Examen de Matemáticas CC.SS Selectividad (Pevau) Septiembre 2020 resuelto

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post podrás encontrar el examen de Matemáticas CC.SS de la prueba de Selectividad (Pevau) de Septiembre 2020 resuelto paso a paso.

Para la realización de este examen era necesario realizar cuatro ejercicios de los ocho propuestos elegidos de al menos tres bloques distintos.
A continuación, podrás ver como se resuelve cada uno de los ejercicios del examen de Matemáticas CC.SS de la prueba de Selectividad (Pevau) de la convocatoria de Septiembre 2020.

Puedes encontrar más exámenes de Matemáticas CC.SS o Matemáticas II de otras pruebas de selectividad en Andalucía resueltos aquí.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación; individual, doble y triple. La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65 euros, doble a 85 euros y triple a 104 euros. La Segunda agencia oferta la individual a 78 euros, la doble a 83 euros y la triple a 106 euros. El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

a) Exprese, mediante una matriz \(A\) los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz D la demanda de los tres institutos.

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS organizamos la matriz de la siguiente manera, en cada columna encontraremos los precios de cada agencia mientras que las filas harán referencia a los precios según el tipo de habitación. Así el resultado obtenido es,

$$
A=
\begin{pmatrix}
65 & 75 \\
85 & 83 \\
104 & 106
\end{pmatrix}
$$

Por otra parte, en la matriz \(D\) por columnas se tiene el tipo de habitación mientra que en las filas el instituto correspondiente,
$$
D=
\begin{pmatrix}
3 & 15 & 2 \\
2 & 12 & 5 \\
1 & 16 & 7
\end{pmatrix}
$$

b) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?

Para la resolución de este apartado del exámen de matemáticas CC.SS simplemente tenemos que multiplicar la matriz de demanda por la matriz de precios \(A\) obteniendo así,

$$
\begin{pmatrix}
3 & 15 & 2 \\
2 & 12 & 5 \\
1 & 16 & 7
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
65 & 75 \\
85 & 83 \\
104 & 106
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1678 & 1691 \\
1670 & 1682 \\
2153 & 2148
\end{pmatrix}
$$

En la matriz obtenida se pueden observar por filas el precio de que tiene cada instituto según las dos agencias (columnas). De este modo es sencillo observar que al instituto uno le conviene elegir la agencia 1 (1678€) frente a la agencia 2 (1691€), el instituto 2 debe elegir también la agencia 1 (1670€) frente a la agencia 2 (1682€) y finalmente el instituto 3 debe elegir la agencia 2 (2148€) frente a la agencia 1 (2153€).

c) Existe la matriz inversa de la matriz D?¿Y de la matriz A? Justifique sus respuestas.

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS tenemos que tener en cuenta lo siguiente: para que una matriz cualquiera tenga inversa se han de verificar dos condiciones, en primer lugar es necesario que la matriz sea cuadrada y en segundo lugar su determinante ha de ser distinto de 0.

Si atendemos a las dimensiones de las matrices, es claro que la matriz \(A\) no posee inversa al no ser una matriz cuadrada. Para la matriz \(D\), como es cuadrada, solo es necesario calcular su determinante,

$$
|D|=
\begin{vmatrix}
3 & 15 & 2 \\
2 & 12 & 5 \\
1 & 16 & 7
\end{vmatrix}
=(252+75+64)-(24+240+210)=-83
$$

Como \(|D|\neq 0\) concluimos que existe la matriz inversa de la matriz \(D\)

Ejercicio 2. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

a) Represente la región factible definida por las siguientes inecuaciones y calcule los vértices.

$$
x+2y\leq 13 \qquad x-y\leq 4 \qquad x-2y\geq -7 \qquad x+y\geq 5
$$

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS debemos tener en cuenta que para representar la región factible es más sencillo si representamos las siguientes rectas (despejando la variable en las desigualdades),

$$
y=\dfrac{13-x}{2} \qquad y=x-4 \qquad y=\dfrac{x+7}{2} \qquad y=5-x
$$

Considerando además la información proporcionada por las desigualdades, la región factible viene dada por,

Los vértices de la región factible se obtienen como intersección de cada par de rectas,

De este modo, el vértice A se calcula resolviendo el sistema formado por las rectas,

$$
\left\{ \begin{align}
y=x-4 \\
y=5-x
\end{align} \right.
$$

Obteniendo, \(A=\left(\dfrac{9}{2},{1}{2}\right)\).

