Ecuaciones de primer grado

Por Carlos Martínez
ecuaciones de primer grado

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post podrás encontrar toda la teoría sobre ecuaciones de primer grado. Además encontrarás ejercicios resueltos paso a paso de los distintos tipos de ecuaciones de primer grado.

A continuación estudiaremos las diferentes ecuaciones de primer grado donde destacaremos las ecuaciones de primer grado con paréntesis y las ecuaciones de primer grado con fracciones.

Si es la primera vez que te enfrentas a una ecuación de primer grado no te preocupes, la teoría y ejercicios que vas a encontrar son válidos para principiantes.

¿Qué son las ecuaciones de primer grado?

Una ecuación de primer grado no es más que una expresión algebraica donde hay una igualdad entre dos términos, en los cuales se encuentran números y letras. En las ecuaciones de primer grado pueden aparecer una o más letras distintas pero para que sea posible su resolución lo normal es que aparezca una única letra, normalmente la letra .

La letra \(x\) se conoce como incógnita de la ecuación y resolver una ecuación de primer grado consiste en encontrar el valor de \(x\) para que se verifique la igualdad. Un ejemplo de ecuación de primer grado es,

$$
5-x=3
$$

De forma teórica, la solución es el valor que tiene que tomar \(x\) para que se verifique que \(5-x=3\) y en esta ocasión es fácil darse cuenta que debería ser \(x=2\).

Para comprobar que un valor es solución simplemente sustituimos dicho valor por \(x\) en la expresión y comprobamos si se tiene una igualdad,

\begin{align}
5-2&=3 \\
3&=3
\end{align}

Como se verifica la igualdad obtenemos que la solución calculada es correcta.

En general se pueden dar tres situaciones distintas en cuánto al número de soluciones de una ecuación de primer grado,

  1. Existe una única solución
  2. Existen infinitas soluciones
  3. No existe ninguna solución

En los ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado podrás ver cómo se identifica cada una de estas situaciones.

Ecuaciones de primer grado

En el caso anterior la ecuación era sencilla de resolver pero, ¿qué sucede si la ecuación que tenemos es mucho más compleja y no podemos obtener la solución a simple vista? En ese caso lo que emplearemos serán técnicas de resolución de ecuaciones de primer grado.

¿Cómo resolver una ecuación de primer grado?

Para resolver una ecuación de primer grado la idea que seguiremos es la siguiente, queremos tener todos los términos con incógnitas \(x\) en un lado de la igualdad y todos los números en otro. Así que tendremos que mover términos para agruparlos teniendo en cuenta que:

  • Si tenemos una letra o un número y lo queremos mover al otro lado de la igualdad se produce un cambio de signo. Es decir, si el número o letra está positivo pasa al otro lado negativo y viceversa.
  • Si en un lado de la igualdad tenemos únicamente un número multiplicando a una letra, el número pasa al otro lado dividiendo o viceversa pero sin cambiar de signo.

Ecuaciones de primer grado sencillas

Ecuación 1

$$
2-x=3-2x
$$

Vamos a intentar agrupar todos los términos con \(x\) en la izquierda y todos los números en la derecha.

En la derecha tenemos el término \(-2x\) que pasa a la izquierda con un cambio de signo,

$$
2-x+2x=3
$$

A la izquierda tenemos un \(2\) que pasa a la derecha con signo contrario,

$$
-x+2x=3-2
$$

Agrupamos los valores obteniendo,

$$
x=1
$$

Ecuación 2

$$5+3x-2=4+x-1$$

Nos llevamos los términos con \(x\) a la izquierda y los números sin \(x\) a la derecha con los correspondientes cambios de signo,

$$
3x-x=4-1-5+2
$$

Agrupando obtenemos,

$$
2x=0
$$

Finalmente aplicamos la segunda propiedad importante; como el multiplica a y están solos en un lado de la igualdad, pasa dividiendo al otro lado de la igualdad sin cambiar de signo,

$$
x=\dfrac{0}{2}=0
$$

Ecuación 3

$$
7-15x+2=-x+2
$$

En esta ocasión es interesante darse cuenta de una cosa; cuando trabajamos con ecuaciones de primer grado es muy importante intentar que la variable \(x\) siempre esté positiva a la hora de despejarla (nos evitará problemas de signos) por lo que es buena idea llevar todas las \(x\) a aquel lado en el que al final sean positivas.

