Examen de matemáticas II Selectividad Septiembre 2020 resuelto.

Por Carlos Martínez
examen matematicas ii selectividad andalucia septiembre 2020

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de esta entrada de mi blog encontrarás el examen de matemáticas selectividad 2020 resuelto paso a paso. En concreto aquí resolvemos el examen de matemáticas II selectividad 2020 en Andalucía.

Si quieres ver más exámenes de matemáticas de selectividad resueltos paso a paso puedes visitar mi página de exámenes de selectividad resueltos.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Considera la función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=e^x(x^2-5x+6)\). Determina los intervalos de concavidad y convexidad de \(f\) y los puntos de inflexión de su gráfica.

Para resolver este ejercicio del examen de matemáticas II selectividad 2020 comenzamos imponiendo que los puntos de inflexión se obtienen igualando la segunda derivada a 0. Posteriormente estudiaremos el signo de la segunda derivada en los intervalos que definen los puntos de inflexión y estudiaremos su concavidad y convexidad.

Calculamos la primera derivada de \(f\) utilizando la derivada de un producto y las reglas de derivación para funciones exponenciales y polinomios.

$$
f'(x)=e^x(x^2-5x+6)+(2x-5)e^x=e^x(x^2-3x+1)
$$

Calculamos las segunda derivada de derivando otra vez,

$$
f^″(x)=e^x(x^2-3x+1)+(2x-3)e^x=e^x(x^2-x-2)
$$

Igualamos la segunda derivada a 0 obteniendo,

$$f^″(x)=0\Leftrightarrow e^x(x^2-x-2)=0 \Leftrightarrow x^2-x-2=0$$

Donde hemos usado que \(e^x\neq 0 \, \forall x\in\mathbb{R}\)

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene,

$$
x=-1 \qquad x=2
$$

Estos puntos definen los intervalos \( (-\infty,-1)\), \((-1,2)\) y \((2,\infty)\). Estudiando el signo de la segunda derivada en ellos se tiene,

  • En \( (-\infty,-1), \, f^″(x)>0 \Rightarrow f(x)\) es convexa
  • En \((-1,2), \, f^″(x)<0 \Rightarrow f(x)\) es cóncava
  • En \((2,\infty), \, f^″(x) >0 \Rightarrow f(x)\) es convexa

Por tanto en las coordenadas \(x=-1\) y \(x=2\) existen puntos de inflexión. Calculando su imagen se tiene,

\begin{align}
f(-1)&=e^{-1}((-1)^2-5(-1)+6)=\dfrac{12}{e}\\
f(2)&=e^2(2^2-5\cdot 2+6)=0
\end{align}

Así los puntos de inflexión están dados por los pares de coordenadas

$$
\left( -1,\dfrac{12}{e}\right) \quad \text{y} \quad (2,0)
$$

Para finalizar este ejercicio del examen de matemáticas selectividad 2020 os dejo una representación de la función para que veáis que el estudio con las derivadas es acertado.

Ejercicio concavidad y convexidad selectividad 2020

Ejercicio 2. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Calcula \( \displaystyle\int_0^\pi x\cdot \sin^2(x)dx\)

Existen diferentes formas de resolver este ejercicio del examen de matemáticas de selectividad. En esta ocasión utilizaremos una igualdad trigonométrica y la técnica de integración por partes.

Para comenzar utilizaremos que,
$$
\sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}
$$

Por tanto la integral original se puede expresar como,

\begin{align}
\int_0^\pi x\cdot \sin^2(x)dx=\int_0^\pi x\cdot \dfrac{1-\cos(2x)}{2}dx&=\dfrac{1}{2}\int_0^\pi x\,dx-\dfrac{1}{2}\int_0^\pi x\cdot \cos(2x)dx \\ \\
&=\left[\dfrac{x^2}{4} \right]_0^\pi-\dfrac{1}{2}\int_0^\pi x\cdot \cos(2x)dx
\end{align}

Calculamos entonces la integral \(\displaystyle\int_0^\pi x\cdot \cos(2x)dx\) mediante la técnica de integración por partes.
\begin{matrix}
u=x & du=dx \\
dv=\cos(2x) & v=\dfrac{\sin(2x)}{2}
\end{matrix}

