Identidades trigonométricas | Ejercicios resueltos

©2021 Carlos Martínez Martínez

A continuación encontrarás un resumen con todas las identidades trigonométricas y todas las fórmulas de trigonometría que necesitas para hacer tus ejercicios y exámenes de trigonometría de primero de bachillerato.

Identidades trigonométricas fundamentales

Sin duda esta es la fórmula de trigonometría más importante que debes recordar,

\begin{align}
&\text{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \\ \\
&\text{sec}^2(\alpha)=1+\text{tg}^2(\alpha) \\ \\
&\text{cosec}^2(\alpha)=1+\text{cotg}^2(\alpha)
\end{align}

Identidades trigonométricas de la suma de dos ángulos

\begin{align}
\text{sen}(\alpha+\beta)&=\text{sen}(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\text{sen}(\beta) \\ \\
\cos(\alpha+\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\text{sen}(\alpha)\text{sen}(\beta) \\ \\
\text{tg}(\alpha+\beta)&=\dfrac{\text{tan}(\alpha)+\text{tan}(\beta)}{1-\text{tan}(\alpha)\text{tan}(\beta)}
\end{align}

Identidades trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

\begin{align}
\text{sen}(\alpha-\beta)&=\text{sen}(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\text{sen}(\beta) \\ \\
\cos(\alpha-\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\text{sen}(\alpha)\text{sen}(\beta) \\ \\
\text{tg}(\alpha-\beta)&=\dfrac{\text{tan}(\alpha)-\text{tan}(\beta)}{1+\text{tan}(\alpha)\text{tan}(\beta)}
\end{align}

Identidades trigonométricas del ángulo doble | Fórmula del ángulo doble

\begin{align}
\text{sen}(2\alpha)&=2\text{sen}(\alpha)\cos(\alpha) \\ \\
\cos(2\alpha)&=\cos^2(\alpha)-\text{sen}^2(\alpha) \\ \\
\text{tg}(2\alpha)&=\dfrac{2\text{tg}(\alpha)}{1-\text{tg}^2(\alpha)}
\end{align}

Identidades trigonométricas del ángulo mitad | Fórmula del ángulo mitad

\begin{align}
\text{sen}\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)& =\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}} \\ \\
\cos\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)& =\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}} \\ \\
\text{tg}\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)&=\dfrac{1-\cos(\alpha)}{\text{sen}(\alpha)}
\end{align}

Transformación de suma a producto

\begin{align}
\text{sen}(\alpha)+\text{sen}(\beta)&=2\text{sen}\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ \\
\text{sen}(\alpha)-\text{sen}(\beta)&=2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)\text{sen}\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ \\
\cos(\alpha)+\cos(\beta)&=2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ \\
\cos(\alpha)-\cos(\beta)&=-2\text{sen}\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)\text{sen}\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right)
\end{align}

Transformación de producto a suma

\begin{align}
\text{sen}(\alpha)\text{sen}(\beta)&=\dfrac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2} \\ \\
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=\dfrac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \\
\text{sen}(\alpha)\cos(\beta)&=\dfrac{\text{sen}(\alpha+\beta)+\text{sen}(\alpha-\beta)}{2} \\ \\
\cos(\alpha)\text{sen}(\beta)&=\dfrac{\text{sen}(\alpha+\beta)-\text{sen}(\alpha-\beta)}{2}
\end{align}

Teorema del seno

En un triángulo de vértices \(ABC\) con lados opuestos a cada vértice \(a\), \(b\) y \(c\), se verifica,

$$
\dfrac{a}{\text{sen}(A)}=\dfrac{b}{\text{sen}(B)}=\dfrac{c}{\text{sen}(C)}
$$

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera con lados \(a\), \(b\) y \(c\) con ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\), se verifica

\begin{align}
a^2&=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cos(\alpha) \\ \\
b^2&=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c \cos(\beta)\\ \\
c^2&=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cos(\gamma)
\end{align}

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