Integrales por partes resueltas

Por Carlos Martínez
integrales por partes resueltas

©2022 Carlos Martínez Martínez

En esta entrada de mi blog aprenderás a resolver integrales por partes. Veremos cómo se aplica el método de integración por partes para resolver integrales de selectividad y otras más sencillas. Las integrales por partes son muy frecuentes en segundo de bachillerato y selectividad por lo que es muy importante su correcta resolución.

A continuación encontrarás una serie de ejercicios de integrales por partes resueltos paso a paso además de la fórmula del método de integración por partes.

Si lo deseas puedes consultar otra entrada de mi blog con ejercicios de integrales por cambio de variable resueltos.

¿En qué consiste el método de integración por partes?

El método de integración por partes se basa en la utilización de la fórmula de integración por partes para resolver una integral generalmente dada por un producto o cociente de dos funciones que no se puede resolver de forma inmediata. Además el método de integración por partes también sirve para calcular integrales de funciones solas tales como el logaritmo, arcotangente…

Resolver integrales por partes es un método que requiere de práctica y paciencia y para ello es imprescindible conocer la fórmula de integración por partes:

Fórmula de integración por partes

$$ \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du $$

La idea para resolver integrales por partes es identificar en la integral que queremos resolver el valor de \(u\) y de \(dv\). A partir del valor de \(u\) es posible obtener el valor de \(du\) derivando y para obtener el valor de \(v\) solo tenemos que integrar la expresión de \(dv\). Finalmente solo tendríamos que aplicar la fórmula de integración por partes ya que todos los valores que en ella aparecen serían conocidos.

Regla de los ALPES

Aunque no es una regla formal ni un resultado teórico la regla de los ALPES para integrales por partes ayuda a elegir el valor \(u\) dentro de la integral siendo el resto de dicha integral el valor de \(dv\). Tendremos que elegir \(u\) como la primera función de dentro de la integral que encontremos en este orden,

  • A–> Arcoseno, arcocosenos, arcotangente…
  • L–> Logaritmo
  • P–> Polinomio
  • E–> Exponencial
  • S–> Seno, coseno, tangente…

Ejercicios resueltos de integrales por partes | Integrales por partes resueltas

A continuación vamos a ver cómo resolver integrales por partes paso a paso para que puedas aprender correctamente esta técnica de integración. Si tienes dudas o cualquier pregunta puedes plantearla al final de la página en los comentarios.

Ejemplo 1

$$\int (x-1)\ln(x)dx $$

Utilizando la regla de los ALPES elegimos como el polinomio y el resto de la integral será el valor de .

$$
\begin{matrix} u=\ln(x) & du=\dfrac{1}{x}dx \\ dv=(x-1)dx & v=\dfrac{x^2}{2}-x \end{matrix}
$$

Una vez calculados los valores de y derivando e integrando respectivamente los valores de y solo tenemos que aplicar la fórmula de integración por partes obteniendo,

$$
\int (x-1)\ln(x)dx=\ln(x)\cdot \left( \dfrac{x^2}{2}-x\right) -\int \left( \dfrac{x^2}{2}-x\right) \dfrac{1}{x}dx
$$

Para terminar el problema tenemos que resolver la integral obtenida en la expresión anterior,

$$
\int \left( \dfrac{x^2}{2}-x\right) \dfrac{1}{x}dx
$$

Desarrollando el producto de dentro de la integral obtenemos,

$$
\int \left( \dfrac{x^2}{2}-x\right) \dfrac{1}{x}dx =\int \dfrac{x}{2}-1dx=\dfrac{x^2}{4}-x
$$

Teniendo en cuenta este valor obtenemos el resultado final de la integral por partes planteada,

$$
\int (x-1)\ln(x)dx= \ln(x)\cdot \left( \dfrac{x^2}{2}-x\right) -\left( \dfrac{x^2}{4}-x \right)= \ln(x)\cdot \left( \dfrac{x^2}{2}-x\right) -\dfrac{x^2}{4}+x+C
$$

Ejemplo 2

$$ \int\arctan(x)dx$$

Como ya dijimos anteriormente, el método de integración por partes es muy útil para resolver integrales de funciones que no se pueden resolver de forma inmediata. En este caso veamos como se calcula la integral del arcotangente.

