Examen de Matemáticas CC.SS Selectividad Junio 2022 Andalucía Resuelto

©2023 Carlos Martínez Martínez

A continuación puedes ver el examen de matemáticas CC.SS de selectividad junio de 2022 Andalucía con todos los ejercicios explicados y resueltos paso a paso.

Si lo deseas, también puedes visitar mi página de exámenes de selectividad resueltos donde encontrarás las soluciones de exámenes de selectividad de otros años.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

(2.5 puntos) Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo. Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán.

Comenzamos definiendo las variables del problema,

$$
x=\text{nº de cajas tipo 1} \qquad y=\text{nºde cajas tipo 2}
$$

Las inecuaciones asociadas al enunciado son,

\begin{align}
&3x+4y\leq 120 \\
&2x+6y\leq 150 \\
&y \geq 9 \\
&x \geq 0 \
\end{align}

Y la función que tenemos que maximizar en el recinto es

$$
F(x,y)=x+y
$$

El recinto delimitado por las anteriores inecuaciones y sus vértices son:

Calculamos los vértices como intersección de las rectas. Comenzamos calculando el punto \(A\) como intersección de las rectas,

$$\left\{ \begin{align} y=9 \\ x=0 \end{align} \right.$$

Obtenemos, \(A=(0,9)\)

Continuamos calculando el punto \(B\) como intersección de,

$$\left\{ \begin{align} y&=\dfrac{150-2x}{6} \\ x&=0 \end{align} \right.$$

Y obtenemos, \(B=(0,25)\)

El punto \(C\) lo calculamos como intersección de,

$$\left\{ \begin{align} y&=\dfrac{150-2x}{6} \\ y&=\dfrac{120-3x}{4} \end{align} \right.$$
Obtenemos, \(C=(12,21)\)
Finalmente el punto \(D\) se obtiene como intersección de las rectas,
$$\left\{ \begin{align} y&=\dfrac{120-3x}{4} \\ y&=9\end{align} \right.$$

Obtenemos \(D=(28,9)\)

$$\left\{ \begin{align} y=\dfrac{3x+13}{4} \\ x=-7 \end{align} \right.$$

Una vez obtenidos los vértices evaluamos la función objetivo en los mismos,

$$
F(A)=F(0,9)=9 \quad F(B)=F(0,25)=25 \quad F(C)=F(12,21)=33 \quad F(D)=F(28,9)=37
$$

Por tanto el número máximo de regalos se obtiene preparando 28 cajas del tipo 1 y 9 cajas del tipo 2. En concreto se utilizarán \(3\cdot28+4\cdot 29=120\) piononos y un total de \(2\cdot 28+6\cdot 9=110\) pestiños.

Ejercicio 2. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

Se consideran las matrices
$$
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}
\quad \begin{pmatrix} 2 &-1 &0\end{pmatrix}
\quad \begin{pmatrix} 1 & 3 &-1\end{pmatrix}
$$

a) (0.75 puntos) Halle los valores del parámetro \(a\) para que la matriz \(A\) tenga inversa

Sabemos que en general una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Veamos los valores de \(a\) para los cuales el determinante es no nulo.

$$
\begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}=a^2-4a+3=0\Leftrightarrow a=3 \quad \text{y} \quad a=1
$$
Por tanto existe la inversa de la matriz \(A\) para todos los valores de \(a\neq 3\) y \(a\neq1\)

b) (0.75 puntos) Para \(a=2\), calcule la matriz inversa de \(A\)

Sabes que la expresión de la matriz inversa viene dada por,

$$
A^{-1}=\dfrac{Adj(A^t)}{|A|}
$$

Comenzamos calculando el determinante para \(a=2\)

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}=(4+0+3)-(0+8+0)=-1$$

La matriz traspuesta viene dada por,

$$
A^t=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
$$

La matriz adjunta en este caso es,

$$
Adj(A^t)=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}
$$

Así, la matriz inversa que buscamos viene dada por,

$$
A^{-1}=-\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4\end{pmatrix}
$$

c) (1 punto) Para \(a=2\), resuelva la ecuación matricial \(X\cdot A+I_3=B^t\cdot C \)

Comenzamos resolviendo la ecuación de forma teórica, sin sustituir los datos de las matrices.

$$\begin{align}
X\cdot A+I_3=B^t\cdot C &\Leftrightarrow X\cdot A=B^t\cdot C-I_3 \\
&\Leftrightarrow X=(B^t\cdot C-I_3)\cdot A^{-1}
\end{align}$$

Ahora podemos ir calculando los valores de la expresión obtenida,

$$
B^t\cdot C=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
$$

$$
B^t\cdot C-I_3=\begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}
$$

Finalmente obtenemos,

$$
X=(B^t\cdot C-I_3)\cdot A^{-1})=\begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -28 & -21 & 19 \\ 16 & 12 & -11 \\ -6 & -5 & 4\end{pmatrix}
$$

Ejercicio 3. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

a) (1.25 puntos) Se considera la función \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\), con \(a\), \(b\) y \(c\) números reales. Calcule los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que la gráfica de \(f\) posee un extremo relativo en el punto de abscisa \(x=3\) y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(P(0,18)\) es \(-3\).

