Ecuaciones de segundo grado incompletas | 2023 |

Por Carlos Martínez
ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas

©2023 Carlos Martínez Martínez

A continuación te presento una relación de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas paso a paso que te servirá para saber como resolver ecuaciones de segundo grado incompletas y aprobar tu examen de matemáticas.

Las ecuaciones de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, son aquellas en las que la variable incógnita se encuentra elevada al cuadrado. Este tipo de ecuaciones tienen mucha importancia en las matemáticas, la física y la ingeniería entre otras ciencias.

Como característica principal debemos resaltar que una ecuación de segundo grado incompleta es aquella a la que le falta el término \(b\) o el término \(c\) en su expresión general \(ax^2+bx+c=0\). En este post te mostraré como resolver ecuaciones de segundo grado incompletas paso a paso.

Para trabajar con ecuaciones de segundo grado incompletas es recomendable saber trabajar con ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado completas.

Tabla de contenidos

Ecuaciones de segundo grado incompletas sin término b

Estas ecuaciones siempre serán de la forma

$$
ax^2+c=0
$$

Para calcular la solución despejaremos el término \(x^2\) de la siguiente forma,

$$
ax^2+c=0\Leftrightarrow ax^2=-c\Leftrightarrow x^2=\dfrac{-c}{a}
$$

Para obtener el valor de \(x\) tomaremos raíces cuadradas en ambos lados de la expresión obteniendo de forma general,

$$
x=\pm \sqrt{\dfrac{-c}{a}}
$$

Y como condición tendremos que exigir que \(\dfrac{-c}{a}\geq 0\) para que exista dicha raíz cuadrada

Veamos algunos ejemplos para entenderlo mejor,

Ecuación de segundo grado incompleta 1

$$
9x^2-25=0
$$
Procedemos siempre de la misma manera, despejamos el valor de \(x^2\) y finalmente tomamos raíces cuadradas
$$
9x^2-25=0\Leftrightarrow 9x^2=25\Leftrightarrow x^2=\dfrac{25}{9}\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{ \dfrac{25}{9}}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{5}{3}
$$

Ecuación de segundo grado incompleta 2

$$
-3x^2+75=0
$$
De nuevo despejamos \(x^2\) teniendo cuidad con los signos. Después tomaremos raíces cuadradas
$$
-3x^2+75=0\Leftrightarrow x^2=\dfrac{-75}{-3}\Leftrightarrow x^2=25 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{25}\Leftrightarrow x=\pm 5
$$
Por tanto las soluciones son \(x=5\) y \(x=-5\)

Ecuación de segundo grado incompleta 3

$$
7x^2+2=0
$$
Este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas deben tener toda nuestra atención porque es un caso especial. Resolviendo obtenemos,
$$
7x^2+2=0\Leftrightarrow 7x^2=-2\Leftrightarrow x^2=\dfrac{-2}{7}
$$
A continuación deberíamos tomar raíces cuadradas pero \(\dfrac{-2}{7}\) es negativo por lo que no existe su raíz cuadrada. Por tanto en este caso afirmamos que la ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales.

Ecuación de segundo grado incompleta 4

$$
\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{16}{4}=0
$$
Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta siguiendo los mismos pasos que antes,
$$
\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{16}{4}=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{16}{4}\Leftrightarrow x^2=\dfrac{\dfrac{16}{4}}{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4
$$
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado incompleta son \(x=4\) y \(x=-4\)

Ecuación de segundo grado incompleta 5

$$
x(x-2)=-2x+64
$$
Este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas siempre se inician trabajando la ecuación para simplificar su expresión y posteriormente resolver como siempre hemos trabajado.
$$
x(x-2)=-2x+64\Leftrightarrow x^2-2x=-2x+64\Leftrightarrow x^2=64\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{64}\Leftrightarrow x=\pm 8
$$
Las soluciones de la ecuación son \(x=8\) y \(x=-8\)