Obteniendo en esta ocasión,

\begin{align}
\int_0^\pi x\cdot \cos(2x)dx&=\left[\dfrac{x\cdot\sin(2x)}{2} \right]_0^\pi-\int_0^\pi\dfrac{\sin(2x)}{2}dx=\left[\dfrac{x\cdot\sin(2x)}{2} \right]_0^\pi+\left[\dfrac{\cos(2x)}{4} \right]_0^\pi \\ \\
&=\left(\dfrac{\pi\cdot\sin(2\pi)}{2} \right)-\left(\dfrac{0\cdot\sin(0)}{2} \right)+\left(\dfrac{cos(2\pi)}{4} \right)-\left(\dfrac{cos(0)}{4} \right) \\ \\
&=0-0+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0
\end{align}

Así, volviendo a la expresión que teníamos anteriormente obtenemos,

$$
\int_0^\pi x\cdot \sin^2(x)dx=\left[\dfrac{x^2}{4} \right]_0^\pi-\dfrac{1}{2}\int_0^\pi x\cdot \cos(2x)dx=\dfrac{\pi^2}{4}
$$

Ejercicio 3. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Considera el sistema de ecuaciones dado por \(AX=B\) siendo

$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
m & 4 & -2 \\
0 & m+2 & -3
\end{pmatrix}
\quad , \quad
X=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\quad \text{y} \quad
B=
\begin{pmatrix}
2 \\
2m \\
1
\end{pmatrix}
$$

a) Discute el sistema según los valores de \(m\)

Para resolver este ejercicio del examen de matemáticas II selectividad de 2020 comenzamos escribiendo la matriz ampliada del sistema,

$$
A^*=
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 1 & 2 \\
m & 4 & -2 & 2m \\
0 & m+2 & -3 & 1 \\
\end{array} \right)
$$

calculando el determinante de la matriz de coeficientes para igualarlo a \(0\) y poder discutir su rango.

$$
|A|=
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 1 \\
m & 4 & -2 \\
0 & m+2 & -3
\end{vmatrix}
=-12+m^2+2m-6m+2m+4=m^2-2m-8
$$

Igualando a cero el determinante obtenemos,

$$
|A|=0\Leftrightarrow m^2-2m-8= 0
$$

Obteniendo como soluciones \(m=4\) y \(m=-2\).

En este momento ya podemos afirmar que si \(m\neq 4\) y \(m\neq -2\) entonces el determinante de \(A\) es distinto de \(0\) y existe un menor de dimensión 3 de la matriz ampliada cuyo determinante es distinto de cero. Así, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius se tendría que,

$$
rg(A)=rg(A^*)=3\Rightarrow \, \text{Sistema compatible determinado}
$$

Estudiamos ahora el rango de la matriz \(A\) y la matriz \(A^*\) para \(m=4\)

Comenzamos estudiando el rango de la matriz \(A\). Es claro que para \(m=4\), \(|A|=0\) y por tanto el rango es menor que tres. Buscamos un menor de orden 2 en la matriz \(A\) cuyo determinante sea distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix}
1 & -2\\
4 & 4
\end{vmatrix}
=12\neq 0\Rightarrow \, rg(A)=2
$$

Para la matriz ampliada comenzamos buscando un menor de orden tres cuyo determinante sea distinto de cero.

$$
A^*=
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 1 & 2 \\
4 & 4 & -2 & 8 \\
0 & 4 & -3 & 1 \\
\end{array} \right)
\Rightarrow \, rg(A^*)=3 \, \text{, dado que }
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 2 \\
4 & 4 & 8 \\
0 & 4 & 1
\end{vmatrix}
\neq 0
$$

Aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius obtenemos,

$$
2=rg(A)\neq rg(A^*)=3\Rightarrow \,\text{Sistema incompatible}
$$

Para finalizar este ejercicio, estudiamos los rangos cuando \(m=-2\)

En este caso, si \(m=-2\), \(|A|=0\) y por tanto el rango es menor que tres. Buscamos un menor de orden 2 en la matriz \(A\) cuyo determinante sea distinto de cero para confirmar que el rango es 2.

$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 4 & -2 \\
0 & 0 & -3
\end{pmatrix}
\Rightarrow rg(A)=2\, \text{, dado que }
\begin{vmatrix}
4 & -2\\
0 & -3
\end{vmatrix}
=-12\neq 0
$$

Estudiamos el rango de la matriz ampliada para \(m=-2\)

$$
A^*=
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 1 & 2 \\
-2 & 4 & -2 & -4 \\
0 & 0 & -3 & 1 \\
\end{array} \right)
$$

Todos los menores de orden 3 tienen determinante igual a 0 por lo que \(rg(A^*)<3\). Buscamos un menor de orden dos con determinante distinto de 0 obteniendo,

$$
\begin{vmatrix}
4 & -2\\
0 & -3
\end{vmatrix}
=-12\neq 0 \Leftrightarrow rg(A^*)=2
$$

Por el Teorema de Rouché-Frobenius podemos concluir que,

$$
rg(A)=rg(A^*)=2<3=\text{ nº de incógnitas} \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado}
$$

b) Para \(m=-2\), ¿existe alguna solución con z=0? En caso afirmativo calcúlala. En caso negativo, justifica tu respuesta.