En este ejercicio si nos llevamos las a la izquierda quedarían con signo negativo por lo que nos llevaremos las incógnitas a la derecha y los números a la izquierda,

\begin{align}
7-15x+2&=-x+2 \\
7+2-2&=-x+15x \\
7&=14x \\
\dfrac{7}{14}&=x
\end{align}

Simplificando la fracción obtenemos \(x=\dfrac{1}{2}\)

Ecuaciones de primer grado con paréntesis

Para resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis es importante conocer como se desarrollan el producto de un número o una variable por un paréntesis y el producto entre paréntesis. Por ello te recomiendo que antes de resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis conozcas el desarrollo y las operaciones de los mismos.

resolver ecuaciones de primer grado con parentesis

Para resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis es importante conocer la jerarquía de operaciones, es decir, el orden en el que tenemos que realizar las operaciones,

  1. Paréntesis y corchetes
  2. Productos y divisiones
  3. Sumas y restas

Ecuación 4

$$
x+2(x+1)=4
$$

Para resolver esta ecuación comenzamos desarrollando el paréntesis,

$$
x+2x+2=4
$$

Y resolvemos la ecuación de primer grado simplificada,

\begin{align}
x+2x+2&=4 \\
x+2x&=4-2 \\
3x&=2 \\
x&=\dfrac{2}{3}
\end{align}

Ecuación 5

$$
2(2x-5)-8(x-2)=0
$$

Comenzamos desarrollando los dos paréntesis teniendo cuidado con el producto de los números y letras con sus respectivos signos,

$$
4x-10-8x+16=0
$$

En esta ocasión nos interesa llevarnos los términos con \(x\) a la derecha para que sean positivos,

\begin{align}
-10+16&=-4x+8x \\
6&=4x \\
\dfrac{6}{4}&=x
\end{align}

Simplificando la fracción se tiene \(x=\dfrac{3}{2}\)

Ecuación 6

$$
4(-x+2)+5x-6=-2(x-1)
$$

Comenzamos desarrollando los paréntesis,

$$
-4x+8+5x-6=-2x+2
$$

Resolvemos llevando las incógnitas a un lado y los números a otro,

\begin{align}
-4x+5x+2x&=2-8+6 \\
3x&=0 \\
x&=\dfrac{0}{3}=0
\end{align}

Ecuación 7

$$
3(x-2)+5=8x-5(x-1)
$$

Comenzamos desarrollando los paréntesis,

$$
3x-6+5=8x-5x+5
$$

Resolvemos la ecuación obteniendo,

\begin{align}
3x-8x+5x&=5+6-5 \\
0x&=6 \\
0&=6
\end{align}

Donde hemos usado que \(0x=0\). En esta ocasión obtenemos una contradicción ya que al final hemos obtenido \(0=6\) que no es cierto por lo que podemos afirmar que no existe solución de la ecuación de primer grado.

Ecuación 8

$$
6(x-2+3x)=-3(-2x+2-5)
$$

Siguiendo la jerarquía de operaciones debemos comenzar intentado operar dentro de los paréntesis,

$$
6(4x-2)=-3(-2x-3)
$$

Continuamos desarrollando los productos por los paréntesis y resolvemos,

\begin{align}
24x-12&=6x+9 \\
24x-6x&=9+12 \\
18x&=21 \\
x&=\dfrac{21}{18}=\dfrac{7}{6}
\end{align}

Ecuación 9

$$
8-(-x+3)+2(4-3x)=3(3x-2)
$$

Comenzamos desarrollando los paréntesis y teniendo en cuenta que un signo negativo delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo de dentro,

\begin{align}
8+x-3+8-6x&=9x-6 \\
8-3+8+6&=9x-x+6x \\
19&=14x \\
\dfrac{19}{14}&=x
\end{align}

Ecuaciones de primer grado con fracciones

Para la resolución de ecuaciones de primer grado con fracciones es fundamental comprender qué es y como se realiza el mínimo común múltiplo entre fracciones de números para aplicarlo a fracciones donde estén involucradas variables.

Veamos algunos ejercicios sencillos

Ecuación 10

$$
\dfrac{x}{2}=\dfrac{3-x}{6}
$$

En primer lugar comenzamos estudiando el mínimo común múltiplo de los denominadores, \(m.c.m(2,6)=6\). Así podemos reescribir la ecuación como,

$$
\dfrac{3x}{6}=\dfrac{3-x}{6}
$$

Como tenemos una igualdad entre fracciones con el mismo denominador debe suceder que el numerador sea el mismo, así obtenemos una ecuación de primer grado como las de antes,

\begin{align}
3x&=3-x \\
3x+x&=3 \\
4x&=3 \\
x&=\dfrac{3}{4}
\end{align}

Ecuación 11

$$
\dfrac{x}{4}+\dfrac{4x}{2}=\dfrac{6}{2}
$$

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores obteniendo, \(m.c.m(4,2,2)=4\). Reescribiendo la ecuación utilizando esta información se tiene,

$$
\dfrac{x}{4}+\dfrac{8x}{4}=\dfrac{12}{4}
$$

Como tenemos una igualdad donde todas las fracciones tienen el mismo denominador nos quedamos con los numeradores,

\begin{align}
x+8x&=12 \\
9x&=12 \\
x&=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}
\end{align}

