Ejercicios programación lineal | Ejercicios resueltos programación lineal

©2020 Carlos Martínez Martínez

En esta entrada vamos a ver paso a paso como resolver ejercicios de programación lineal de segundo de bachillerato. Este tipo de ejercicios son muy comunes en las pruebas de selectividad de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales por lo que es muy importante comprender bien como se realizan.

A lo largo de este documento encontrarás mi manera personal de resolver ejercicios de programación lineal de exámenes oficiales de selectividad en Andalucia. Si tienes cualquier duda puedes contactar conmigo para aprender más sobre programación lineal.

Si lo deseas puedes consultar mis exámenes de selectividad resueltos para seguir practicando en tu asignatura de matemáticas

¿Qué es la programación lineal?

La programación lineal es una técnica matemática que permite resolver problemas de maximización o minimización de funciones dadas una serie de restricciones.

Esta técnica se suele estudiar en el curso de segundo de bachillerato y en el plan de estudios actual se imparte en la asignatura matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II.

Ejercicio 1 programación lineal

Calcula el máximo y el mínimo de la función
$$
F(x,y)=x+\dfrac{y}{2}
$$

en el recinto dado por las siguientes inecuaciones,

$$
y\leq x+5, \quad 2x+y\geq -4, \quad 4x\leq 10-y, \quad y\geq 0
$$

Para resolver este ejercicios de programación lineal comenzamos despejando la variable «y» en todas las inecuaciones que se pueda,

\begin{align*}
y&\leq x+5 \\
y&\geq -4-2x \\
y&\leq 10-4x \\
y&\geq 0
\end{align*}

Estas inecuaciones se utilizarán posteriormente para obtener la región factible.

El siguiente paso es obtener las rectas que vamos a representar. Para ello sustituimos las desigualdades anteriores por igualdades obteniendo,

\begin{align*}
y&= x+5 \\
y&=-4-2x \\
y&=10-4x \\
y&=0
\end{align*}

Representando las rectas anteriores en el plano usando tablas de valores obtenemos,

A continuación tenemos que usar las inecuaciones planteadas al principio para obtener la región factible del ejercicio de programación lineal. En este ejercicio de programación lineal se tiene,

El siguiente paso es calcular los vértices pues sabemos que en los vértices de la región factible se alcanzan los máximos y mínimos de la función. Asignaremos un vértice a cada una de las intersecciones entre dos rectas y a continuación calcularemos las coordenadas de dichos vértices. En este caso los vértices vienen representados por,

Hemos dicho que cada vértice es intersección de dos rectas, luego el vértice \(A\) se calcula como intersección de las rectas \(y=-4-2x\) e \(y=0\). Resolvemos entonces el sistema,

\begin{align*}
y&=-4-2x \\
y&=0
\end{align*}

Resolviendo por cualquier método se obtiene que \(x=-2\) e \(y=0\) por tanto las coordenadas del vértice \(A\) son \(A=(-2,0)\).

El vértice \(B\) se calcula como intersección de,

\begin{align*}
y&=-4-2x \\
y&=x+5
\end{align*}

Resolviendo el sistema se obtiene que \(B=(-3,2)\).

El vértice \(C\) se calcula como intersección de,

\begin{align*}
y&=x+5 \\
y&=10-4x
\end{align*}

Resolviendo el sistema se obtiene que \(C=(1,6)\).

Por último el vértice \(D\) se calcula como intersección de,

\begin{align*}
y&=10-4x \\
y&=0
\end{align*}

Obteniendo por último que \(D=(5/2,0)\)

Queremos calcular el máximo y el mínimo de la función \(F(x,y)=x+\dfrac{y}{2}\).

Se sabe por teoría que el máximo y el mínimo de una función en un recinto cerrado siempre se alcanza en los vértices de dicho recinto. Por tanto solo tenemos que evaluar la función \(F(x,y)\) en los vértices. Aquel vértice que nos proporcione el valor más alto será el máximo y el vértice que proporcione el valor más pequeño será el mínimo.

\begin{align*}
F(A)&=F(-2,0)=-2+\dfrac{0}{2}=-2 \\
F(B)&=F(-3,2)=-3+\dfrac{2}{2}=-2 \\
F(C)&=F(1,6)=1+\dfrac{6}{2}=4 \\
F(D)&=F(5/2,0)=\dfrac{5}{2}+ \dfrac{0}{2}=\dfrac{5}{2}
\end{align*}

Como tenemos dos valores mínimos alcanzados en los vértices \(A\) y \(B\) decimos que el mínimo se alcanza en el todos los puntos del segmento \(AB\).

Por otra parte vemos que el valor más alto se alcanza en el vértice \(C\) por lo que decimos que el máximo se alcanza en \(C=(1,6)\) y su valor es \(F(C)=4\).

Ejercicio 2 programación lineal

Con motivo de su inauguración, una heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados. El primer tipo de tarrina está compuesto por 150 g de helado de chocolate, 200 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y 2 barquillos. Sólo se dispone de 8 Kg de helado de chocolate, 10 Kg de helado de straciatella y 100 barquillos. ¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo número posible de tarrinas?

