Problemas de optimización | Optimización de funciones

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post estudiaremos como resolver problemas y ejercicios de optimización. Además veremos cual es la manera adecuada de plantear y resolver un problema de optimización al igual que trabajaremos ejercicios de optimización de funciones con incógnitas y condiciones.

Los problemas de optimización de segundo de bachillerato son fundamentales para realizar un buen examen de selectividad. Para que puedas practicar más ejercicios de selectividad te invito a visitar nuestra pagina con diferentes exámenes de matemáticas selectividad resueltos en Andalucía.

¿Qué es un problema de optimización?

Un problema de optimización es un problema en el que se desea maximizar o minizar alguna función bajo ciertas condiciones. Uno de los problemas más habituales en optimización consiste en encontrar las dimensiones de un cilindro o una caja sabiendo alguna información sobre su volumen o superficie

Dentro de los problemas de optimización también se encuentran los problemas de funciones con incógnitas. Estos problemas parten de una función con una serie de parámetros desconocidos y tenemos que calcularlos sabiendo que la función cumple ciertos requisitos.

¿Cómo resolver problemas de optimización en 2 Bachillerato?

Para resolver problemas de optimización cuando se trabajan con cilindros o cajas existen una serie de pasos que pueden ayudar al planteamiento y solución del problema. Es importante destacar que no todos los problemas de optimización se ajustan a esta estructura pero la mayoría de los problemas de optimización de cilindros o cajas si lo hacen.

Los pasos para resolver problemas de optimización son los siguientes:

1. Asignar las variables del problema.
2. Plantear la función de varias variables a optimizar.
3. Utilizar la información del problema para buscar la relación existente entre nuestras variables.
4. Reescribir la función a optimizar en términos de una única variable.
5. Optimizar la función obtenida, es decir calcular máximos o mínimos de dicha función.
6. Comprobar que hemos obtenido un máximo o un mínimo.
7. Sustituir en la relación obtenida en el paso 3 para obtener el valor de la otra variable.

Problemas de optimización de selectividad resueltos

A continuación vamos a plasmar cómo resolver algunos de los problemas de optimización que han caído en las convocatorias oficiales de selectividad en Andalucía siguiendo los pasos que hemos visto previamente.

Ejercicio optimización cilindro

Se necesita construir un depóstio cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de \(20\pi\) \(m^3\). El material para las tapas cuesta 10 euros cada \(m^2\) y el material para el resto del cilindro 8 euros cada \(m^2\). Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hacen que el coste total sea mínimo.

Comenzamos la resolución de este problema con el paso 1. Asignamos las variables que definen el cilindro. En el caso de los cilindros siempre serán el radio y la altura.

A continuación debemos realizar el paso más complicado, en el paso 2 debemos definir la función que queremos optimizar. Para ello lo más sencillo es ir a la pregunta del ejercicio y en este caso nos preguntan que calculemos las dimensiones que hacen que el coste sea mínimo.

Por tanto, debemos calcular el mínimo de la función coste. En este ejercicio de optimización, el coste para las tapaderas y la superficie lateral del cilindro son distintos por lo que deberemos obtener el coste de las tapaderas, el coste del área lateral del cilindro y sumarlos.

En este punto es necesario recordar que un cilindro se construía con un rectángulo y dos círculos.

Comenzamos calculando el coste del área lateral. Aquí es muy importante darse cuenta que el rectángulo tiene altura \(h\) y base \(2\pi r\) (coincide con la longitud de la circunferencia). Así el área del rectángulo viene dada por,

$$
A_{rectangulo}=2\pi r\cdot h
$$

Y el coste asociado es igual a la superficie por el precio del metro cuadrado,

$$
C_{rectangulo}=2\pi r\cdot h\cdot 8=16\pi r h
$$

Para calcular el coste de las tapaderas tenemos que calcular inicialmente el coste de una tapadera y multiplicarlo por 2 ya que tenemos dos tapaderas.