El vértice \(B\) se obtiene resolviendo el sistema,

$$
\left\{ \begin{align}
y=\dfrac{x+7}{2} \\
y=5-x
\end{align} \right.
$$

Obteniendo, \(B=(1,4)\)

El vértice \(C\) se obtiene al resolver el sistema,

$$
\left\{ \begin{align}
y=\dfrac{x+7}{2} \\
y=\dfrac{13-x}{2}
\end{align} \right.
$$

Obteniendo, \(C=(3,5)\)

Finalmente, el vértice \(D\) se obtiene resolviendo,

$$
\left\{ \begin{align}
y=x-4 \\
y=\dfrac{13-x}{2}
\end{align} \right.
$$

Obteniendo, \(D=(7,3)\)

b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo $\text{◂=▸}F⁡(x,y)=x+y$ en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS tenemos que tener en cuenta que para calcular los valores máximo y mínimo de la función objetivo simplemente tenemos que evaluar la función en los vértices anteriores.

\begin{align}
F(A)&=F\left(\dfrac{9}{2},{1}{2}\right)=5 \\
F(B)&=F(1,4)=5 \\
F(C)&=F(3,5)=8 \\
F(D)&=F(7,3)=10
\end{align}

A partir de los datos obtenidos podemos concluir que el máximo de la función objetivo se alcanza en el vértice \(D=(7,3)\) y su valor es 10 mientras que el mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento \(\overline{AB}\) y vale 5 o de manera equivalente el mínimo se encuentra en los puntos de frontera de la forma,

$$
\left \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2: x+y=5 ,1\leq x \leq \dfrac{9}{2} \right\}
$$

Ejercicio 3. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

Se considera la función \(f(x)=\left\{\begin{align} 2+\dfrac{a}{x-1} \quad \text{si}\quad x<0 \\a+be^x \quad \text{si}\quad x\geq 0 \end{align} \right.\)

a) Calcula los valores de y de para que la función sea continua y derivable en su dominio

Comenzamos este apartado del examen de matemáticas CC.SS de selectividad observando que la función es continua y derivable en los intervalos abiertos $\text{◂+▸}(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ independientemente del valor de y por ser composición de funciones continuas y derivables. Por tanto, el único punto donde se ha de imponer que la función es continua y derivable es en el punto de ruptura

Comenzamos aplicando la definición de continuidad en un punto,

\(f\) es continua en \(x=0\Leftrightarrow\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=f(0)\)

\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2+\dfrac{a}{x-1}=2-a \\ \\
&\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}a+be^x=a+b \\ \\
&f(0)=a+be^0=a+b
\end{align}

Para que se cumpla la condición de continuidad se ha de verificar que,

$$
2-a=a+b\Leftrightarrow 2a+b=2
$$

Como la función es derivable en los abiertos podemos calcular la derivada de \(f(x)\) obteniendo,

$$
f'(x)=
\left\{ \begin{matrix}
-\dfrac{a}{(x-1)^2} \quad si \quad x<0 \\
be^x \quad si \quad x \geq 0
\end{matrix} \right.
$$

Sabemos que la función es derivable en el punto \(x=0\) luego se ha de cumplir que,

$$
\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)
$$

Por tanto

\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}-\dfrac{a}{(x-1)^2} =-a\\ \\
&\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}be^x=b
\end{align}

De donde se obtiene que \(-a=b\). Así considerando las dos condiciones obtenidas solo hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones,

$$
\left \{
\begin{matrix}
2a+b=2\\
-a=b
\end{matrix}\right.
$$

Obteniendo como solución \(a=2\) y \(b=-2\).

b) Para \(a=2\) y \(b=-2\) estudie la monotonía de la función \(f\) y calcule sus extremos relativos.

Para estudiar la monotonía de la función vamos a hacer uso de la derivada calculada en el apartado anterior sustituyendo los valores de \(a\) y \(b\). Así, la derivada \(f'(x)\) viene dada por,

$$
f'(x)=
\left\{ \begin{matrix}
-\dfrac{2}{(x-1)^2} \quad si \quad x<0 \\
-2e^x \quad si \quad x \geq 0
\end{matrix} \right.
$$

Buscamos los extremos relativos para estudiar la monotonía imponiendo la condición \(f'(x)=0\).

