Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Por Carlos Martínez

A lo largo de este post vamos a estudiar los Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En concreto aprenderás qué son y cómo se resuelven sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Si ya dominas este tema y lo deseas, puedes ver ejercicios resueltos y teoría sobre sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

En primer lugar, debemos saber que un sistema de dos ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones en las que aparecen variables y coeficientes de la siguiente forma,

$$ \left. \begin{array}{lcc} a_1 x + b_1 y & = c_1 \\ a_2 x + b_2 y & = c_2 \end{array} \right \} $$Donde \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\), \(c_1\) y \(c_2\), son números reales y las letras \(x\) e \(y\) son variables. Así, un ejemplo de un sistema de ecuaciones viene dado por$$ \left. \begin{array}{ccc} 2 x + 3 y & =& 8 \\ x -2 y & =& -1 \end{array} \right \} $$Una solución de un sistema de ecuaciones lineales no es más que un par de valores solución sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas e y de tal manera que se verifiquen las ecuaciones planteadas. En el sistema anterior, \(x=1\) e \(y=2\) son soluciones del sistema ya que si se sustituyen dichos valores en el sistema se verifica la igualdad.$$ \left. \begin{array}{ccc} 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & =& 8 \quad \checkmark \\ 1 -2 \cdot 2 & =& -1 \quad \checkmark \end{array} \right \} $$

Resolución de sistemas de dos ecuaciones

A continuación vamos a describir los tres métodos principales para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; método de sustitución, método de igualación y método de reducción. Para ello, resolveremos un mismo sistema de ecuaciones lineales explicando los pasos a seguir en cada método.

Método de sustitución

El método de sustitución es uno de los principales métodos para la resolución en general de sistemas de ecuaciones. Para ilustrar este método partiremos de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo,

$$ \left. \begin{array}{ccc} 3x + 4y & =& 18 \\ -2x +4y & =& 8 \end{array} \right \} $$Para aplicar el método de sustitución, en primer lugar debemos seleccionar una ecuación y despejar una incógnita de ella. Normalmente se elige la ecuación que contiene un término de \(x\) o \(y\) solo. Como en este caso en ambas ecuaciones tenemos coeficientes vamos a despejar por ejemplo la variable \(y\) de la primera ecuación. Así, se tiene\begin{align*} 3x+4y=18 \Leftrightarrow y=18-3x \Leftrightarrow y=\frac{18-3x}{4} \end{align*}El siguiente paso consiste en reescribir la otra ecuación que no hemos trabajado sustituyendo el valor \(y\) que acabamos de obtener. A continuación realizaremos los cálculos para resolver la ecuación de primer grado que se obtiene y calcular el valor de \(x\).\begin{align*} -2x+4\cdot \frac{18-3x}{4}=8 & \Leftrightarrow -2x+ 18-3x=8 \Leftrightarrow -5x = 8-18 \\ & \Leftrightarrow -5x=-10 \Leftrightarrow x=2 \end{align*}Para concluir, volvemos a la expresión de \(y\) que habíamos obtenido en el primer paso y sustituimos el valor \(x=2\).$$ y=\frac{18-3x}{4}=\frac{18-3\cdot 2}{4}=3 $$Por tanto, con el método de sustitución obtenemos que \(x=2\) e \(y=3\) son las soluciones del sistema.

Método de igualación

Para este método utilizaremos el mismo sistema que se utilizó en el método de sustitución y comprobaremos que ambos métodos convergen a la misma solución.

$$ \left. \begin{array}{ccc} 3x + 4y & =& 18 \\ -2x +4y & =& 8 \end{array} \right \} $$

La idea del método de igualación es muy simple; despejaremos la misma incógnita de las dos ecuaciones y procederemos a igualar ambas expresiones.

En este caso vamos a seleccionar la variable \(y\) para despejar. Así, de la primera ecuación se tiene,$$ 3x+4y=18\Leftrightarrow 4y= 18-3x \Leftrightarrow y=\frac{18-3x}{4} $$

Y de la segunda ecuación, despejando nuevamente la variable \(y\) se obtiene,

$$ -2x+4y=8 \Leftrightarrow 4y=8+2x \Leftrightarrow y=\frac{8+2x}{4} $$

A continuación igualamos las dos expresión de \(y\) para pasar a resolver la ecuación de primer grado que se obtiene.

$$ \frac{18-3x}{4}=\frac{8+2x}{4} \Leftrightarrow 18-3x=8+2x \Leftrightarrow 10=5x \Leftrightarrow x=2 $$

Finalmente sustituimos el valor que hemos obtenido de \(x\) en cualquier de las expresiones de \(y\),

$$ y=\frac{8+2\cdot 2}{4}=\frac{12}{4}=3 $$

Nuevamente obtenemos que \(x=2\) e \(y=3\) son las soluciones del sistema

Método de reducción

El método de reducción puede parecer el más complicado pero también suele ser el más rápido para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

La idea del método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por algún valor de tal manera que al sumarlas se anulen los términos de la variable o la variable .

$$ \left. \begin{array}{ccc} 3x + 4y & =& 18 \\ -2x +4y & =& 8 \end{array} \right \} $$

En este sistema es bastante fácil darse cuenta que el término en \(y\) de las dos ecuaciones es el mismo. En este caso simplemente con multiplicar por ejemplo, la segunda ecuación por -1 estudioscarlosmartinez.es y sumar ambas expresiones se obtiene,

$$ \begin{array}{ccccc} 3x& + &4y &= & 18 \\ 2x& -&4y & = & -8\\ \hline 5x& &&=&10 \end{array} $$

De donde tenemos,

$$ 5x=10\Leftrightarrow x=2 $$

Para terminar despejamos la variable \(y\) de la primera ecuación por ejemplo,

$$ 3x+4y=18\Leftrightarrow 4y=18-3x\Leftrightarrow y=\frac{18-3x}{4} $$

y sustituyendo el valor \(x=2\) obtenido anteriormente tenemos,

$$ y=\frac{18-3\cdot 2}{4}=\frac{12}{4}=3 $$

De nuevo, hemos obtenido por el método de reducción que e . Siguiendo este procedimiento se pueden calcular las soluciones de todos los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, siempre que existan.

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