Recordando el área del círculo tenemos,

$$
A_{circulo}=\pi r^2
$$

Y el coste utilizando los datos del problema viene dado por,

$$
C_{tapadera}= \pi r^2\cdot 10
$$

Como tenemos dos tapaderas el coste será,

$$
C_{tapaderas}=\pi r^2\cdot 10 \cdot 2=20\pi r^2
$$

Uniendo el coste de las tapaderas y del área lateral del cilindro se obtiene el coste total que depende de \(r\) y \(h\) definiendo así la función,

$$
C(r,h)=20\pi r^2+16\pi r h
$$

Como en este punto no sabríamos minimizar una función de dos variables lo que hacemos en el paso 3 es encontrar una relación entre las variables, en este tipo de problemas de optimización con cilindros es habitual usar el volumen del cilindro que nos da el enunciado.

En esta ocasión nos dan un volumen de \(20\pi\). Sabemos que el volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de la base por la altura. Así tenemos la relación,

$$
V_{cilindro}=\pi r^2 h=20 \pi
$$

Despejando la variable \(h\) (para evitar raíces cuadradas) tenemos,

$$
h=\dfrac{20\pi}{\pi r^2}\Leftrightarrow h=\dfrac{20}{r^2}
$$

En el paso 4 reescribimos la función de dos variables en términos de una única variable utilizando la información que acabamos de obtener,

$$
C(r)=20\pi r^2+16\pi r \dfrac{20}{r^2}=20\pi r^2+\dfrac{320\pi}{r}
$$

En el paso 5 debemos calcular el mínimo de la función obtenida (coste mínimo). Para ello calculamos la derivada de la función e igualamos a 0. Recuerda que es muy importante tener en cuenta las reglas de derivación de funciones

$$
C'(r)=40\pi r-\dfrac{320\pi}{r^2}=0\Leftrightarrow 40\pi r=\dfrac{320\pi}{r^2}\Leftrightarrow r^3=\dfrac{320\pi}{40\pi}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{8}=2
$$

En el paso 6 comprobamos que el valor obtenido es un mínimo, para ello la segunda derivada de la función evaluada en ese punto debe ser mayor que cero. Calculamos en primer lugar la segunda derivada,

$$
C^″(r)=40\pi+\dfrac{320\pi 2r}{r^4}
$$

En esta ocasión se tiene que \(C^″(r)>0, \, \forall r>0\) así que en particular se verificará que \(C^″(2)>0\) por lo que ya tenemos comprobado que para \(r=2\) se obtiene un mínimo de la función coste.

Finalmente, como nos piden las dimensiones del cilindro, en el paso 7 tendremos que sustituir en la expresión de \(h\) que obtuvimos anteriormente. Así,

$$
h=\dfrac{20}{r^2}=\dfrac{20}{4}=5
$$

Concluimos el problema diciendo que para \(r=2m\) y \(h=5m\) se obtiene el cilindro que minimiza el coste para el volumen dado.

Ejercicio optimización caja

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros/m² para los laterales y de 24 euros/m² para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.

Para resolver este tipo de problemas de optimización comenzamos mediante una representación y en el paso 1 realizamos la asignación de las dos variables que definen una caja de base cuadrada. En este caso la longitud de un lado de la base y la altura.

En el paso 2 debemos construir la función a optimizar. En este caso acudiendo a la pregunta del problema vemos que se quieren obtener las dimensiones de la caja de mayor volumen por lo que expresaremos el volumen en términos de las dos variables seleccionadas.

El volumen de una caja se calcula como área de la base por altura así que podemos definir la función,

$$
V(x,y)=x^2y
$$

Buscamos la relación entre las variables en el paso 3. En esta ocasión se sabe que el dinero que se tiene para construir la caja es de 50€. Para ello, calculamos el coste de la caja diferenciando entre la supercie lateral y su base.

$$
C_{lateral}=18\cdot 4xy
$$

Como la caja no tiene tapadera solo calcularemos el coste de la base,

$$
C_{base}=24\cdot x^2
$$

De este modo es posible calcular el coste total e igualarlo a 50€ para despejar la variable \(y\).

$$
C_{total}=18\cdot 4xy+24\cdot x^2=50 \Leftrightarrow y=\dfrac{50-24x^2}{72x}
$$