Por una parte tendríamos,

$$
f'(x)=0\Leftrightarrow -\dfrac{2}{(x-1)^2}\Leftrightarrow 2=0
$$

Como obtenemos una contradicción no se obtienen puntos críticos de la primera parte de la definición de la función. Por otro lado, se tendría,

$$
f'(x)=0\Leftrightarrow -2e^x=0
$$

Pero \(e^x\neq 0\quad \forall x\in \mathbb{R}\). Por tanto tampoco se obtienen puntos criticos de esta parte de la función. De este modo solo podemos estudiar el signo de la derivada en los intervalos \((-\infty, 0)\) y \((0,+\infty)\).

• En \((-\infty, 0)\quad f'(x)<0\Rightarrow \) f es estrictamente decreciente
• En \((0,+\infty) \quad f'(x)<0\Rightarrow \) f es estrictamente decreciente

De este modo podemos afirmar que la función no tiene extremos en su dominio ya que siempre es estrictamente decreciente.

c) Para \(a=2\) y \(b=-2\), determine las ecuaciones de las asíntotas de \(f\), si existen.

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS de selectividad comenzamos estudiando las asíntotas verticales de la función. Por ser una función continua en todo su dominio podemos afirmar que no existen asíntotas verticales.

Para el estudio de las asíntotas horizontales calculamos los límites en \(\pm \infty\)

$$
\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}2+\dfrac{2}{x-1}=2
$$

Luego existe una asíntota horizontal por la izquierda en \(y=2\).

$$
\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}2-2e^x=-\infty
$$

Por lo que no existe asíntota horizontal por la derecha.

Pasamos finalmente a estudiar las asíntotas oblícuas. En primer lugar, como la función tiene asíntota horizontal por la izquierda concluimos que no existe asíntota oblicua en el intervalo \((-\infty,0)\).

Veamos si existe asíntota oblicua en el intervalor \((0,+\infty)\).

Buscamos una asíntota de la forma \(y=mx+n\),

$$
m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2-2e^x}{x}=-\infty
$$

Donde hemos usado que la exponencial tiende a infinito según la escala de límites mucho más rápido que la potencia del denominador. Así, podemos concluir que no existen asíntotas oblícuas de la función.

Ejercicio 4. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

Sea la función \(f(x)=\left\{\begin{align} -x+2 \quad &\text{si} \quad x\leq 2 \\ -x^2+6x-8 \quad &\text{si} \quad 2<x\leq 4 \\ \dfrac{x-3}{x} \quad &\text{si} \quad x\geq 4 \end{align} \right.\)

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de \(f\) en su dominio.

Para la resolución de este ejercicio del examen de matemáticas CC.SS de selectividad comenzamos estudiando la continuidad de la función en intervalos.

• En \( (-\infty,2)\), \(f\) es continua por ser un polinomio de grado 1 (una recta)
• En \( (2,4)\), \(f\) es continua por ser un polinomio de grado 2 (una parábola)
• En \((4,+\infty)\), \(f\) es continua por ser un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula en ese intervalo.

Podemos estudiar entonces la continuidad en puntos. Comenzamos con el punto \(x=2\) y la definición de continuidad en un punto.

\(f\) es continua en \(x=2\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=f(2)\)

Calculando esos límites obtenemos,

\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}-x+2=0 \\ \\
&\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}-x^2+6x-8=0 \\ \\
&f(2)=-2+2=0
\end{align}

Como se cumple la condición de continuidad en un punto podemos afirmar que \(f\) es continua en \(x=2\).

Continuamos estudiando la continuidad en el siguiente punto de ruptura \(x=4\) aplicando nuevamente la definición de continuidad en un punto.

\(f\) es continua en \(x=4\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4^+}f(x)=f(4)\)

Calculando los valores buscados se tiene,

\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4}-x^2+6x-8=0 \\ \\
&\lim_{x\rightarrow 4^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4}\dfrac{x-3}{x}=\dfrac{1}{4} \\ \\
&f(4)=\dfrac{1}{4}
\end{align}

No se cumple la definición de continuidad en el punto y podemos afirmar que \(f\) no es continua en \(x=4\).

Pasamos a estudiar la derivabilidad de la función. Comenzamos estudiando de manera teórica la derivabilidad en los intervalos abiertos.