Comenzamos eligiendo \(u=\arctan(x)\) (ayudados por la regla de los ALPES) y por lo tanto obtenemos \(dv=dx\). Derivando e integrando respectivamente obtenemos los valores de \(du\) y \(v\)
$$
\begin{matrix} u=\arctan(x) & du=\dfrac{1}{1+x^2}dx \\ dv=dx & v=x\end{matrix}
$$

A continuación tenemos que aplicar la fórmula del método de integración por partes sustituyendo los valores calculados y obteniendo así,

$$
\int \arctan(x)dx=\arctan(x)\cdot x-\int x \cdot \dfrac{1}{1+x^2}dx
$$

Ahora el problema consiste en resolver la nueva integral obtenida en la expresión anterior,

$$
\int x \cdot \dfrac{1}{1+x^2} dx
$$

Si nos fijamos bien en esta integral tenemos un cociente de polinomios donde el numerador es casi la derivada del denominador. Podemos ajustar las constantes necesarias para obtener una integral inmediata,

$$
\int x \cdot \dfrac{1}{1+x^2} dx=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2x}{1+x^2}dx=\dfrac{1}{2}\ln(|1+x^2|)
$$

Sustituyendo el valor de la integral obtenido en la expresión calculada anteriormente tenemos,

$$
\int \arctan(x)dx=\arctan(x)\cdot x- \dfrac{1}{2}\ln(|1+x^2|) +C
$$

Ejemplo 3

$$\int x^2\text{sen}(2x)dx $$

Como se dijo al principio de esta entrada sobre integrales por partes, nos damos cuenta de que tenemos que aplicar el método de integración por partes ya que nos encontramos con un producto de dos funciones que no forman una integral inmediata.

En esta ocasión debemos seleccionar \(u\) y \(dv\) y obtener \(du\) y \(v\).

$$
\begin{matrix} u=x^2 & du=2xdx \\ dv=\text{sen}(2x)dx & v=-\dfrac{1}{2}\cos(2x) \end{matrix}
$$

A continuación vamos a aplicar la fórmula de integración por partes con los valores que acabamos de obtener,

$$
\int x^2\cdot \text{sen}(2x)dx= x^2 \cdot -\dfrac{1}{2}\cos(2x) -\int -\dfrac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2xdx
$$

Dicho resultado se puede expresar de forma más sencilla como,

$$
\int x^2\cdot \text{sen}(2x)dx=- x^2 \cdot \dfrac{\cos(2x)}{2} +\int \cos(2x) \cdot xdx
$$

Nos encontramos con una situación muy común en los ejercicios de integrales por partes: Una vez aplicada la fórmula de integración por partes llego a otra integral que no es inmediata. De hecho la nueva integral podría ser de cualquier tipo pero en esta ocasión tendremos que volver a aplicar integración por partes a dicha integral.

Para que los cálculos se vean más claros resolveremos la nueva integral en otro color,

$$
\textcolor{forestgreen}{\int \cos(2x)\cdot x dx}
$$

Para esta integral tenemos,

$$
\begin{matrix} u=x & du=dx \\ dv=\cos(2x)dx & v=\dfrac{1}{2}\text{sen}(2x) \end{matrix}
$$

Así, obtenemos,

$$
\textcolor{forestgreen}{ \int \cos(2x)\cdot x dx =x\cdot \dfrac{1}{2}\text{sen}(2x) -\int \dfrac{1}{2}\text{sen}(2x) dx}
$$

Podemos simplificar la expresión y resolver,

\begin{align}
\textcolor{forestgreen}{ \int \cos(2x)\cdot x dx }&\textcolor{forestgreen}{= x\cdot \dfrac{\text{sen}(2x)}{2}- \int \dfrac{\text{sen}(2x)}{2} dx}\\
& \textcolor{forestgreen} {= x\cdot \dfrac{\text{sen}(2x)}{2} +\dfrac{\cos(2x)}{4}}
\end{align}

Recopilando toda la información del ejercicio obtenemos,

$$
\int x^2\cdot \text{sen}(2x)dx=- x^2 \cdot \dfrac{\cos(2x)}{2} + \textcolor{green}{ x\cdot \dfrac{\text{sen}(2x)}{2} +\dfrac{\cos(2x)}{4}} +C
$$

Ejemplo 4

$$ \int (x-1)\cdot e^{3x}dx $$

Comenzamos la resolución de esta integral por partes eligiendo los valores de \(u\) y \(dv\) y obteniendo \(du\) y \(v\) respectivamente. (Para ello podemos acudir a la regla de los ALPES)

