Examen de Matemáticas II Selectividad Junio 2022 Andalucía Resuelto

©2022 Carlos Martínez Martínez

Ejercicio 1. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Considera la función continua \(f\) definida por \(f(x)=\left\{\begin{align} \dfrac{1}{x}\quad &\text{si}\quad x<-1 \\ ax+b \quad &\text{si}\quad -1\leq x <1 \\ \dfrac{x^2}{x+1} \quad &\text{si}\quad x \geq 1 \end{align} \right. \)

a) Calcula \(a\) y \(b\)

Para resolver este ejercicio solamente debemos aplicar la condición de continuidad de la función. De la continuidad de la función en los intervalos abiertos donde está definida no podemos obtener ninguna condición sobre los valores \(a\) y \(b\) por lo que tendremos que obtenerlos de la continuidad en los puntos de ruptura.

Como la función es continua en \(x=-1\) se ha de cumplir que,

$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^+}f(x)=f(-1)
$$

Imponemos esa condición y obtenemos,

$$
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow -1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1} \dfrac{1}{x}=-1\\ \\ &\lim_{x\rightarrow -1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1}ax+b=-a+b \\ \\ &f(-1)=a\cdot (-1)+b=-a+b\end{align}
$$

Obtenemos que se ha de verificar la condición \( -a+b=-1\)

Como la función también es continua en \(x=1\) se ha de cumplir que,

$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=f(1)
$$

Imponemos esa condición y obtenemos,

$$
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1} ax+b=a+b\\ \\ &\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{1}{2} \\ \\ &f(1)=a\cdot (1)+b=a+b\end{align}
$$

Obtenemos que se ha de verificar la condición \( a+b=\dfrac{1}{2}\)

Resolviendo el sistema

$$
\left\{\begin{align} -a+b=-1 \\ a+b=\dfrac{1}{2}\end{align} \right.
$$
Obtenemos \(a=\dfrac{3}{4}\) y \(b=-\dfrac{1}{4}\)

b) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\)

Para estudiar las asíntotas verticales veamos si en cada trozo de la función existen puntos que anulen un denominador y por tanto generen asíntotas verticales.

Para \(f_1(x)=\dfrac{1}{x}\) podríamos pensar que va a existir una asíntota vertical en \(x=0\) pero no es cierto ya que \(x=0\) no pertenece al dominio de definición \((-\infty,-1)\).

Para \(f_3(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\) ocurre lo mismo con el punto \(x=-1\). No existe asíntota vertical ya que \(x=-1\) no pertenece al dominio de definición de la función \((1,+\infty)\).
Concluimos por tanto que la función no presenta asíntotas verticales.

Pasamos a estudiar las asíntotas horizontales,

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{x+1}=+\infty$$

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x}=0$$

Afirmamos que la función presenta una asíntota horizontal en \(y=0\) por la izquierda.

Estudiamos la existencia de asíntotas oblícuas. Sabemos que son de la forma \(y=mx+n\) con

$$
m=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2}{x^2+x}=1
$$

$$
n=\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2}{x+1}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2-x^2-x}{x+1}=-1
$$

Por tanto, existe asíntota oblícua y su ecuación es \(y=x-1\)

Ejercicio 2. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes coordenados, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones \(f,b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=4-\dfrac{x^2}{3}\) y \( g(x)=\dfrac{x^2}{6}-2\)

Si representamos las dos gráficas del enunciado junto con el rectángulo inscrito tendremos una situación similar a esta,

Para resolver este problema de optimización debemos calcular las dimensiones del rectángulo de manera que el área sea máxima. Si asignamos la variable \(x\) a la mitad de la base del rectángulo y nos damos cuenta de que en cada punto la altura del rectángulo se obtiene como la diferencia entre las dos funciones podemos escribir,

$$
\text{base}=2x\ \qquad \text{altura}=y=f(x)-g(x)=4-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^2}{6}+2=6-\dfrac{1}{2}x^2
$$

