Examen de Matemáticas II Selectividad Junio 2022 Andalucía Resuelto (Proximamente)

Por Carlos Martínez

©2022 Carlos Martínez Martínez

En las próximas horas podrás encontrar el examen de matemáticas II de selectividad 2022 Andalucía resuelto paso a paso.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Considera la función continua \(f\) definida por \(f(x)=\left\{\begin{align} \dfrac{1}{x}\quad &\text{si}\quad x<-1 \\ ax+b \quad &\text{si}\quad -1\leq x <1 \\ \dfrac{x^2}{x+1} \quad &\text{si}\quad x \geq 1 \end{align} \right. \)

a) Calcula \(a\) y \(b\)

Para resolver este ejercicio solamente debemos aplicar la condición de continuidad de la función. De la continuidad de la función en los intervalos abiertos donde está definida no podemos obtener ninguna condición sobre los valores \(a\) y \(b\) por lo que tendremos que obtenerlos de la continuidad en los puntos de ruptura.

Como la función es continua en \(x=-1\) se ha de cumplir que,

$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^+}f(x)=f(-1)
$$

Imponemos esa condición y obtenemos,

$$
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow -1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1} \dfrac{1}{x}=-1\\ \\ &\lim_{x\rightarrow -1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1}ax+b=-a+b \\ \\ &f(-1)=a\cdot (-1)+b=-a+b\end{align}
$$

Obtenemos que se ha de verificar la condición \( -a+b=-1\)

Como la función también es continua en \(x=1\) se ha de cumplir que,

$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=f(1)
$$

Imponemos esa condición y obtenemos,

$$
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1} ax+b=a+b\\ \\ &\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{1}{2} \\ \\ &f(1)=a\cdot (1)+b=a+b\end{align}
$$

Obtenemos que se ha de verificar la condición \( a+b=\dfrac{1}{2}\)

Resolviendo el sistema

$$
\left\{\begin{align} -a+b=-1 \\ a+b=\dfrac{1}{2}\end{align} \right.
$$
Obtenemos \(a=\dfrac{3}{4}\) y \(b=-\dfrac{1}{4}\)

b) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\)

Para estudiar las asíntotas verticales veamos si en cada trozo de la función existen puntos que anulen un denominador y por tanto generen asíntotas verticales.

Para \(f_1(x)=\dfrac{1}{x}\) podríamos pensar que va a existir una asíntota vertical en \(x=0\) pero no es cierto ya que \(x=0\) no pertenece al dominio de definición \((-\infty,-1)\).

Para \(f_3(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\) ocurre lo mismo con el punto \(x=-1\). No existe asíntota vertical ya que \(x=-1\) no pertenece al dominio de definición de la función \((1,+\infty)\).
Concluimos por tanto que la función no presenta asíntotas verticales.

Pasamos a estudiar las asíntotas horizontales,

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{x+1}=+\infty$$

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x}=0$$

Afirmamos que la función presenta una asíntota horizontal en \(y=0\) por la izquierda.

Estudiamos la existencia de asíntotas oblícuas. Sabemos que son de la forma \(y=mx+n\) con

$$
m=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2}{x^2+x}=1
$$

$$
n=\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2}{x+1}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2-x^2-x}{x+1}=-1
$$

Por tanto, existe asíntota oblícua y su ecuación es \(y=x-1\)

Ejercicio 2. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes coordenados, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones \(f,b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=4-\dfrac{x^2}{3}\) y \(g(x)=\dfrac{x^2}{6}-2\)

Si representamos las dos gráficas del enunciado junto con el rectángulo inscrito tendremos una situación similar a esta,

optimizacion Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Para resolver este problema de optimización debemos calcular las dimensiones del rectángulo de manera que el área sea máxima. Si asignamos la variable \(x\) a la mitad de la base del rectángulo y nos damos cuenta de que en cada punto la altura del rectángulo se obtiene como la diferencia entre las dos funciones podemos escribir,

$$
\text{base}=2x\ \qquad \text{altura}=y=f(x)-g(x)=4-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^2}{6}+2=6-\dfrac{1}{2}x^2
$$

Así, podemos definir el área del rectángulo como una función de la siguiente forma,

$$
A(x)=2x\cdot \left( 6-\dfrac{1}{2}x^2 \right)=12x-x^3
$$

Calculamos el máximo de la función igualando la primera derivada a 0.

$$
A'(x)=12-3x^2=0\Leftrightarrow x=\pm 2
$$

Calculamos la segunda derivada para ver cual de los valores obtenidos es el m√°ximo.

$$
A^″(x)=-6x\Rightarrow A^″(2)=-12<0
$$

En \(x=2\) existe un máximo de la función, por tanto la base del rectángulo será igual a \(2x=2\cdot 2=4\) y la altura será \(y=6-\dfrac{1}{2}2^2=4\).