Buscamos los diferenciales obteniendo en esta ocasión,

$$
\begin{matrix} u=x-1 & du=dx \\ dv=e^{3x}dx & v=\dfrac{1}{3}e^{3x} \end{matrix}
$$

Con esto valores podemos aplicar la fórmula de integración por partes obteniendo,

$$
\int (x-1)\cdot e^{3x}dx=(x-1)\cdot\dfrac{1}{3}e^{3x}-\int \dfrac{1}{3}e^{3x}dx
$$

De forma un poco más simplificada podemos escribir,

$$
\int (x-1)\cdot e^{3x}dx=(x-1)\cdot\dfrac{e^{3x}}{3}-\int \dfrac{e^{3x}}{3}dx
$$

Resolviendo la nueva integral, que ya es inmediata, obtenemos,

$$
\int (x-1)\cdot e^{3x}dx=(x-1)\cdot\dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{e^{3x}}{9}+C
$$

Ejemplo 5

$$ \int \ln(x^2+1)dx$$

Como ya se ha dicho, el método de integración por partes ayuda a resolver integrales en las que solo tenemos una función y no son inmediatas. Comenzamos asignando el valor de y

$$
\begin{matrix} u=\ln(x^2+1) & du=\dfrac{2x}{x^2+1}dx \\ dv=dx & v=x \end{matrix}
$$

Aplicamos la fórmula de integración por partes y obtenemos,

\begin{align}
\int \ln(x^2+1)dx&= \ln(x^2+1)\cdot x -\int x\cdot \dfrac{2x}{x^2+1} \\
&= \ln(x^2+1)\cdot x -\int \dfrac{2x^2}{x^2+1}
\end{align}

Nos encontramos ante una nueva integral donde tenemos un cociente de polinomios donde el grado del numerador es el mismo que el del denominador. Para resolverla tenemos que dividir los polinomios y aplicar que,

$$
\dfrac{D}{d}=c+\dfrac{r}{d}
$$

Donde,

  • D=Dividendo
  • d= divisor
  • c=cociente
  • r=resto

Aplicando esta técnica podemos escribir la integral anterior como,

\begin{align}
\int \ln(x^2+1)dx &= \ln(x^2+1)\cdot x – \int 2+\dfrac{2}{1+x^2}dx \\ \\
&= \ln(x^2+1)\cdot x – \int 2dx -\int \dfrac{2}{1+x^2}dx \\ \\
&= \ln(x^2+1)\cdot x -2x-2\arctan(x)+C
\end{align}

Ejemplo 6

$$ \int x\cdot\arctan(x)dx $$

Nuevamente hacemos uso de la útil regla de los ALPES para elegir el valor de \(u\) y de \(dv\),

$$
\begin{matrix} u=\arctan(x) & du=\dfrac{1}{1+x^2}dx \\ dv=xdx & v=\dfrac{x^2}{2} \end{matrix}
$$

Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos,

\begin{align}
\int x\cdot\arctan(x)dx& =\arctan(x)\cdot\dfrac{x^2}{2}-\int\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{1+x^2}dx \\ \\
&=\dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{2}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{x^2}{(x^2+1)}dx
\end{align}

Para resolver esta nueva integral, como tenemos un cociente de polinomios donde el grado del numerado es igual que el del denominador tendremos que dividirlos y utilizar que,

$$
\dfrac{D}{d}=c+\dfrac{r}{d}
$$

Al igual que se hizo en el ejercicio anterior. Obtenemos entonces una integral equivalente dada por

\begin{align}
\int x\cdot\arctan(x)dx&= \dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{2} -\dfrac{1}{2}\left(\int 1-\dfrac{1}{x^2+1}dx \right) \\ \\
&= \dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{2} -\dfrac{1}{2}\int 1dx+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{x^2+1} dx \\ \\
&= \dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{2} -\dfrac{x}{2}+\dfrac{\arctan(x)}{2} +C
\end{align}

Ejemplo 7

$$\int x\cdot \cos^2(x)dx $$

Comenzamos la resolución de esta integral por partes eligiendo los valores de \(u\) y \(dv\) y obteniendo respectivamente \(du\) y \(v\).

$$
\begin{matrix} u=x & du=dx \\ dv=\dfrac{1}{\cos^2(x)}dx & v=\text{tg}(x) \end{matrix}
$$