En el paso 4 reescribimos la función volumen, de dos variables, en términos de una única variable utilizando la información que acabamos de obtener,

$$
V(x)=x^2\cdot \dfrac{50-24x^2}{72x}=\dfrac{50x-24x^3}{72}
$$

En el paso 5 calculamos la derivada de la función para buscar el máximo de la misma,

$$
V'(x)=\dfrac{50-72x^2}{72}=0\Leftrightarrow 50-72x^2=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{50}{72}}=\pm\dfrac{5}{6}
$$

Tenemos dos puntos críticos por lo que deberemos ver cuál de ellos nos da el máximo de la función para ello utilizamos la segunda derivada en el paso 6. En este caso solo estudiaremos el valor positivo ya que estamos trabajando con medidas y el valor negativo no tiene sentido.

$$
C^″(x)=-\dfrac{144x}{72}\Rightarrow C^″(x)<0 \quad \forall x >0
$$

Por tanto se verifica que en \(x=\dfrac{5}{6}\) existe un máximo de la función volumen.

Concluimos el ejercicio con el paso 7 definido para problemas de optimización, sustituimos en la expresión de \(y\) calculada anteriormente.

$$
y=\dfrac{50-24x^2}{72x}\Rightarrow y=\dfrac{50-24\left(\dfrac{5}{6}\right)^2}{72\left(\dfrac{5}{6}\right)}=\dfrac{5}{9}
$$

Concluimos este problema afirmando que la caja con volumen máximo para el presupuesto dado en el enunciado tiene como base \(x=\dfrac{5}{6}m\) y como altura \(y=\dfrac{5}{9}m\)

A continuación puedes ver un vídeo donde aprenderás a resolver un problema de optimización de caja sin tapadera.

Ejercicios de optimización de funciones con incógnitas resueltos

A continuación vamos a trabajar una serie de problemas de optimización de funciones que también pueder ser considerados problemas de optimización o problemas de funciones con incóngitas.

En este tipo de ejercicios normalmente nos dan la expresión general de una función que depende de varios parámetros y además nos dan cierta información sobre la función para que calculemos dichos parámetros.

Veamos a continuación algunos ejercicios de selectividad resueltos muy habituales en el curso de segundo de bachillerato.

Ejercicio 1 optimización de funciones

Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=a\ln(x)+bx^2+x\) para \(x>0\) donde ln denota la función logaritmo neperiano. Halla \(a\) y \(b\) sabiendo que la función tiene extremos relativos en \(x=1\) y \(x=2\)

Para resolver este tipo de ejercicios es fundamental comprender la teoría sobre aplicación de las derivadas en funciones. En concreto es necesario saber que si nos dan los extremos relativos de una función, éstos son puntos donde la derivada se anula.

Como tenemos dos incógnitas tenemos que obtener dos condiciones para poder encontrar una solución. Traduciendo las condiciones sobre los extremos relativos obtenemos,

\begin{align}
f'(1)&=0 \\
f'(2)&=0
\end{align}

Para desarrollar lo anterior comenzamos calculando la derivada de la función \(f\),

$$
f'(x)=\dfrac{a}{x}+2bx+1
$$

Sustituyendo y desarrollando las condiciones anteriores se tiene,

\begin{align}
f'(1)&=0\Leftrightarrow a+2b+1=0 \Leftrightarrow a+2b=-1 \\
f'(2)&=0\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}+4b+1=0 \Leftrightarrow \dfrac{a}{2}+4b=-1
\end{align}

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas obtenemos las siguientes soluciones,

$$
a=-\dfrac{2}{3} \qquad b=-\dfrac{1}{6}
$$

Así, la función buscada es \(f(x)=-\dfrac{2}{3}\ln(x)-\dfrac{1}{6}x^2+x\)

Ejercicio 2 optimización de funciones

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto \((0,2)\) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa \(x=1\) es la recta \(x+y=3\)

Comenzamos la resolución de estos tipos de problemas de optimización definiendo una función polinómica de grado 3,

$$
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
$$

Debemos calcular entonces los parámetros \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) con los datos que nos proporciona el enunciado.

