Cálculo de derivadas | 2024 | Ejercicios resueltos de derivadas
©2022 Carlos Martínez Martínez
A lo largo de esta entrada de mi blog aprenderás a derivar y comprenderás la técnica del cálculo de derivadas tan importante en los cursos de primero y segundo de bachillerato así como en selectividad.
Para calcular derivadas de forma correcta te recomiendo que antes veas las fórmulas de derivadas pues sin eso te costará mucho más trabajo aprender a derivar.
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A continuación te propongo una serie de ejercicios de cálculo de derivadas para que puedas practicar el calculo de la derivad de una función utilizando las fórmulas de derivación y aprender a derivar online.
Ejercicios de cálculo de derivadas resueltos
Ejemplo 1
$$ f(x)=x^5-5x^3+7x-2 $$
Calculamos la derivada de una función polinómica aplicando la derivada de una potencia y la derivada de una constante para el término independiente,
$$
f'(x)=5x^4-15x^2+7
$$
Calculamos la derivada de una función polinómica aplicando la derivada de una potencia y la derivada de una constante para el término independiente,
$$
f'(x)=5x^4-15x^2+7
$$
Ejemplo 2
$$ f(x)=\dfrac{1}{2}x^3-\ln(x) $$
Aplicamos la derivada de una potencia junto con la derivada de logaritmo neperiano
$$
f'(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{x}
$$
Aplicamos la derivada de una potencia junto con la derivada de logaritmo neperiano
$$
f'(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{x}
$$
Ejemplo 3
$$ f(x)=\cos(x^2-5) $$
Aplicando la regla de la cadena junto con la derivada del coseno tenemos,
$$
f'(x)=-\text{sen}(x^2-5)\cdot 2x
$$
Aplicando la regla de la cadena junto con la derivada del coseno tenemos,
$$
f'(x)=-\text{sen}(x^2-5)\cdot 2x
$$
Ejemplo 4
$$ f(x)=(x^2-4x+5)^7 $$
Aplicamos la derivada de una potencia junto con la regla de la cadena para derivadas,
$$
f'(x)=7(x^2-4x+5)^6\cdot (2x-4)
$$
Aplicamos la derivada de una potencia junto con la regla de la cadena para derivadas,
$$
f'(x)=7(x^2-4x+5)^6\cdot (2x-4)
$$
Ejemplo 5
$$ f(x)=\text{tg}(x)\cdot \ln(x) $$
Aplicamos la fórmula de la derivada de un producto, la derivada de la tangente y la derivada del logaritmo neperiano,
$$
f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\cdot\ln(x)+\text{tg}(x)\cdot\dfrac{1}{x}
$$
Aplicamos la fórmula de la derivada de un producto, la derivada de la tangente y la derivada del logaritmo neperiano,
$$
f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\cdot\ln(x)+\text{tg}(x)\cdot\dfrac{1}{x}
$$
Ejemplo 6
$$ f(x)=\dfrac{2^x}{x^2} $$
Para hacer esta derivada tenemos que trabajar la derivada de la exponencial con base 2 y la de la potencia, todo ello dentro de la derivada de un cociente,$$
f'(x)=\dfrac{2^x\cdot\ln(2)\cdot x^2-2^x\cdot 2x}{x^4}
$$
Para hacer esta derivada tenemos que trabajar la derivada de la exponencial con base 2 y la de la potencia, todo ello dentro de la derivada de un cociente,$$
f'(x)=\dfrac{2^x\cdot\ln(2)\cdot x^2-2^x\cdot 2x}{x^4}
$$
Ejemplo 7
$$f(x)=\dfrac{\cos(3x)}{\ln(x)}$$
Para resolver esta derivada aplicamos la regla de la derivada de una división, la regla de la cadena y las fórmulas de derivación del coseno y del logaritmo,
$$
f'(x)=\dfrac{-\text{sen}(3x)\cdot 3\cdot\ln(x)-\cos(3x)\cdot\dfrac{1}{x}}{(\ln(x))^2}
$$
Para resolver esta derivada aplicamos la regla de la derivada de una división, la regla de la cadena y las fórmulas de derivación del coseno y del logaritmo,
$$
f'(x)=\dfrac{-\text{sen}(3x)\cdot 3\cdot\ln(x)-\cos(3x)\cdot\dfrac{1}{x}}{(\ln(x))^2}
$$
Ejemplo 8
$$ f(x)=e^{x^3-1}\cdot \sqrt{x-1}$$
Resolvemos esta derivada aplicando la derivada de un producto, la regla de la cadena y las reglas de derivación de exponenciales y raíces,
$$
f'(x)=e^{x^3-1}\cdot 3x^2\cdot\sqrt{x-1}+e^{x^3-1}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}
$$
Resolvemos esta derivada aplicando la derivada de un producto, la regla de la cadena y las reglas de derivación de exponenciales y raíces,
$$
f'(x)=e^{x^3-1}\cdot 3x^2\cdot\sqrt{x-1}+e^{x^3-1}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}