Aplicando la fórmula de integración por partes llegamos a la expresión:

$$
\int \dfrac{x}{\cos^2(x)}dx=x\cdot \text{tg}(x)-\int\text{tg}(x)dx
$$

A continuación podemos aplicar que la tangente se define de forma alternativa como,

$$
\text{tg}(x)=\dfrac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}
$$

Y obtenemos la siguiente integral equivalente que se puede resolver de forma inmediata.

\begin{align}
\int \dfrac{x}{\cos^2(x)}dx& =x\cdot \text{tg}(x)-\int\dfrac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}dx \\ \\
&=x\cdot \text{tg}(x)+\ln(|\cos(x)|)+C
\end{align}

Ejemplo 8

$$ \int e^x\text{sen}(x)dx$$

Este tipo de integral por partes que vamos a ver es de un tipo bastante especial cuya resolución vamos a explicar paso a paso.

Vamos a proceder como siempre, eligiendo los valores de y de de la siguiente forma,

$$
\begin{matrix} u=e^x & du=e^xdx \ dv=\text{sen}(x)dx & v=-\cos(x) \end{matrix}
$$

Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos,

$$
\int e^x\text{sen}(x)dx=-e^x\cdot \cos(x)+\int \cos(x)e^x dx
$$

Obtenemos una nueva integral que cumple los requisitos para aplicar el método de integración por partes tomando,

$$
\begin{matrix} u=e^x & du=e^xdx \\ dv=\cos(x)dx & v=\text{sen}(x) \end{matrix}
$$

Tendríamos entonces,

$$
\int \cos(x)e^xdx =e^x\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)e^xdx
$$

Juntando toda la información obtenida podemos ver que,

$$
\textcolor{forestgreen}{ \int e^x\text{sen}(x)dx}=-e^x\cdot \cos(x)+ e^x\cdot \text{sen}(x)-\textcolor{forestgreen}{\int \text{sen}(x)e^xdx}
$$

Es decir, a la hora de calcular una integral volvemos a obtener la misma integral. Este tipo de integrales se denominan integrales cíclicas y su resolución hasta este punto es igual que el resto de integrales por partes.

Llegados a esta situación vamos a denotar la integral que inicial como,

$$
I=\int e^x \text{sen}(x)dx
$$

Por tanto la expresión anterior se puede escribir como,

$$
I=-e^x\cdot \cos(x)+ e^x\cdot \text{sen}(x)-I
$$

Lo único que tenemos que hacer es despejar el valor de ya que coincide con la integral original,

$$
2I=-e^x\cdot \cos(x)+ e^x\cdot \text{sen}(x)\Leftrightarrow I=\dfrac{ -e^x\cdot \cos(x)+ e^x\cdot \text{sen}(x) }{2}
$$

Ejemplo 9

$$ \int x e^{-x}dx $$

Comenzamos la resolución de la integral asignando los valores de \(u\) y \(dv\) y obteniendo de ellos \(du\) y \(v\)

$$
\begin{matrix} u=x & du=dx \\ dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x} \end{matrix}
$$

Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos,

$$
\int x e^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx= -xe^{-x} -e^{-x}=-(x+1)e^{-x}+C
$$

Ejemplo 10

$$
\int x(1-\ln(x))dx
$$

Buscamos los valores , , y obteniendo,

$$
\begin{matrix} u=1-\ln(x) & du=-\dfrac{1}{x}dx \\ dv=xdx & v=\dfrac{x^2}{2} \end{matrix}
$$

Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos,

\begin{align}
\int x(1-\ln(x))dx&=(1-\ln(x))\dfrac{x^2}{2}+\int\dfrac{x^2}{2}\dfrac{1}{x}dx \\ \\
&= (1-\ln(x))\dfrac{x^2}{2}+\int \dfrac{x}{2}dx \\ \\
&= (1-\ln(x))\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{4}+C
\end{align}


Para comprobar si los ejercicios que realizas están bien hechos te dejo esta calculadora de integrales por partes donde también podrás resolver integrales de otro tipo pero recuerda que para aprender a integrar de forma correcta hay que entender la teoría y practicar mucho los ejercicios.

Esta es una resolución personal de las integrales por partes anteriormente planteadas lo cual implica que otras soluciones también pueden ser válidas.

Integrales por partes profesor de matematicas matesconcarlos

Si te ha gustado esta entrada de integrales por partes resueltas y quieres descubrir más material gratuito puedes visitar mi blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre estadística o matemáticas puedes visitar mi canal de Youtube donde encontrarás ejercicios resueltos de matemáticas y estadística a todos los niveles.