Comenzamos este apartado escribiendo el sistema \(AX=B\) sustituyendo el valor \(m=-2\). En este caso se obtiene,

$$
\left.
\begin{matrix}
x-2y+z=2\\
-2x+4y-2z=-4\\
-3z=1
\end{matrix}
\right\}
$$

Como la ecuación primera y segunda son proporcionales, un sistema equivalente es,

$$
\left.
\begin{matrix}
x-2y+z=2\\
-3z=1
\end{matrix}
\right\}
$$

Obteniendo como solución (parametrizada),

$$
\left \{
\begin{align}
x&=2+2t-z=\dfrac{7}{3}+2t\\
y&=t \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t\in\mathbb{R}\\
z&=\dfrac{1}{3}
\end{align}
\right.
$$

Por lo que podemos concluir que no existe ninguna solución con \(z=0\).

Ejercicio 4. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Considera el plano \(\pi\equiv x-y+az=0\) y la recta \(r\equiv \left\{\begin{matrix} 4x-3y+4z=1 \\ 3x-2y+z=0 \end{matrix} \right.\)

a) Halla \(a\) sabiendo que \(\pi\) es paralelo a \(r\)

Para resolver este ejercicio debemos darnos cuenta de lo siguiente, si el plano es paralelo a la recta, entonces el vector normal del plano ha de ser perpendicular al vector director de la recta. Por ello, vamos a calcular ambos vectores e impondremos que son perpendiculares.

El plano está dado en su expresión general por lo que sabemos que su vector normal viene dado por

$$
\overrightarrow{n_\pi}=(1,-1,a)
$$

Por otra parte vemos que la recta está generada como intersección de dos planos, por tanto sabemos que el vector director de esa recta será perpendicular a los vectores normales de los planos que la forman. Por ello necesitamos un vector que sea perpendicular a \((4,-3,4) \) y \((3,-2,1) \) al mismo tiempo. Esto lo conseguimos realizando el producto vectorial de esos vectores obteniendo así el vector director de la recta, \(\overrightarrow{v_r}\)

$$
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
4 & -3 & 4 \\
3 & -2 & 1
\end{vmatrix}
=(5,8,1)=\overrightarrow{v_r}
$$

Como el vector normal del plano \(\pi\)es perpendicular al vector director de la recta \(r\) su producto escalar deberá ser nulo.

\begin{align}
\overrightarrow{n_\pi}\cdot\overrightarrow{v_r}=(1,-1,a)\cdot (5,8,1)=0\Leftrightarrow 5-8+a=0\Leftrightarrow a=3
\end{align}

b) Determina el plano perpendicular a \(r\) que pasa por el punto \(P(1,2,3)\)

Como buscamos un plano que sea perpendicular a la recta \(r\) es claro que el vector normal de dicho plano ha de coincidir con el vector director de la recta y solamente tendremos que imponer que el plano pasa por el punto \(P\).

Utilizando la ecuación general de un plano llamamos \(pi_1\) al plano buscado que será de la forma,

$$
\pi_1\equiv 5x+8y+z+D=0
$$

Imponiendo que el plano pasa por el punto \(P\) obtenemos,

$$
5\cdot 1+8\cdot 2 +3+D=0\Leftrightarrow D=-24
$$

Así, la expresión del plano buscado es,

$$
\pi_1\equiv 5x+8y+z-24=0
$$

Ejercicio 5. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Sea la función derivable \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) definida por

$$
f(x)=
\left \{
\begin{matrix}
e^{2ax-4b}&\text{si} &x<1 \\
1-x\ln(x) & \text{si} & x \geq 1
\end{matrix}
\right.
$$

(ln denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los valores de \(a\) y \(b\)

Para resolver este problema de continuidad y derivabilidad de funciones a trozos es necesario darse cuenta que en el enunciado nos dicen que la función es derivable en todo su dominio. Si la función es derivable en todo su domino ha de ser continua también en los mismos puntos.