$$
Ejemplo 9
$$ f(x)=\arctan(x^2+7x)$$
Para derivar esta función tenemos que aplicar la derivada del arcotangente junto con la regla de la cadena,
$$
f'(x)=\dfrac{2x+7}{1+(x^2+7x)^2}
$$
Para derivar esta función tenemos que aplicar la derivada del arcotangente junto con la regla de la cadena,
$$
f'(x)=\dfrac{2x+7}{1+(x^2+7x)^2}
$$
Ejemplo 10
$$ f(x)=5^{\sqrt{x}}$$
Para hacer esta derivada debemos aplicar la derivada de la exponencial y la derivada de la raíz junto con la regla de la cadena,
$$
f'(x)=5^{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\ln(5)
$$
Para hacer esta derivada debemos aplicar la derivada de la exponencial y la derivada de la raíz junto con la regla de la cadena,
$$
f'(x)=5^{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\ln(5)
$$
Ejemplo 11
$$ f(x)=\dfrac{9\sqrt{x}}{\ln(x)}$$
La derivada de esta función se obtiene aplicando la derivada de un cociente junto con las fórmulas de derivación de la raíz y el logaritmo neperiano. También hemos de tener en cuenta que el 9 es una constante y no es necesario derivarlo,
$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{9}{2\sqrt{x}}\cdot\ln(x)-9\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}}{(\ln(x))^2}
$$
La derivada de esta función se obtiene aplicando la derivada de un cociente junto con las fórmulas de derivación de la raíz y el logaritmo neperiano. También hemos de tener en cuenta que el 9 es una constante y no es necesario derivarlo,
$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{9}{2\sqrt{x}}\cdot\ln(x)-9\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}}{(\ln(x))^2}
$$
Ejemplo 12
$$ f(x)=\text{arcsen}(e^x)$$
Para calcular la derivada de una función de este tipo tenemos aplicar nuevamente la regla de la cadena junto con la derivada del arcoseno y la función exponencial
$$
f'(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}}
$$
Para calcular la derivada de una función de este tipo tenemos aplicar nuevamente la regla de la cadena junto con la derivada del arcoseno y la función exponencial
$$
f'(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}}
$$
Ejemplo 13
$$ f(x)=\sqrt{\dfrac{x^3-7x^2+6}{x^2-5}}$$
En esta ocasión tenemos que aplicar la derivada de la cadena junto con la derivada de una fracción y la derivada de un polinomio.
$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{(3x^2-14x)(x^2-5)-(x^3-7x^2+6)2x}{(x^2-5)^2}}{2\sqrt{\dfrac{x^3-7x^2+6}{x^2-5}}}
$$
En esta ocasión tenemos que aplicar la derivada de la cadena junto con la derivada de una fracción y la derivada de un polinomio.
$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{(3x^2-14x)(x^2-5)-(x^3-7x^2+6)2x}{(x^2-5)^2}}{2\sqrt{\dfrac{x^3-7x^2+6}{x^2-5}}}
$$
Ejemplo 14
$$ f(x)=\dfrac{x^2\cdot \ln(x)}{\text{sen}(x)}$$
Esta derivada tiene mayor complicación que las anteriores ya que nos encontramos con un producto dentro de un cociente. Así tendremos que aplicar la regla de la derivada de un cociente y de un producto,
$$
f'(x)=\dfrac{\left(2x\ln(x)+x^2\dfrac{1}{x}\right)\text{sen}(x)-(x^2\ln(x))\cdot \cos(x)}{\text{sen}^2(x)}
$$
Esta derivada tiene mayor complicación que las anteriores ya que nos encontramos con un producto dentro de un cociente. Así tendremos que aplicar la regla de la derivada de un cociente y de un producto,
$$
f'(x)=\dfrac{\left(2x\ln(x)+x^2\dfrac{1}{x}\right)\text{sen}(x)-(x^2\ln(x))\cdot \cos(x)}{\text{sen}^2(x)}
$$
Ejemplo 15
$$ f(x)=e^{\dfrac{\arctan(x)}{x}}$$
Para derivar esta función debemos aplicar la regla de la cadena junto con la derivada de la división o cociente.
$$
f'(x)=e^{\dfrac{\arctan(x)}{x}}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{1+x^2}x-\arctan(x)}{x^2}
$$
Para derivar esta función debemos aplicar la regla de la cadena junto con la derivada de la división o cociente.
$$
f'(x)=e^{\dfrac{\arctan(x)}{x}}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{1+x^2}x-\arctan(x)}{x^2}
$$
Ejemplo 16
$$ f(x)=\dfrac{\text{cotg}(x)}{x}$$
En esta ocasión nos encontramos con la derivada de un cociente donde tendremos que aplicar posteriormente la derivada de la cotangente.