• En \( (-\infty,2)\), \(f\) es derivable por ser un polinomio de grado 1 (los polinomios son funciones derivables en todo \(\mathbb{R}\))
• En \( (2,4)\), \(f\) es continua por ser un polinomio de grado 2
• En \((4,+\infty)\), \(f\) es continua por ser un cociente de funciones derivables cuyo denominador no se anula en ese intervalo.

Podemos calcular entonces la expresión de \(f'(x)\) en los puntos en los que sabemos que es derivable.

$$
f'(x)=\left\{
\begin{align}
-1 \quad &\text{si} \quad x< 2\\
-2x+6 \quad &\text{si} \quad 2<x< 4 \\
\dfrac{3}{x^2} \quad &\text{si} \quad x> 4
\end{align}
\right.
$$

Finalmente solo nos falta estudiar la derivabilidad en los puntos donde \(f\) cambia de expresión. En este caso solo hay que estudiar la derivabilidad en el punto \(x=2\) ya que es el único punto donde la función es continua y es importante recordar que si una función no es continua en un punto no puede ser derivable en dicho punto.

Aplicamos la definición de derivabilidad en el punto \(x=2\).

\(f\) es derivable en \(x=2 \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}f'(x)\)

Obteniendo,

\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 2^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 2}-1 =-1\\ \\
&\lim_{x\rightarrow 2^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 2}-2x+6=2
\end{align}

Podemos afirmar que \(f\) no es derivable en \(x=2\).

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \(f\).

Para resolver este apartado del examen de matemáticas CC.SS de selectividad vamos a hacer uso de la derivada de la función calculada en el apartado anterior. Calculamos los puntos donde cambia la monotonía (extremos relativos) de cada intervalo imponiendo \(f'(x)=0\).

Unicamente se puede igualar a \(0\) la expresión central obteniendo,

$$
f'(x)=0\Leftrightarrow -2x+6=0\Leftrightarrow x=3
$$

De este modo tendremos que estudiar el signo de la derivada en los siguientes intervalos,

\begin{array}{| c | c |c|c|c|}\hline
& (-\infty,2) & (2,3) & (3,4) & (4,+\infty) \\ \hline
\text{Signo } f'(x) & – & + & – & + \\ \hline
\text{Función} & \text{Decrece} & \text{Crece} & \text{Decrece} & \text{Crece} \\
\hline\end{array}

Concluimos el ejercicio afirmando que,

• En \((-\infty,2)\cup(3,4)\), \(f\) es estrictamente decreciente.
• En \((2,3)\cup(4,+\infty)\), \(f\) es estrictamente creciente

c) Calcule \(\displaystyle\int_2^3f(x)dx\)

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS es necesario observar que la integral es definida en el intervalo por lo que tenemos que seleccionar la expresión de que contenga a dicho intervalo en su dominio.

\begin{align}
\int_2^3f(x) dx&=\int_2^3-x^2+6x-8 dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{6x^2}{2}-8x \right]_2^3\\ \\
&=\left(-\dfrac{27}{3}+27-24 \right)-\left(-\dfrac{8}{3}+12-16 \right)=\dfrac{2}{3}
\end{align}

Ejercicio 5. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules. Se extrae una bola al azar y se reemplaza por seis bolas de otro color. A continuación, se vuelve a extraer una segunda bola de la urna.

a) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.

Para resolver este apartado del examen de matemáticas CC.SS del examen de selectividad deberemos hacer uso del Teorema de la Probabilidad Total y del diagrama de árbol.

Comenzamos definiendo los sucesos que intervienen en el problema.

R1=’Obtener bola roja en la primera extracción’
A1=’Obtener bola azul en la primera extracción’
R2=’Obtener bola roja en la segunda extracción’
A2=’Obtener bola azul en la segunda extracción’

En base a estas definiciones y las probabilidades dadas en el enunciado obtenemos el siguiente diagrama de árbol,

Nos piden que calculemos la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja. Mediante la utilización del Teorema de la Probabilidad Total se tiene,

$$
P(R2)=P(R1)\cdot P(R2/R1)+P(A1)\cdot P(R2/A1)=\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{5}{15}+\dfrac{4}{10}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{13}{25}
$$

b) Si sabemos que la segunda bola extraída es azul, ¿cuál es la probabilidad de que también lo haya sido la primera?