Ecuaciones de segundo grado incompletas sin término c

Este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas siempre serán de la forma,

$$
ax^2+bx=0
$$

Y para resolverlas siempre sacaremos factor común el término \(x\) y obtendremos,

$$
x(ax+b)=0\Leftrightarrow x=0\quad \text{o} ax+b=0
$$

Así, \(x=0\) siempre será una solución y la otra la obtendremos de,

$$
ax+b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a}
$$

Veamos unos ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas a las que le falta el término \(c\)

Ecuación de segundo grado incompleta 6

$$
8x^2-2x=0
$$
Sacamos factor común el término \(x\) obteniendo,
$$
x(8x-2)=0
$$
Tenemos por un lado que \(x=0\) y \(8x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)
Así las soluciones de la ecuación son \(x=0\) y \(x=\dfrac{1}{4}\)

Ecuación de segundo grado incompleta 7

$$
3x^2+\dfrac{1}{3}x=0
$$
Sacamos factor común y buscamos las dos soluciones,
$$
x\left(3x+\dfrac{1}{3}\right)=0
$$
Obtenemos \(x=0\) como primera solución y la segunda viene dada por,
$$
3x+\dfrac{1}{3}=0\Leftrightarrow 3x=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3\cdot 3}=-\dfrac{1}{9}
$$

Ecuación de segundo grado incompleta 8

$$
2x(x+3)=x(x-1)
$$
Comenzamos desarrollando los paréntesis e igualando la ecuación a cero.
$$
2x^2+6x=x^2-x\Leftrightarrow 2x^2-x^2+6x+x=\Leftrightarrow x^2+7x=0
$$
Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta obteniendo,
$$
x^2+7x=0\Leftrightarrow x(x+7)=0
$$
Obteniendo como soluciones \(x=0\) y \(x+7=0\Leftrightarrow x=-7\)

Ecuación de segundo grado incompleta 9

$$
\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{5x}{6}=x
$$
Para resolver este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas tenemos que comenzar por obtener una ecuación equivalente sin fracciones. Para ello usamos mínimo común múltiplo.
\begin{align}
\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{5x}{6}&=x \\ \\
\dfrac{3x^2}{6}-\dfrac{5x}{6}&=\dfrac{6x}{6}\\ \\
3x^2-5x&=6x \\ \\
3x^2-11&x=0 \\ \\
x(3x-11)&=0
\end{align}
Obtenemos como soluciones \(x=0\) y
$$
3x-11=0\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{3}
$$

Ecuación de segundo grado incompleta 10

$$
\dfrac{x(x-5)}{3}-\dfrac{x(x-1)}{5}=\dfrac{x}{3}
$$
Comenzamos trabajando la ecuación utilizando mínimo común múltiplo,
\begin{align}
\dfrac{x(x-5)}{3}-\dfrac{x(x-1)}{5}&=\dfrac{x}{3} \\ \\
\dfrac{5x(x-5)}{15}-\dfrac{3x(x-1)}{15}&=\dfrac{5x}{15} \\ \\
5x^2-25x-3x^2+3x&=5x \\ \\
5x^2-3x^2-25x+3x-5x&=0\\ \\
2x^2-27x&=0 \\ \\
x(2x-27)&=0
\end{align}
Resolviendo obtenemos \(x=0\) y \(x=\dfrac{27}{2}\)

Ecuaciones de segundo grado incompletas propuestas

A continuación te propongo una serie de ecuaciones de segundo grado incompletas para que sigas practicando. Te animo a que escribas un comentario con los resultados obtenidos y te diré si son correctos.

\begin{align}
&a)-x(-1+x)=0
\\ \\
&b) \dfrac{x(3-x)}{2}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{-x^2}{4}
\\ \\
&c) 5x^2-3x(x-1)=-2x+x(x-1)
\\ \\
&d)2x^2 + 5x(x-1) + 3 = 3(x+1)
\\ \\
&e)\dfrac{7x(x-4)}{5}-\dfrac{5x^2}{15}=0
\end{align}
Ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas paso a paso. matesconcarlos.com

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