Ecuación 12

$$
\dfrac{x+3}{2}+\dfrac{x}{3}=2
$$

En esta ocasión debemos escribir todos los términos como fracción. Así el \(2\) de la derecha puede transformarse a,

$$
\dfrac{x+3}{2}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{1}
$$

Así el mínimo común múltiplo viene dado por, \(m.c.m(2,3,1)=6\). Reescribimos la ecuación como,

$$
\dfrac{3(x+3)}{6}+\dfrac{2x}{6}=\dfrac{12}{6}
$$

Nuevamente, nos quedamos con los numeradores obteniendo,

$$
3(x+3)+2x=12
$$

Desarrollamos el paréntesis y resolvemos de la forma habitual,

\begin{align}
3x+9+2x&=12 \\
3x+2x&=12-9 \\
5x&=3 \\
x&=\dfrac{3}{5}
\end{align}

Ecuación 13

$$
\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x}{3}-5 \right)=3x-2
$$

Comenzamos este ejercicio haciendo el mínimo común múltiplo del paréntesis, siguiendo la jerarquía de operaciones, para expresar dicho paréntesis como una única fracción,

$$
\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x-15}{3} \right)=3x-2
$$

A continuación mutliplicamos la fracción por el paréntesis,

$$\dfrac{2x-15}{6}=3x-2$$

Operamos de forma habitual,

\begin{align}
\dfrac{2x-15}{6}&=\dfrac{3x-2}{1} \\ \\
\dfrac{2x-15}{6}&=\dfrac{6(3x-2)}{6} \\ \\
\end{align}

Considerando solo los numeradores se tiene,

\begin{align}
2x-15&=6(3x-2) \\
2x-15&=18x-12 \\
-15+12&=18x-2x \\
-3&=16x\\
-\dfrac{3}{16}&=x
\end{align}

Ecuaciones de primer grado difíciles

A continuación podrás ver cuatro ejercicios de ecuaciones de primer grado difíciles resueltos paso a paso.

Ecuación 14

$$
2[3x-2(4x-1)]=-(10x-4)
$$

Comenzamos desarrollando los paréntesis de cada lado de la ecuación,

$$
2[3x-8x+2]=-10x+4
$$

Simplificamos las operaciones que hay dentro del corchete,

$$
2[-5x+2]=-10x+4
$$

Operamos el corchete,

$$
-10x+4=-10x+4
$$

Hemos obtenido una igualdad (también conocida como trivialidad). En este caso hemos obtenido que cualquier valor de \(x\) va a verificar la ecuación por lo que podemos afirmar que existen infinitas soluciones para dicha ecuación.

Ecuación 15

$$
x+3[2-3(x+1)]=2[x-3(x+2)-1]
$$

Comenzamos resolviendo los paréntesis que se encuentran en el interior de los corchetes de ambos lados de la ecuación de primer grado,

$$
x+3[2-3x-3]=2[x-3x-6-1]
$$

Operando el interior de los corchetes se tiene,

$$
x+3[-1-3x]=2[-2x-7]
$$

Finalmente realizamos los productos por los corchetes y resolvemos la ecuación de primer grado,

\begin{align}
x-3-9x&=-4x-14 \\
14-3&=-4x+9x-x \\
11&=4x \\
\dfrac{11}{4}&=x
\end{align}

Ecuación 16

$$
x-\dfrac{2(x-1)}{3}=1-\dfrac{4(x-3)}{2}
$$

Hacemos mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen en la ecuación y la reescribimos,

$$
\dfrac{6x}{6}-\dfrac{4(x-1)}{6}=\dfrac{6}{6}-\dfrac{12(x-3)}{6}
$$

Nos quedamos con los numeradores y resolvemos la ecuación planteada,

\begin{align}
6x-4(x-1)&=6-12(x-3) \\
6x-4x+4&=6-12x+36 \\
12x+6x-4x&=36+6-4 \\
14x&=38 \\
x&=\dfrac{38}{14}=\dfrac{19}{7}
\end{align}

Ecuación 17

$$
\dfrac{8-4x}{3}-2(5x+3)=\dfrac{2(4x+6)}{9}+2(10x+4)
$$

Comenzamos haciendo mínimo común múltiplo y obteniendo una ecuación equivalente,

$$
\dfrac{3(8-4x)}{9}-\dfrac{18(5x+3)}{9}=\dfrac{2(4x+6)}{9}+\dfrac{18(10x+4)}{9}
$$

Por tanto, ahora solo tenemos que resolver la siguiente ecuación,

\begin{align}
3(8-4x)-18(5x+3)&=2(4x+6)+18(10x+4) \\
24-12x-90x-54&=8x+12+180x+72 \\
24-54-12-72&=8x+180x+12x+90x \\
-114&=290x \\
\dfrac{-114}{290}&=x
\end{align}

Simplificando la fracción obtenida se tiene \(x=-\dfrac{57}{145}\)


A lo largo de esta entrada hemos visto una manera personal de resolver ecuaciones de primer grado de diferente tipo por lo que también son admisibles otras formas de resolución.


Si tienes dudas con la teoría o los ejercicios sobre ecuaciones de primer grado o cualquier problema en matemáticas o estadística puedes contactar conmigo y te informaré de toda la oferta educativa disponible.

Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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