Comenzamos imponiendo que la función \(f\) posee un extremo relativo en el punto \(x=3\), es decir se verifica que \(f'(3)=0\).

$$
f'(x)=3x^2+2ax+b\Rightarrow f'(3)=3\cdot3^2+2a\cdot 3+b=0\Leftrightarrow 27+6a+b=0
$$

Por otra parte sabemos, de la ecuación de la recta tangente en un punto, que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=0\) es \(-3\). Por tanto \(f'(0)=-3\)

$$
f'(0)=-3 \Leftrightarrow b=-3
$$

Además del enunciado deducimos que la función pasa por el punto \(P(0,18)\) por tanto se cumple que \(f(0)=18\).

$$
f(0)=18\Leftrightarrow 0^3+a\cdot 0^2+ (-3)\cdot 0+c=18 \Leftrightarrow c=18
$$

Sustituyendo en la primera expresión el valor de \(b\) tenemos

$$
6a-3=-27\Leftrightarrow a=-4
$$

Así la función buscada es \(f(x)=x^3-4x^2-3x+18\)

b) (1.25 puntos) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función \(g(x)=x^3-4x^2-3x+18\) y el eje de abscisas

Si representamos lo anterior debemos calcular el recinto limitado por,

Por ello calculamos los puntos de corte de la función \(g\) y el eje de abscisas.

$$
g(x)=0 \Leftrightarrow g(x)=x^3-4x^2-3x+18=0
$$

Resolviendo esa ecuación por Ruffini obtenemos, \(x=3\), \(x=-2\) y \(x=3\). Tenemos por tanto definidos los límites de integración para el cálculo del área del recinto. Solo tenemos que resolver,

$$
\int_{-2}^3 x^3-4x^2-3x+18dx=\left[ \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+18x\right]_{-2}^3 =\dfrac{625}{12}u^2
$$

Ejercicio 4. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

a) (1 punto) Se considera la función
$$ f(x)=\left\{ \begin{align} 6x-3 \quad \text{si}\quad x\leq 1 \\ ax^2+bx+2 \quad \text{si}\quad x\geq 1 \end{align} \right.
$$
con \(a\) y \(b\) números reales. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable en todo su dominio.

La función \(f\) es continua y derivable en los intervalos \((-\infty,1)\) y \( (1,\infty)\) ya que está definida como un polinomio en cada uno. Solo tendremos que estudiar la continuidad y derivabilidad en el punto de ruptura \(x=1\).

Sabemos que \(f\) es continua en \(x=1\Leftrightarrow\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=f(1)\)

$$
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}6x-3=3\\ \\
&\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}ax^2+bx+2 =a+b+2\\ \\
&f(1)=6\cdot 1-3=3
\end{align}
$$

Como sabemos que \(f\) es continua ha de verificarse que \(a+b+2=3\Leftrightarrow a+b=1\)

Pasamos ahora a estudiar la derivabilidad en el punto \(x=1\)

Sabemos que si \(f\) es derivable en \(x=1\) se ha de cumplir que

$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}f'(x)
$$

$$
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 1^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 1}6=6\\ \\
&\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1} 2ax+b=2a+b
\end{align}
$$

Como \(f\) es derivable en ese punto se cumple que \(2a+b=6\).

Si tenemos en cuenta las expresiones obtenidas en la continuidad y la derivabilidad y resolvemos ese sitema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos,

$$\left\{ \begin{align} a+b=1 \\ 2a+b=6 \end{align} \right.$$

$$
a=5 \qquad \text{y} \qquad b=-4
$$

b) (1.25 puntos) Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje \(OX\) y la gráfica de la función \(g(x)=-2x^2+8x+6\)

Calculamos los puntos de corte entre la función y el eje para saber los límites de integración.

$$
g(x)=0\Leftrightarrow -2x^2+8x-6=0\Leftrightarrow x=1 \quad , \quad x=3
$$

Así el área pedida se puede calcular como,

\begin{align}
\int_1^3-2x^2+8x-6dx&=\left[ -\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{8x^2}{2}-6x\right]_1^3=\left[ -\dfrac{2\cdot 3^3}{3}+\dfrac{8\cdot 3^2}{2}-6\cdot 3\right]-\left[ -\dfrac{2\cdot 1^3}{3}+\dfrac{8\cdot 1^2}{2}-6\cdot 1 \right] \\ \\
&=\left[ -18++36-18\right]-\left[-\dfrac{2}{3}+4-6 \right]=\dfrac{8}{3}u^2
\end{align}