De la derivabilidad y la continuidad en los intervalos abiertos \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) no se desprende ninguna condición sobre los parámetros por lo que tenemos que imponer que \(f\) es continua y derivable en el punto de ruptura \(x=1\)

Comenzamos aplicando la definición de continuidad, como \(f\) es continua en \(x=1\) se ha de verificar que,

$$
\lim_{x\longrightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 1^+}f(x)=f(1)
$$

Calculamos los límites, la imagen del punto e igualamos para imponer la condición,

\begin{align}
\lim_{x\longrightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 1}e^{2ax-4b}=e^{2a-4b} \\
\lim_{x\longrightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 1}1-x\ln(x)=1 \\
f(1)=1-1\cdot \ln(1)=1
\end{align}

Igualando se tiene,

$$
e^{2a-4b}=1 \Leftrightarrow 2a-4b=0 \Leftrightarrow a=2b
$$

Como la función es derivable en todo su dominio podemos calcular la expresión de su derivada,

$$
f'(x)=
\left \{
\begin{matrix}
2a\cdot e^{2ax-4b}&\text{si} &x<1 \\
-\ln(x)-1 & \text{si} & x \geq 1
\end{matrix}
\right.
$$

Como \(f\) es derivable en \(x=1\) se ha de verificar,

$$
\lim_{x\longrightarrow 1^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 1^+}f'(x)
$$

Calculando los límites tenemos,

\begin{align}
&\lim_{x\longrightarrow 1^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 1}2a\cdot e^{2ax-4b}=2a\cdot e^{2a-4b} \\
&\lim_{x\longrightarrow 1^+}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 1}-\ln(x)-1=-1
\end{align}

Por tanto, se ha de verificar que,

$$
2a\cdot e^{2a-4b}=-1
$$

Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas finalizamos este apartado obteniendo los valores de \(a\) y \(b\),

$$
\left \{
\begin{matrix}
a=2b \\
2a\cdot e^{2a-4b}=-1
\end{matrix}
\right.
\Rightarrow 4b\cdot e^0=-1 \Rightarrow b=-\dfrac{1}{4}
$$

Sustituyendo el valor de \(b\) obtenemos \(a=-\dfrac{1}{2}\)

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=2\)

Sabemos que la expresión de la recta tangente en el punto \(x=2\) viene dada por,

$$
y-f(2)=f'(2)(x-2)
$$

Calculamos los valores necesarios,

\begin{align}
f(2)=1-2\ln(2) \\
f'(2)=-1-\ln(2)
\end{align}

Sustituyendo obtenemos,

\begin{align}
y-(1-2\ln(2))=-1-\ln(2)(x-2)&\Leftrightarrow y-1+2\ln(2)=-x+2-\ln(2)x+2\ln(2) \\
&\Leftrightarrow y=(-1-\ln(2))x+3
\end{align}


Ejercicio 6. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Considera las funciones \(f,g:\, \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=|x|\) y \(g(x)=x^2-2\)

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas \(f\) y \(g\). Esboza el recinto que determinan.

Comenzamos calculando los puntos de corte de las gráficas. Para ello es necesario expresar la función valor absoluto como una función definida a trozos,

$$
f(x)=|x|=
\left\{
\begin{matrix}
x & \text{si} & x\geq 0\\
-x & \text{si} & x<0
\end{matrix}
\right.
$$

A continuación igualamos las funciones \(f\) y \(g\)

Para los \(x\geq 0\),

$$
f(x)=g(x)\Leftrightarrow x=x^2-2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=-1 \, \text{y} \, x=2
$$

Donde solo obtenemos como válida la solución \(x=2\).

Para los \(x<0\)

$$
f(x)=g(x)\Leftrightarrow -x=x^2-2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=1 \, \text{y} \, x=-2
$$

Donde solo obtenemos como válida la solución \(x=-2\).

Sin más que sustituir las coordenadas \(x=2\) y \(x=-2\) en \(f\) o \(g\) obtenemos los puntos,

$$
(2,2) \quad \text{y} \quad (-2,2)
$$

Para realizar un esbozo del recinto deberemos representar ambas funciones. La función \(f\) se representa fácilmente con dos rectas en el primer y segundo cuadrante.

Por otra parte la función \(g\) es una parábola, para representarla calculamos su vértice y sus puntos de corte obteniendo como vértice el punto \(V=(0,-2)\) y como puntos de corte los puntos,

$$
(-\sqrt{2},0)\quad \text{y} \quad (\sqrt{2},0)
$$

recinto integrales selectividad 2020

b) Determina el área del recinto anterior.