En esta ocasión es necesario calcular la probabilidad condicionada \(P(A1/A2)\) mediante la utilización del Teorema de Bayes.

$$
P(A1/A2)=\dfrac{P(A1)\cdot P(A2/A1)}{P(A2)}
$$

Tenemos que calcular la probabilidad de extraer bola azul en la segunda extracción (denominador). Para ello podemos usar el Teorema de la Probabilidad Total como en el apartado a) o utilizar sucesos complementarios,

$$
P(A2)=1-P(R2)=1-\dfrac{13}{25}=\dfrac{12}{25}
$$

Así, sustituyendo en la expresión de la probabilidad condicionada dada anteriormente se tiene,

$$
P(A1/A2)=\dfrac{P(A1)\cdot P(A2/A1)}{P(A2)}=\dfrac{\dfrac{4}{10}\cdot \dfrac{3}{15}}{\dfrac{12}{25}}=\dfrac{1}{6}
$$

Ejercicio 6. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

Una empresa fabrica dos tipos de bombillas: una LED y otra halógena. Se sabe que un 5% las LED y u 2% de las halógenas salen defectuosas. Se elige al azar una bombilla de una caja que contienen 40 bombillas LED y 10 halógenas.

a) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa.

Comenzamos definiendo los sucesos asociados al problema,

L= ‘Elegir una bombilla LED’
H= ‘Elegir una bombilla halógena’
D= ‘Obtener una bombilla defectuosa’

El diagrama de árbol con probabilidades asociado es,

En esta ocasión tenemos que calcular \(P(\overline{D})\) mediante la utilización del Teorema de la Probabilidad Total.

$$
P(\overline{D})=P(L)\cdot P(\overline{D}/L)+P(H)\cdot P(\overline{D}/H)=\dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{95}{100}+\dfrac{10}{50}\cdot\dfrac{98}{100}=\dfrac{239}{250}
$$

b) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa.

Para resolver este apartado del examen de matemáticas CC.SS de selectividad tendremos que aplicar, al igual que en el ejercicio anterior, el Teorema de Bayes para calcular \(P(L/D)\)

$$
P(L/D)=\dfrac{P(L)\cdot P(D/L)}{P(D)}
$$

Para calcular \(P(D)\) usamos sucesos complementarios,

$$
P(D)=1-P(\overline{D})=1-\dfrac{239}{250}=\dfrac{11}{250}
$$

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos,

$$
P(L/D)=\dfrac{P(L)\cdot P(D/L)}{P(D)}=\dfrac{\dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{5}{100}}{\dfrac{11}{250}}=\dfrac{10}{11}
$$

Ejercicio 7. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020.

a) Una población de 25.000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15.000, 5.000, 3.000 y 2.000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con ese muestreo y su composición.

Por el enunciado tenemos una población total de \(N=25.000\) personas divididas en cuatro estratos, \(N_1=15.000\), \(N_2=5.000\), \(N_3=3.000\) y \(N_4=2.000\) y sabemos que del tercer estrato se han elegido \(n_3=36\) personas.

Como estamos ante un muestreo aleatorio estratificado se ha de verificar que,

$$
\dfrac{n}{N}=\dfrac{n_1}{N_1}=\dfrac{n_2}{N_2}=\dfrac{n_3}{N_3}=\dfrac{n_4}{N_4}
$$

En particular se tiene que verificar,

$$
\dfrac{n}{25.000}=\dfrac{36}{3.000}\Leftrightarrow n=\dfrac{25.000\cdot 36}{3.000}=300
$$

Obteniendo así un tamaño de muestra de \(n=300\) personas.

Calculamos ahora su composición

\begin{align}
&\dfrac{300}{25.000}=\dfrac{n_1}{15.000}\Leftrightarrow n_1=\dfrac{300\cdot 15.000}{25.000}=180 \\ \\
&\dfrac{300}{25.000}=\dfrac{n_2}{5.000}\Leftrightarrow n_1=\dfrac{300\cdot 5.000}{25.000}=60 \\ \\
&\dfrac{300}{25.000}=\dfrac{n_4}{2.000}\Leftrightarrow n_4=\dfrac{300\cdot 2.000}{25.000}=24 \\ \\
\end{align}

b) Dada la población \(P=\{2,4,6\}\), construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se pueden formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS de la prueba de selectividad comenzamos escribiendo todas las muestras posibles de tamaño 2

$$
\begin{matrix}
(2,2) & (2,4) & (2,6) \\
(4,2) & (4,4) & (4,6) \\
(6,2) & (6,4) & (6,6) \\
\end{matrix}
$$