Ejercicio 5. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

En un estudio realizado en una sucursal bancaria se ha determinado que el 70% de los créditos concedidos son hipotecarios y el 25% de los créditos superan los 200.000€. El 20% de los créditos son hipotecarios y de más de 200.000€. Se elige al azar un cliente al que se le ha concedido un crédito. Calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) El crédito no sea hipotecario y no supere los 200.000€

Comenzamos definiendo los sucesos del problema,

H=’Ser crédito hipotecario’ y S=’Superar los 200.000€’

En base el enunciado podemos obtener las siguientes probabilidades asociadas a los sucesos anteriores.

$$
P(H)=0’7 \qquad P(S)=0’25 \qquad P(H\cap S)=0’2
$$

En el primer apartado nos preguntan la probabilidad de que el crédito no sea hipotecario y no supere los 200.000€, es decir \(P(\overline{H}\cap \overline{S})\).

Como tenemos la intersección de complementarios podemos usar las Leyes de Morgan para obtener,

$$
P(\overline{H}\cap \overline{S})=P(\overline{H\cup S})=1-P(H\cup S)
$$

Por tanto solo necesitamos calcular la probabilidad de la unión. Si usamos la definición obtenemos,

$$
P(H\cup S)=P(H)+P(S)-P(H\cap S)=0’7+0’25-0’2=0’75
$$

Así la probabilidad buscada es,

$$
P(\overline{H}\cap \overline{S})=P(\overline{H\cup S})=1-P(H\cup S)=1-0’75=0’25
$$

b) (0.75 puntos) Si su crédito no es hipotecario, este no supere los 200.000€

Tenemos que calcular la probabilidad condicionada \( P(\overline{S}/\overline{H})\)

Aplicando la definición de probabilidad condicionada tenemos,

$$
P(\overline{S}/\overline{H})=\dfrac{\overline{S}\cap\overline{H}}{P(\overline{H})}=\dfrac{0’25}{1-0’7}=0’83
$$

c) (0.75 puntos) Si su crédito supera los 200.000€, que este no sea hipotecario.

En esta ocasión nos preguntan por \(P(\overline{H}/S) \). Nuevamente aplicamos la definición de probabilidad condicionada junto la definición de la diferencia de sucesos tenemos,

$$
P(\overline{H}/S)=\dfrac{P(\overline{H}\cap S)}{P(S)}=\dfrac{P(S)-P(H\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0’25-0’2}{0’25}=0’2
$$

Ejercicio 6. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

En su tiempo libre, el 65% de los estudiantes de un centro educativo juega con videojuegos, el 45% lee libros y el 15% no hace ninguna de las dos cosas. Elegido al azar un estudiante de dicho centro, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Juegue con videojuegos o lea libros

Comenzamos definiendo los sucesos del problema.

J=’Jugar con videojuegos’ y L=’Leer libros’. Además, por el enunciado podemos deducir que,

$$
P(J)=0’65 \qquad P(L)=0’45 \qquad P(\overline{J}\cap \overline{L})=0’15
$$

En este apartado nos preguntan por \(P(J\cup L)\). Nuevamente usando las Leyes de Morgan tenemos,

$$
P(\overline{J}\cap \overline{L})=P(\overline{J\cup L})=1-P(J\cup L)
$$

Por tanto tenemos,

$$
0’15=1-P(J\cup L)\Leftrightarrow P(J\cup L)=1-0’15=0’85
$$

b) (0.75 puntos) Juegue con videojuegos y no lea libros

Ahora tenemos que calcular \(P(J\cap \overline{L})\). Aplicando la definición de diferencia de sucesos tenemos

$$
P(J\cap \overline{L})=P(J)-P(J\cap L)
$$

Como necesitamos la intersección vamos a usar la definición de la unión para obtenerla,

$$
P(J\cup L)=P(J)+P(L)-P(J\cap L)\Rightarrow 0’85= 0’65+0’45-P(J\cap L)\Leftrightarrow P(J\cap L)=0’65+0’45-0’85=0’25
$$

Sustituyendo en la expresión anterior tenemos,

$$
P(J\cap \overline{L})=P(J)-P(J\cap L)=0’65-0’25=0’4
$$

c) (0.75 puntos) Lea libros sabiendo que no juega con videojuegos

Nos piden \(P(L/\overline{J})\). Aplicando la definición de probabilidad condicionada tenemos,

$$
P(L/\overline{J})=\dfrac{P(L\cap \overline{J})}{P(\overline{J})}=\dfrac{P(L)-P(L\cap J)}{P(\overline{J})}=\dfrac{0’45-0’25}{1-0’65}=0’5714
$$

Ejercicio 7. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

La resistencia media a la ruptura de una nueva gama de herramientas sigue una distribución Normal de desviación típica 15MPa (megapascales). Se seleccionan al azar 100 herramientas forjadas en la misma máquina durante el mismo proceso de producción, obteniéndose una resistencia media de 800MPa.

a) (1.25 puntos) Realizando la estimación con un nivel de confianza del 92%, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas?