$$
f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{\text{sen}^2(x)}x-\text{cotg}(x)}{x^2}
$$
En esta ocasión nos encontramos con la derivada de un cociente donde tendremos que aplicar posteriormente la derivada de la cotangente.
$$
f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{\text{sen}^2(x)}x-\text{cotg}(x)}{x^2}
$$
Ejemplo 17
$$ f(x)=\log_3(e^{\text{arctg}(x)})$$
La derivada de esta función tenemos que obtenerla aplicando de forma repetida la regla de la cadena además de la derivada de logaritmo, derivada de la exponencial y derivada del arcotangente.
$$
f'(x)=\dfrac{e^{\text{arctg}(x)}\dfrac{1}{1+x^2}}{e^{\text{arctg}(x)}\ln(3)}
$$
La derivada de esta función tenemos que obtenerla aplicando de forma repetida la regla de la cadena además de la derivada de logaritmo, derivada de la exponencial y derivada del arcotangente.
$$
f'(x)=\dfrac{e^{\text{arctg}(x)}\dfrac{1}{1+x^2}}{e^{\text{arctg}(x)}\ln(3)}
$$
Ejemplo 18
$$ f(x)=\dfrac{(1+\text{sen}(3x))^3}{(1-\cos(8x))^5}$$
Para realizar esta derivada tenemos que tener en cuenta que estamos ante un cociente, y dentro del cociente tendremos que aplicar la regla de la cadena para potencias combinada con la regla de la cadena para senos y cosenos.
$$
f'(x)=\dfrac{3(1+\text{sen}(3x))^2\cos(3x)3\cdot(1-\cos(8x))^5-(1+\text{sen}(3x))^3\cdot 5(1-\cos(8x) )^4\text{sen}(8x)8 }{\left( (1-\cos(8x))^5 \right)^2}
$$
Para realizar esta derivada tenemos que tener en cuenta que estamos ante un cociente, y dentro del cociente tendremos que aplicar la regla de la cadena para potencias combinada con la regla de la cadena para senos y cosenos.
$$
f'(x)=\dfrac{3(1+\text{sen}(3x))^2\cos(3x)3\cdot(1-\cos(8x))^5-(1+\text{sen}(3x))^3\cdot 5(1-\cos(8x) )^4\text{sen}(8x)8 }{\left( (1-\cos(8x))^5 \right)^2}
$$
Ejemplo 19
$$ f(x)=\text{tg}(\text{tg}(x))$$
Este tipo de funciones requieren conocer muy bien las fórmulas de derivadas y saber aplicarlas correctamente. Utilizando la regla de la cadena junto con la derivada de la tangente obtenemos,
$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2(x)}}{\cos^2(\text{tg}(x))}
$$
Este tipo de funciones requieren conocer muy bien las fórmulas de derivadas y saber aplicarlas correctamente. Utilizando la regla de la cadena junto con la derivada de la tangente obtenemos,
$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2(x)}}{\cos^2(\text{tg}(x))}
$$
Ejemplo 20
$$ f(x)=\left( \dfrac{\text{sen}(x)}{e^{\pi x}}\right)^5$$
Para el calculo de la derivada de una función con esta estructura tenemos que aplicar la regla de la cadena sucesivas veces teniendo en cuenta, la derivada de una potencia, la derivada de una fracción, la derivada del seno, y la derivada de la exponencial.
$$
f'(x)=5\left( \dfrac{\text{sen}(x)}{e^{\pi x}}\right)^4\cdot\dfrac{\cos(x)e^{\pi x}-\text{sen}(x)e^{\pi x}\pi}{\left(e^{\pi x} \right)^2}
$$
Para el calculo de la derivada de una función con esta estructura tenemos que aplicar la regla de la cadena sucesivas veces teniendo en cuenta, la derivada de una potencia, la derivada de una fracción, la derivada del seno, y la derivada de la exponencial.
$$
f'(x)=5\left( \dfrac{\text{sen}(x)}{e^{\pi x}}\right)^4\cdot\dfrac{\cos(x)e^{\pi x}-\text{sen}(x)e^{\pi x}\pi}{\left(e^{\pi x} \right)^2}
$$
Para que puedas comprobar si las derivadas que haces están bien te dejo esta calculadora de derivadas. Recuerda que para aprender a derivar correctamente es necesario paciencia y constancia.
En esta entrada con cálculo de derivadas no he simplificado los resultados obtenidos pues no era el objetivo de este post. Lo importante es aplicar correctamente las reglas de derivación.
Si te ha gustado esta entrada de ejercicios de derivadas resueltos y quieres descubrir más material gratuito puedes visitar mi blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre matemáticas y estadística puedes visitar mi canal de Youtube donde encontrarás ejercicios resueltos de matemáticas y estadística a todos los niveles.