Lo primero que debemos de hacer en este tipo de ejercicios de programación lineal es asignar nombre a las variables del problema. En este caso nos preguntan por la cantidad de tarrinas que se han de preparar por lo que definimos:

$$
x=\text{‘numero de tarrinas tipo A’},\quad y=\text{‘numero de tarrinas tipo B’}
$$

Atendiendo al enunciado, está claro que tenemos que maximizar el total de tarrinas preparadas. El total de tarrinas podemos obtenerlo definiendo la siguiente función objetivo:

$$
F(x,y)=x+y
$$

Una vez definidas nuestras variables y la función a optimizar vamos a recoger toda la información proporcionada en el enunciado mediante la siguiente tabla.

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& Chocolate & Straciatella & Barquillo \\
\hline
\text{Tarrina tipo A} & 150gr & 200gr & 1 \\
\hline
\text{Tarrina tipo B} & 150gr & 150gr & 2 \\
\hline
\end{array}

A continuación vamos a calcular el gasto que se ha producido de cada ingrediente en función del número de tarrinas preparadas.

Sabemos que cada tarrina tipo A lleva 150 gr de chocolate y cada tarrina tipo B otros 150 gr, por tanto el gasto de chocolate será,

$$
150x+150y
$$

como además tenemos, según el enunciado, que el gasto de chocolate no puede ser mayor de 8kg llegamos a la siguiente inecuación:

$$
150x+150y\leq 8.000
$$

donde hemos expresado los 8kg en gramos.

De forma análoga podemos calcular la inecuación asociada al gasto de straciatella:

$$
200x+150y \leq 10.000
$$

Y la inecuación para los barquillos,

$$
x+2y \leq 100
$$

Además sabemos que el número de tarrinas de cada tipo es un valor positivo por tanto debemos añadir la condición \(x\geq 0\) e \(y \geq 0\).

Recopilando toda la información nuestro problema se reduciría a maximizar la función \(f(x,y)=x+y\) en la región dada por las inecuaciones:

\begin{align*}
150x+150y&\leq 8.000 \\
200x+150y &\leq 10.000 \\
x+2y &\leq 100 \\
x&\geq 0 \\
y&\geq 0
\end{align*}

El siguiente paso para resolver este problema es escribir las inecuaciones con la variable $y$ despejada obteniendo,

\begin{align*}
y&\leq \dfrac{8.000-150x}{150} \\
y &\leq \dfrac{10.000-200x}{150} \\
y&\leq \dfrac{100-x}{2} \\
x&\geq 0 \\
y&\geq 0
\end{align*}

Esto nos ayudará a obtener la región factible pero antes debemos representar las rectas que se obtienen al sustituir las desigualdades anteriores por igualdades, es decir

\begin{align*}
y&= \dfrac{8.000-150x}{150} \\
y &=\dfrac{10.000-200x}{150} \\
y&= \dfrac{100-x}{2} \\
x&= 0 \\
y&= 0
\end{align*}

Representando dichas rectas mediante el uso de tablas de valores se obtiene:

A continuación tenemos que usar las inecuaciones planteadas al principio para obtener la región factible. En este caso se tiene,

A continuación tenemos que calcular los vértices pues sabemos que en los vértices de la región factible se alcanzan los máximos y mínimos de la función. Asignaremos un vértice a cada una de la intersección de dos rectas y a continuación calcularemos las coordenadas de dichos vértices. En este caso los vértices vienen representados por,

En los ejercicios de programación lineal, cada vértice es intersección de dos rectas luego el vértice \(A\) se calcula como intersección de las rectas \(x=0\) e \(y=0\). Resolvemos entonces el sistema,

Por tanto las coordenadas del vértice \(A\) son \(A=(0,0)\).

El vértice \(B\) se calcula como intersección de las rectas,

\begin{align*}
y&=\dfrac{100-x}{2} \\
x&=0
\end{align*}

Resolviendo el sistema se obtiene que \(B=(0,50)\).

El vértice \(C\) se calcula por ejemplo como intersección de,

\begin{align*}
y&=\dfrac{8000-100x}{150} \\
y&=\dfrac{100-x}{2}
\end{align*}

Resolviendo el sistema se obtiene que \(C=(20,40)\)

Por último el vértice \(D\) se calcula como intersección de,

\begin{align*}
y&=\dfrac{10000-200x}{150} \\
y&=0
\end{align*}

Obteniendo que \(D=(50,0)\).

Queremos calcular el máximo de la función \(F(x,y)=x+y\).

Se sabe que el máximo de una función en un recinto siempre se alcanza en los vértices de dicho recinto. Por tanto sólo tenemos que evaluar la función \(F(x,y)\) en los vértices. Aquel vértice que nos proporcione el valor más alto será el máximo.

Así,

\begin{align*}
F(A)&=F(0,0)=0+0=02 \\
F(B)&=F(0,50)=0+50=50 \\
F(C)&=F(20,40)=20+40=60 \\
F(D)&=F(50,0)=50+0=50
\end{align*}

Vemos que el valor más alto se alcanza en el vértice \(C\) por lo que decimos que el máximo se alcanza en \(C=(20,40)\) y su valor es \(F(C)=60\).

Por tanto se deben fabricar un total de 20 tarrinas de tipo A y 40 tarrinas de tipo B para obtener un total de ventas de 60 tarrinas.

Si tienes dudas con la teoría o los ejercicios sobre programación lineal o cualquier problema en matemáticas o estadística puedes contactar conmigo.

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