Comenzamos definiendo la variable X=’Resistencia media a la ruptura’. Por el enunciado sabemos que,

$$
X\rightsquigarrow N(\mu,\sigma)=N(\mu,15)
$$

En esta ocasión lo que tenemos que hacer es calcular el intervalo de confianza para la media poblacional \(\mu\) a nivel de confianza \(1-\alpha\). Su expresión vienen dada por,

$$
\left( \overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
$$

El valor \(z_{\alpha/2}\) es el valor de una distribución \(N(0,1)\) que deja a la derecha una probabilidad \(\alpha/2\). Por tanto hay que buscar un valor verificando,

$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}
$$

El nivel de confianza es de 92%, por lo tanto,

$$
0’92=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’08
$$

Así, tenemos

$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=1-\frac{0’08}{2}=0’96
$$

Con la tabla de la distribución normal tipificada obtenemos que \(z_{\alpha/2}=1’755\). Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza llegamos a,

\begin{align} \left( \overline{X}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) &= \left( 800 -1’755\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}}, 800 +1’755\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}}\right) \\ \\ &=\left( 797’3675,802’6325\right) \end{align}

b) (1.25 puntos) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cual debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que 2MPa?

Sabemos que el error cometido viene dado por,

$$
E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

Debemos buscar el valor de \(n\) que nos asegure que el error es inferior a 2. Para ello, comenzamos calculando el valor del tamaño de la muestra que nos de un error exacto de 2.

$$
2=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

Como el nivel de confianza es el mismo sabemos que \(z_{\alpha/2}=1’755\). Así,

$$
2= 1’755\cdot\frac{15}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \sqrt{n}=\frac{1’755\cdot 15}{2} \Leftrightarrow n=13’1625^2\Leftrightarrow n=173’25
$$

Como tenemos que asegurar que el error sea inferior a 2 redondeamos a \(n=174\) unidades.

Ejercicio 8. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2022 Andalucía

Se quiere estudiar la proporción de perros que están vacunados en Andalucía. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 400 perros de los que 320 resultan estar vacunados.

a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido.

Sabemos que el intervalo de confianza para la proporción de perros vacunados en Andalucía viene dado por,

$$
\left( p-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right)
$$

donde \(p\) es la proporción de perros de la muestra que si están vacunados, \(p=320/400=0’8\)

Sabemos que el nivel de confianza es del 92% por lo que,

$$
0’92=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’08
$$

A continuación buscamos un valor \(z_{\alpha/2}\) tal que,

$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=0’96
$$

Obteniendo, \(z_{\alpha/2}=1’755\).

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la proporción tenemos,

\begin{align} IC&= \left( 0’8-1’755\sqrt{\frac{0’8(1-0’8)}{400}}, 0’8+1’755\sqrt{\frac{0’8(1-0’8)}{400}} \right) \\ \\ &= \left( 0’7649,0’8351 \right) \end{align}

El error máximo cometido viene dado por:

$$
E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=E=1’755\cdot \sqrt{\frac{0’8(1-0’8)}{400}}=0’0351
$$

b) (1 punto) En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral. ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0’02?

Nuevamente, el error cometido viene dado por,

$$
E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
$$

Como se mantiene el mismo nivel de confianza y la proporción muestral tenemos,

\begin{align} 0’02=1’755\sqrt{\frac{0’8(1-0’8)}{n}}&\Leftrightarrow 0’02 =1’755\frac{\sqrt{0’8(1-0’2)}}{\sqrt{n}} \\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n}=1’755\frac{\sqrt{0’8(1-0’8)}}{0’02} \\ \\ &\Leftrightarrow n=1232,01 \end{align}

Para garantizar que el error sea menor que 0’02 tomaremos \(n=1233\)

Esta es una resolución particular de todos los ejercicios del examen de matemáticas CC.SS de la convocatoria de selectividad de Junio de 2022 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas. Si te ha gustado este contenido, compártelo y no olvides visitar el resto de exámenes de selectividad de Andalucía resueltos

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