-2 \\
2 & 0 & -1 \\
3 & -4 & 0 \\
\end{vmatrix}
=(0-8z+16-3y-9)-(0+4x-20+0)=0\Leftrightarrow -4x-3y-8z+27=0
$$

Ejercicio 8. Examen de matemáticas II selectividad julio 2022 Andalucía

Sea el plano \(\pi\equiv x+y-z=2\) y la recta \(r\equiv x=\dfrac{y}{3}=z-1\).

a) Calcula si existe el punto de intersección de \(\pi\) y \(s\)

Comenzamos escribiendo la recta en su forma paramétrica,

$$
r\equiv\left\{\begin{align}
&x=\lambda \\
&y=3\lambda \\
&z=1+\lambda\\
\end{align}
\right.
$$

Calculamos el punto de corte sustituyendo la recta en la expresión del plano.

$$
\lambda+3\lambda-1-\lambda=2\Leftrightarrow 3\lambda=3\Leftrightarrow \lambda=1
$$

Sustituyendo el valor obtenido tenemos que el punto de corte es (1,3,2)

b) Dado el punto \(Q=(2,6,3)\), halla su simétrico respecto del plano \(\pi\)

Calculamos la recta (que llamaremos \(s\)\) que pasa por \(Q\) y es perpendicular al plano. Sabemos que el vector director de dicha recta coincide con el vector normal del plano,

$$
\overrightarrow{v_s}=\overrightarrow{n_\pi}=(1,1,-1)
$$

Así, la ecuación de la recta es,

$$
s\equiv\left\{\begin{align}
&x=2+\mu \\
&y=6+\mu \qquad \mu \in \mathbb{R} \\
&z=3-\mu \\
\end{align}
\right.
$$

A continuación calculamos el punto de corte de la recta y el plano que será el punto medio del punto \(Q\) y su simétrico,

$$
2+\mu+6+\mu-3+\mu=2\Leftrightarrow \mu=-1
$$

Sustituyendo obtenemos el punto medio\(M= (1,5,4)\)

Finalmente sabemos que las coordenadas del punto simétrico \(Q’=(x,y,z)\) verificarán,

$$
(1,5,4)=\left( \dfrac{2+x}{2},\dfrac{6+y}{2},\dfrac{3+z}{2}\right)
$$

Igualando obtenemos que le punto \(Q\) viene dado por \(Q=(0,4,5)\)

Esta es una resolución personal de los ejercicios del examen de Matemáticas II de la convocatoria de selectividad de Julio de 2022 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.

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