Así, podemos definir el área del rectángulo como una función de la siguiente forma,

$$
A(x)=2x\cdot \left( 6-\dfrac{1}{2}x^2 \right)=12x-x^3
$$

Calculamos el máximo de la función igualando la primera derivada a 0.

$$
A'(x)=12-3x^2=0\Leftrightarrow x=\pm 2
$$

Calculamos la segunda derivada para ver cual de los valores obtenidos es el máximo.

$$
A^″(x)=-6x\Rightarrow A^″(2)=-12<0
$$

En \(x=2\) existe un máximo de la función, por tanto la base del rectángulo será igual a \(2x=2\cdot 2=4u\) y la altura será \(y=6-\dfrac{1}{2}2^2=4u\).

Ejercicio 3. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Sea \(f\) la función definida por \(f= \left\{\begin{matrix} 2x+4 &si &x<0 \\ (x-2)^2 &si &x\geq 0\end{matrix} \right.\)

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función

Dado que estamos trabajando con una función definida a trozos tenemos que ver si en cada una de las regiones donde se define la función existen punto de corte.

Comenzamos estudiando el caso en el que \(x<0\). Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen imponiendo,

\begin{align}
f(x)=0\Leftrightarrow 2x+4=0\Leftrightarrow x=-2 \in (-\infty, 0)
\end{align}

Luego \((-2,0)\) es el primer punto de corte.

Para \(x\geq0\) tenemos,

\begin{align}
f(x)=0\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2 \in [0,+\infty)
\end{align}

Por lo que \((2,0)\) es el otro punto de corte de la función con el eje de abscisas y a continuación podemos ver una representación de la función a trozos.

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\) y por el eje de abscisas

Usando la representación del apartado anterior es sencillo ver que el área limitada por la función y el eje de abscisas puede calcularse como,

\begin{align}
\int_{-2}^0 2x+4dx+\int _0^2(x-2)^2dx&=\left[ x^2+4x\right]_{-2}^0+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3} \right]_0^2 \\ \\
&=0-(-4)+0-\left( -\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{20}{3} u^2
\end{align}

Ejercicio 4. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Considera la función \(f\) definida por \( f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-2x+1}\) para \(x\neq 1\). Halle una primitiva de \(f\) que pase por el punto \((2,6)\).

Una primitiva no es más que una función \(F(x)\) que verifique que,

$$
F(x)=\dfrac{x^3}{x^2-2x+1}
$$

y además por el enunciado se debe verificar que \(F(2)=6\).

Dado que la función \(f\) está dada como cociente de dos polinomios podemos dividirlos y expresar la integral de forma más sencilla como

\begin{align}
\int \dfrac{x^3}{x^2-2x+1}dx&=\int x+2dx+\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}dx \\ \\
&=\dfrac{x^2}{2}+2x+\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}dx
\end{align}

Para resolver la segunda integral calculamos las raices del denominador,

$$
x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1 \text{ doble}
$$

Podemos aplicar el método de las fracciones simples obteniendo,

$$
\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}=\dfrac{A(x-1)+B}{(x-1)^2}
$$

Dada la igualdad anterior se ha de verificar que

$$
3x-2=A(x-1)+B
$$

Dando valores a \(x\) obtenemos los valores de \(A\) y \(B\).

Si \(x=0 \Rightarrow B=1\) y si \(x=0\Rightarrow A=3\).

Por tanto podemos escribir,

\begin{align}
\int \dfrac{x^3}{x^2-2x+1}dx&=\dfrac{x^2}{2}+2x+\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}dx=\dfrac{x^2}{2}+2x+\int \dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}dx \\ \\
&=\dfrac{x^2}{2}+2x+\int \dfrac{3}{x-1}dx+\int(x-1)^{-2}dx=\dfrac{x^2}{2}+2x+3\ln(|x-1|)+\dfrac{(x-1)^{-1}}{-1} \\ \\
&=\dfrac{x^2}{2}+2x+3\ln(|x-1|)-\dfrac{1}{x-1}+C
\end{align}