A continuación construimos una tabla de frecuencias de las medias muestrales para calcular la desviación típica de las medias muestrales

\begin{array}{| c | c |c|c|}\hline
x_i& n_i & x_in_i & x_i^2n_i \\ \hline
2& 1 & 2 & 4 \\ \hline
3& 2 & 6 & 18 \\ \hline
4& 3 & 12 & 48 \\ \hline
5& 2 & 10 & 50 \\ \hline
6& 1 & 6 & 36 \\ \hline
& 9 & 36 & 156 \\ \hline
\hline\end{array}

Sabemos que para calcular la desviación típica es necesario calcular previamente la media y la varianza. Así, la media viene dada por,

$$
\overline{x}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^5x_in_i}{n}=\dfrac{36}{9}=4
$$

La varianza viene dada por,

$$
\sigma^2=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^5x_i^2n_i}{n}-\overline{x}^2=\dfrac{156}{9}-4^2=1’3225
$$

La desviación típica viene dada por,

$$
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1’3225}=1’15
$$

Ejercicio 8. Examen de matemáticas CC.SS Selectividad Septiembre 2020

Se ha tomado una muestra de 16 pacientes tratados por un especialista y se ha observado que el tiempo de espera en su consulta, en minutos, ha sido de:

$$
8 \quad 9’2 \quad 10\quad 8’5\quad 12 \quad 9 \quad 11’3 \quad 7 \quad 8’5 \quad 8’3 \quad 7’6 \quad 9 \quad 9’4 \quad 10’5 \quad 8’9 \quad 6’8
$$

Supongamos que el tiempo de espera en esta consulta se distribuye según una ley Normal de varianza 4 y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza al 97’5% para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista

Para la resolución de este apartado del examen de matemáticas CC.SS de selectividad comenzamos definiendo la siguiente variable,

X=’Tiempo de espera en la consulta medido en minutos’

Por el enunciado se tiene que \(X\rightsquigarrow N(\mu,\sigma)=N(\mu,2)\)

Un intervalo de confianza para la media población a un nivel de confianza \(1-\alpha\) viene dado por,

$$
\left( \overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
$$

El valor \(z_{\alpha/2}\) es una valor de la distribución \(N⁡(0,1)\) que deja a la derecha una probabilidad \(\alpha/2\). Por tanto hay que buscar un valor verificando,

$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}
$$

El nivel de confianza exigido es del 97’5%, por tanto,

$$
0’975=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’025
$$

Así,

$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=1-\frac{0’025}{2}=0’9875
$$

Mirando en la tabla de la distribución Normal tipificada se tiene \(z_{\alpha/2}=2’24\)

Por otra parte, la media muestral viene dada por,

$$
\overline{X}=\dfrac{8+9’2+10+8’5+12+9+11’3+7+8’5+8’3+7’6+9+9’4+10’5+8’9+6’8}{16}=9
$$

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza se tiene,

$$
\begin{align} \left( \overline{X}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&= \left( 9 -2’24\cdot\dfrac{2}{\sqrt{16}}, 9 +2’24\cdot\dfrac{2}{\sqrt{16}}\right) \\ \\ &=\left( 7’88,10’12\right) \end{align}
$$

b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90%, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0’3 minutos?

Sabemos que el error cometido en el cálculo de un I.C viene dado por,

$$
E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

Como tenemos un nuevo nivel de confianza en este caso se tiene,

$$
0’9=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’1
$$

Así,
$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=1-\dfrac{0’1}{2}=0’95
$$

Obteniendo \(z_{\alpha /2}=1’645\). Sustituyendo en la expresión del error se obtiene,

$$
0’3=1’645\cdot \frac{2}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \sqrt{n}= 1’645\cdot\frac{2}{0’3}\Leftrightarrow n=120’26
$$

Como el error debe ser como mucho de 0’3 en esta ocasión tendremos que considerar un numero de pacientes de tal manera que se garantice que el error no sea superior a 0’3. Por tanto redondeamos al valor, \(n=120\)

Esta es una resolución personal de todos los ejercicios del examen de matemáticas CC.SS de la convocatoria de Septiembre de 2020 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.

Si tienes dudas con la teoría o los ejercicios del examen de matemáticas CC.SS de esta o cualquier prueba de selectividad o cualquier problema en matemáticas o estadística puedes contactar conmigo.

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