De la condición del extremo relativo en el punto \((0,2)\) se extraen las siguientes condiciones,

\begin{align}
f'(0)&=0 \\
f(0)&=2
\end{align}

Calculamos la expresión de la derivada de la función para sustituir la primera condición,

$$
f'(x)=3ax^2+2bx+c
$$

Sustituyendo en dicha expresión se tiene,

$$
f'(0)=0\Leftrightarrow 3a\cdot 0^2+2b\cdot 0+c=0\Leftrightarrow c=0
$$

Imponiendo la segunda condición se tiene,

$$
f(0)=2\Leftrightarrow a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=2\Leftrightarrow d=2
$$

Sabemos que la recta tangente en el punto \(x=1\) viene dada por \(y=3-x\) y que la expresión general de la recta tangente en el punto \(x=1\) viene dada por,

$$
y-f(1)=f'(1)(x-1)
$$

Sabemos que la pendiente de la recta tangente es -1 ya que la recta es \(y=3-x\) por lo tanto, comparando con la expresión general de la recta tangente se ha de verificar que,

$$
f'(1)=-1\Leftrightarrow 3a\cdot 1^2+2b\cdot 1+0=-1\Leftrightarrow 3a+2b=-1
$$

Finalmente, calculamos \(f(1)\) para sustituir en la expresión general de la recta tangente y comparamos con la expresión \(y=3-x\).

$$
f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+2=a+b+2
$$

Sustituyendo se tiene,

$$
y-(a+b+2)=-1(x-1) \Leftrightarrow y=a+b+2+1-x\Leftrightarrow y=a+b+3-x
$$

Comparando con \(y=3-x\) se ha de verificar que \(a+b+3=3\). Así, obtenemos el sistema,

\begin{align}
3a+2b&=-1\\
a+b&=0
\end{align}

Resolviendo obtenemos los valores faltantes \(a=-1\) y \(b=1\) y sustituyendo en la expresión de la función tenemos,

$$
f(x)=-x^3+x^2+2
$$

Ejercicio 3 optimización de funciones

Halla los valores de a, b y c sabiendo que la gráfica de la función \(f(x)=\dfrac{ax^2+b}{x+c}\) tiene una asíntota vertical en \(x=1\) una asíntota oblícua de pendiente 2 y un extremo local de abscisa \(x=3\).

Comenzamos traduciendo la información de la asíntota vertical. Sabemos que los valores donde se dan las asíntotas verticales son aquellos que anulan el denominador. Así, sustituyendo \(x=1\) en el denominador e igualandandolo a 0 se obtiene,

$$
1+c=0\Leftrightarrow c=-1
$$

Continuamos traduciendo la información de la asíntota oblícua. En general, la pendiente de las asíntotas oblícuas se calcula como

$$
m=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}
$$

La calculamos y la igualamos a 2.

$$
m=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{ax^2+b}{x-1}}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{ax^2+b}{x^2-x}=a=2
$$

Donde hemos aplicado que el límite en infinito de un cociente de dos polinomios del mismo grado es igual al cociente entre los coeficientes que acompañan al termino \(x\) de mayor grado.

Finalmente vamos a traducir la condición de extremo relativo en \(x=3\). Sabemos que si existe un extremo en dicha coordenada entonces la primera derivada en ese punto se anula.

Calculamos la expresión de la primera derivada de la función,

$$
f'(x)=\dfrac{4x(x-1)-1(2x^2+b)}{(x-1)^2}
$$

Aplicando la condición se tiene,

$$
f'(3)=0\Leftrightarrow \dfrac{4\cdot 3\cdot (3-1)-1(2\cdot 3^2+b)}{(3-1)^2}=\dfrac{24-18-b}{4}=0\Leftrightarrow b=6
$$

Sustituyendo todos los valores calculados se obtiene la función pedida,

$$
f(x)=\dfrac{2x^2+6}{x-1}
$$

Si quieres seguir practicando te animo a que veas el siguiente vídeo donde resuelvo otro problema de funciones con incógnitas.

A lo largo de esta entrada hemos visto una manera personal de resolver problemas de optimización por lo que también son admisibles otras formas de resolución.

Si tienes dudas con la teoría o los ejercicios de problemas de optimización u optimización de funciones, o cualquier problema en matemáticas o estadística puedes contactar conmigo.

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