Por tanto

$$
F(x)=\dfrac{x^2}{2}+2x+3\ln(|x-1|)-\dfrac{1}{x-1}+C
$$

A continuación imponemos que la primitiva de la función pasa por el punto \((2,6)\)

$$F(2)=6\Leftrightarrow 2+4+3\ln(1)-1+C=6\Leftrightarrow C=1$$

Así la función buscada es,

$$
F(x)=\dfrac{x^2}{2}+2x+3\ln(|x-1|)-\dfrac{1}{x-1}+1
$$

Ejercicio 5. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Considera el sistema:

$$\left\{
\begin{align}
x-y+mz=-3\\
-mx+3y-z=1\\
x-4y+mz=-6
\end{align} \right.$$

a) Discute el sistema según los valores de \(m\)

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes asociada al sistema de ecuaciones y la matriz ampliada del mismo,

$$
A= \left( \begin{array}{ccc}
1 & -1 & m \\
-m & 3 & -1 \\
1 & -4 & m \\
\end{array} \right)
\qquad
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & m & -3 \\
-m & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & m & -6 \\
\end{array} \right)
$$

Veamos los valores que anulan el determinante de la matriz de coeficientes,

$$
|A|=
\begin{vmatrix}
1 & -1 & m \\
-m & 3 & -1 \\
1 & -4 & m \\
\end{vmatrix}=(3m+4m^2+1)-(3m+m^2+4m)=0\Leftrightarrow 3m^2-3=0
$$

Resolviendo obtenemos que los valores para los que el determinante vale cero son \(m=1\) y \(m=-1\)

Podemos afirmar que, si \(m\neq 1\) y \(m\neq -1\) entonces \(|A|\neq 0\) y por tanto existe un menor de dimensión tres en la matriz ampliada cuyo determinante es distinto de cero y por el Teorema de Rouché-Frobenius podemos garantizar que estamos ante un sistema compatible determinado.

Veamos que ocurre cuando \(m=1\) y \(m=-1\).

Para \(m=1\) tenemos que la matriz \(A\) es de la forma,

$$

A= \left( \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & -1 \\
1 & -4 & 1 \\
\end{array} \right)
$$

Existe un menor de orden dos cuyo determinante es distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
-3 & -1 \\
\end{vmatrix} \neq 0\Rightarrow rg(A)=2
$$

La matriz ampliada en este caso tendría la forma,

$$
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & -3 \\
-1 & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & 1 & -6 \\
\end{array} \right)
$$

Existe un menor de orden 3 cuyo determinante es distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix}
1 & -1 & -3 \\
-1 & 3 & 1 \\
1 & -4 & -6 \\
\end{vmatrix}=-12\neq 0\Rightarrow rg(A^*)=3
$$

En virtud del Teorema de Rouché podemos afirmar que,

$$
2=rg(A)\neq rg(A^*)=3\Rightarrow \text{Sistema incompatible}
$$

Veamos que ocurre cuando \(m=-1\). En esta ocasión la matriz de coeficientes viene dada por,

$$
A= \left( \begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & -4 & -1 \\
\end{array} \right)
$$

Es claro que para \(m=-1\) se tiene que \(|A|=0\Rightarrow rg(A)<3\). Como existe un menor de orden dos distinto de cero,

$$
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix} \neq 0\Rightarrow rg(A)=2
$$

Veamos ahora el rango de la matriz ampliada,

$$
A^*= \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & -3 \\
1 & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & -1 & -6 \\
\end{array} \right)
$$

En cuanto a la matriz ampliada veamos si existe algún menor de dimensión 3 cuyo determinante sea distinto de cero. En este caso tenemos que todos los menores de orden 3 tienen determinante cero,

$$
\begin{vmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & -6 \end{vmatrix} =0
\quad \begin{vmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -6 \end{vmatrix}=0
\quad \begin{vmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 3 & -1 & 1 \\ -4 & -1 & -6 \end{vmatrix}=0
$$

Buscamos un menor de orden dos cuyo determinante sea distinto de cero,
$$
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix} \neq 0\Rightarrow rg(A^*)=2
$$

Podemos afirmar que,

$$
rg(A)=rg(A^*)=2<3=\text{ nº de incógnitas} \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado}
$$

b) Para \(m=2\) resuelve el sistema, si es posible.