A la vista de la representación, una primera idea para calcular el área del recinto podría ser calcular dos integrales y realizar su suma. En este caso, si nos fijamos tenemos un recinto simétrico por lo que el área se puede calcular como

$$
A=2\cdot \int_0^2f(x)-g(x)dx
$$

Sustituyendo las expresiones de las funciones tenemos,

\begin{align}
A&=2\cdot \int_0^2 x-(x^2-2)dx=2\cdot \int_0^2 -x^2+x+2dx \\ &=2\cdot \left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x \right]_0^2=2\cdot \left( -\dfrac{8}{3}+2+4\right)=\dfrac{20}{3} \, u^2
\end{align}

Ejercicio 7. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Considera \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 2 \\ 0 & 1& 1\end{pmatrix}\) y \(X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)

a) Halla los valores de \(\lambda\) tales que \(|A-\lambda I|=0\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

Calculamos inicialmente la matriz \(A-\lambda I=\begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 2 \\ 0 & 1& 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}  \lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0& \lambda \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  1-\lambda & 2 & 3 \\0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1& 1-\lambda \end{pmatrix}\)

A continuación calculamos su determinante y lo igualamos a 0.

$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & 2 & 3 \\0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1& 1-\lambda
\end{vmatrix}
=-\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2=0
$$

Resolviendo la ecuación de grado tres por el método de Ruffini obtenemos,

$$
\lambda=1 \, , \, \lambda =-1 \, , \, \lambda=2
$$

b) Para \(\lambda=1\) resuelve el sistema dado por \((A-\lambda I)X=0\). ¿Existe alguna solución tal que \(z=1?\). En caso afirmativo calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Sustituyendo el valor \(\lambda=1\) obtenemos el sistema en forma matricial,

$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 3 \\0 & -1 & 2 \\ 0 & 1& 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

Lo expresamos como un sistema de ecuaciones obteniendo,

$$
\begin{align}
2y+3z&=0 \\
-y+2z&=0 \\
y&=0
\end{align}
$$

Resolviendo obtenemos,

$$
y= 0 \, , \, z=0
$$

Por tanto, no hay ninguna solución con \(z=1\).

Ejercicio 8. Examen de matemáticas II selectividad septiembre 2020

Considera el plano \(\pi\equiv x-y+z=2\) y la recta \(r=\displaystyle\dfrac{x}{2}=\displaystyle\dfrac{y+1}{1}=\displaystyle\dfrac{z+2}{-1}\)

a) Calcula la distancia entre \(r\) y \(\pi\)

Comprobamos en primer lugar que el plano y la recta son paralelos ya que en caso contrario la recta cortaría al plano y la distancia entre ambos sería nula. Para ello podemos comprobar simplemente que el vector normal del plano es perpendicular al vector director de la recta.

distancia recta y plano examen de matematicas ii selectividad 2020

Dado que el plano viene dado en su ecuación general el vector normal es \(\overrightarrow{n_\pi}=(1,-1,1)\). Por otra parte tenemos la recta expresada en su ecuación continua por lo que su vector director es \(\overrightarrow{v_r}=(2,1,-1)\).

Así su producto escalar es igual a,

$$
\overrightarrow{n_\pi}\cdot \overrightarrow{v_r}=(1,-1,1)\cdot (2,1,-1)=2-1-1=0
$$

Como el producto escalar es nulo tenemos que ambos vectores son perpendiculares y por tanto el plano y la recta son paralelos. 

Finalmente podemos utilizar la fórmula para calcula la distancia entre una recta y un plano obteniendo,

$$
dist(\pi,r)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\dfrac{|1\cdot 0-1(-1)+1\cdot (-2)-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
$$

b) Halla la ecuación general del plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\).

En esta ocasión tenemos que garantizar que el nuevo plano sea perpendicular al plano \(\pi\). Por ello, el vector director de la recta \(r\) y el vector normal de \(\pi\) serán los vectores directores del nuevo plano. Además como para calcular un plano necesitamos dos vectores y un punto, imponemos que el nuevo plano contiene a la recta \(r\) por lo que debe contener al punto \(P=(0,-1,-2)\).

Así, podemos calcular la ecuación general del nuevo plano como,

$$
\begin{vmatrix}
x & y+1 & z+2 \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -1
\end{vmatrix}
=0\Leftrightarrow (x+z+2+2y+2)-(-2z-4+x-y-1)=0\Leftrightarrow 3y+3z+9=0
$$

Simplificando, obtenemos que el plano buscado es

$$
\pi_1=y+z+3=0
$$


Esta es una resolución personal de todos los ejercicios del examen de matemáticas II de la convocatoria de selectividad de Julio de 2020 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.


Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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