En primer lugar hay que afirmar que si es posible encontrar la solución compatible determinada del sistema por las afirmaciones del apartado anterior.

Para \(m=2\) la matriz de coeficientes viene dada por,

$$
A=
\begin{pmatrix}
1 &-1& 2 \\
-2& 3& -1 \\
1& -4 & 2
\end{pmatrix}
$$

Cuyo determinante vale . Podemos aplicar la regla de Cramer para obtener la solución del sistema.

\begin{align}
&x=\dfrac{\begin{vmatrix} -3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -6 &-4 & 2 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{18}{9}=2 \\ \\
&y=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 &-6 & 2 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{9}{9}=1 \\ \\
&z=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 &-4 & -6 \end{vmatrix}}{|A|}=\dfrac{-18}{9}=-2
\end{align}

Ejercicio 6. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m &1 \\ \sqrt{m} & 1 & m\end{pmatrix}\), donde \(m\geq0\).

a) ¿Para qué valores de \(m\) tiene inversa la matriz \(A\)?

Sabemos que existe la matriz inversa de \(A\) para aquellos valores de \(m\) que hagan que el determinante sea distinto de cero. Calculamos por tanto el determinante de \(A\),

$$
|A|=
\begin{vmatrix}
m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m &1 \\ \sqrt{m} & 1 & m
\end{vmatrix}=(m^3+m+m)-(m^2+m^2+m)=m^3-2m^2+m=m(m^2-2m+1)
$$

Igualando el determinante a cero obtenemos los valores \(m=0\) y \(m=1\) por lo tanto podemos afirmar que existe la matriz inversa de \(A\) para \(m\neq 0\) y \(m\neq 1\)

b) Para \(m=4\) resuelve, si es posible, la ecuación matricial \(A\cdot X=12I\) donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

Resolvemos inicialmente la ecuación matricial de forma teórica y posteriormente realizamos los cálculos.

$$
A\cdot X=12I \Leftrightarrow AA^{-1}\cdot X=A^{-1}\cdot12I\Leftrightarrow X=A^{-1}\cdot12I\Leftrightarrow X=12\cdot A^{-1}
$$

Para \(m=4\) obtenemos \(A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2& 4 &1 \\ 2& 1 & 4\end{pmatrix}\)

$$
A^{-1}=\dfrac{Adj(A)^t}{|A|}=\dfrac{\begin{pmatrix} 15 & -6 & -6 \\ -6& 12 &0 \\ -6& 0 & 12\end{pmatrix}^t}{36}=\dfrac{\begin{pmatrix} 15 & -6 & -6 \\ -6& 12 &0 \\ -6& 0 & 12\end{pmatrix}}{36}=\begin{pmatrix} \dfrac{5}{12} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{6} \\ -\dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{3} &0 \\ -\dfrac{1}{6}& 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}
\
$$

Sustituyendo en la expresión de \(X\) obtenemos,

$$
X=12\cdot \begin{pmatrix} \dfrac{5}{12} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{6} \\ -\dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{3} &0 \\ -\dfrac{1}{6}& 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ -2& 4 &0 \\ -2& 0 & 4\end{pmatrix}
$$

Ejercicio 7. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Se consideran los vectores \(\overrightarrow{u}=(-1,2,3)\) y \(\overrightarrow{v}=(2,0,-1)\), así como el punto \(A=(-4,4,7)\).

a) Calcula \(a\) y \(b\) para que el vector \(\overrightarrow{w}=(1,a,b)\) sea orgotonal a \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\).

Como el vector es perpendicular a y el producto escalar para ambos debe valer 0.

$$
\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow (1,a,b)\cdot(2,0,-1)=0\Leftrightarrow 2-b=0\Leftrightarrow b=2
$$

Sustituyendo el valor de obtenemos,

$$
2a+3\cdot 2=1\Leftrightarrow a=-\dfrac{5}{2}
$$

b) Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de \( \overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) y que tiene al vector \(\overrightarrow{OA}\) como una de sus diagonales siendo \(O\) el origen de coordenadas

La situación que nos plantea el enunciado es la siguiente,

Calculemos en primer lugar el punto C. Para ello vamos a calcular la intersección de dos rectas, una recta (\(r\)) que pasa por el punto \(O\) y tiene como vector director \(\overrightarrow{v}\) y la recta (\(s\)) que pasa por el punto \(A\) y tiene como vector director \(\overrightarrow{u}\).

$$
r\equiv\left\{\begin{align}
&x=2\lambda \\
&y=0 \qquad \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
&z=-\lambda \\
\end{align}
\right.
$$
$$
s\equiv\left\{\begin{align}
&x=-4-\mu\\
&y=4+2\mu \qquad \qquad \mu \in \mathbb{R}\\
&z=7+3\mu \\
\end{align}
\right.
$$

La intersección de dichas rectas se consigue igualando coordenada a coordenada y obtenemos el punto \(C=(-2,0,1)\).

Para calcular el punto \(B\) podemos considerar la recta que pasa por \(O\) y tiene vector director \(\overrightarrow{u}\) (que llamaremos \(t\)) y la recta que pasa por \(A\) y tiene vector director \(\overrightarrow{v}\) (que llamaremos \(n\))

$$
t\equiv\left\{\begin{align}
&x=-\lambda \\
&y=2\lambda \qquad \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
&z=3\lambda \\
\end{align}
\right.
$$

$$
n\equiv\left\{\begin{align}
&x=-4 +2\mu\\
&y=4 \qquad \qquad \mu \in \mathbb{R}\\
&z=7-\mu \\
\end{align}
\right.
$$

La intersección de ambas rectas no da como resultado el punto \(B=(-2,4,6)\)

Ejercicio 8. Examen de matemáticas II selectividad Junio 2022 Andalucía

Considera la recta \(r\equiv x-2=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2}\), así como la recta \(s\) determinada por el punto \(P=(1,2,3)\) y el vector director \(\overrightarrow{v}=(1+a,-a,3a)\)

a) Calcula \(a\) para que las rectas \(r\) y \(s\) se corten.

Una de las maneras de ver que dos rectas se corten es imponiendo que su intersección sea al menos un punto. Comenzamos escribiendo ambas rectas en coordenadas paramétricas.

$$
r\equiv\left\{\begin{align}
&x=2+\lambda \\
&y=-\lambda \qquad \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
&z=1+2\lambda \\
\end{align}
\right.$$

$$\qquad s\equiv\left\{\begin{align}
&x=1+(1+a)\mu \\
&y=2-a\mu \qquad \qquad \mu \in \mathbb{R}\\
&z=3+3a\mu \\
\end{align}
\right.
$$

Igualandolas obtenemos,

$$
\left\{\begin{align}
2+\lambda=1+(1+a)\mu \\
-\lambda=2-a\mu \\
1+2\lambda= 3+3a\mu
\end{align} \right.
\Leftrightarrow \mu=-1\Rightarrow a=6
$$

Por tanto las rectas se cortan si \(a=6\)

b) Calcula \(a\) para que las rectas \(r\) y \(s\) sean perpendiculares.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores tienen producto escalar nulo. Imponemos dicha condición para obtener el valor de \(a\)

$$
(1,-1,2)\cdot(1+a,-a,3a)=0\Leftrightarrow 1+a+a+6a=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{8}
$$

Esta es una resolución personal de los ejercicios del examen de Matemáticas II de la convocatoria de selectividad de Junio de 2022 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.

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