Ecuaciones matriciales

Por Carlos Martínez
Ecuaciones matriciales

En este post vamos a introducir el problema de resolución de ecuaciones matriciales. A lo largo de las siguientes líneas encontrarás toda la información necesaria para la resolución de ecuaciones matriciales ilustrado en un ejemplo que resolveremos paso a paso.

¿Qué son las ecuaciones matriciales?

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez la palabra matriz y puso la primera piedra para desarrollar la teoría de matrices.

Una ecuación matricial no es mas que una expresión algebraica donde se involucran una serie de matrices conocidas, normalmente notadas con las letras \(A\), \(B\), \(C\)… y donde hay una matriz desconocida (normalmente llamada \(X\)) cuyo valor debemos calcular.

Dichas matrices podrán tener diferentes orden y solo habrá que asegurarse de que la multiplicación de matrices se pueda realizar. En este sentido, será conveniente obtener la dimensión la matriz para tener claro cual deber ser la dimensión de la matriz final.

¿Cómo resolver una ecuación matricial?

A continuación, vamos a ver un ejemplo paso por paso sobre cómo resolver una ecuación matricial. Concretamente, cualquier problema de ecuaciones matriciales se basa en la siguiente idea: buscamos el valor de una matriz de cierta dimensión que verifique una igualdad del tipo:

$$ A^2X=A-BC $$

Siendo \(A\), \(B\) y \(C\) las matrices:

$$A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&2 \end{pmatrix} \qquad B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ -1&1&4 \end{pmatrix} \qquad C= \begin{pmatrix} -1&0\\ -1&1\\ 2&0 \end{pmatrix} $$

Expresión con matrices

En primer lugar vamos a despejar la matriz \(X\) de la ecuación anterior. Para que sea más sencillo entender el procedimiento a desarrollar vamos a reescribir dicha ecuación como,

$$ AAX=A-BC $$

Donde simplemente hemos expresado \(A^2=AA\)

Si en cada lado de la igualdad multiplicamos por la izquierda de los términos por la matriz \(A^{-1}\) tenemos,

$$ A^{-1}AAX=A^{-1}(A-BC) $$

Ahora, utilizando la propiedad \(A^{-1}A=I\), tenemos

$$ IAX=A^{-1}(A-BC) $$

Aplicando a continuación la siguiente propiedad, \(IA=A\), se tiene

$$ AX=A^{-1}(A-BC) $$

Si se repite exactamente el mismo proceso que se ha realizado se tiene

\begin{align*} AA^{-1}X&=A^{-1}A^{-1}(A-BC) \\ X&=A^{-1}A^{-1}(A-BC)\\ X&=(A^{-1})^2(A-BC) \end{align*}

En este punto ya hemos obtenido de manera explícita una expresión de la matríz \(X\) por lo que sólo debemos calcular lo elementos que aparecen en dicha expresión.

Antes es conveniente saber cual será la dimensión de la matriz \(X\). Para ello tendremos que tener en cuenta lo siguiente,

$$\dim(A^{-1})=2×2 , \quad dim(A-BC)=2×2$$

Así, se obtiene finalmente que \(\dim(X)=2×2\)

Cálculo de matriz inversa

Calculemos en primer lugar el valor de \(A^{-1}\). Para ello, una buena estrategia es suponer que la matríz \(A^{-1}\) es de la forma,

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} $$

Sabemos que dada cualquier matriz cuadrada de orden \(n\) siempre se verifica que \(AA^{-1}=I\). Por tanto se debe cumplir que,

$$ \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} $$

Si desarrollamos el producto de las matrices anteriores tenemos,

$$ \begin{pmatrix} a+c&b+d\\ 2c&2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} $$

Igualando término a término obtenemos dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver por uno de los tres métodos conocidos para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. st.

\begin{align*} a+c &= 1 & b+d &= 0\\ 2c &= 0 & 2d &= 1 \end{align*}

Una vez resolvamos los sistemas de dos ecuaciones ecuaciones obtenemos que,

\begin{align*} a &= 1 & b &= -1/2\\ c &= 0 & d &= 1/2 \end{align*}

Por tanto, la expresión de \(A^{-1}\) viene dada por

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&1/2 \end{pmatrix} $$

Obtención de la solución

Ahora podemos hallar el valor de la matriz \(X\) calculando \(X=(A^{-1})^2(A-BC)\). Calculemos en primer lugar \( (A^{-1})^2\),

$$ (A^{-1})^2= \begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&-3/4\\ 0&1/4 \end{pmatrix} $$

Podemos calcular también el valor de \(BC\),

$$ BC= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ -1&1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&0\\ -1&1\\ 2&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 8&1 \end{pmatrix} $$

Por otra parte,

$$ A-BC= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1&0\\ 8&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ -8&1 \end{pmatrix} $$

Finalmente se tiene que,

$$ X=(A^{-1})^2(A-BC)= \begin{pmatrix} 1&-3/4\\ 0&1/4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ -8&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6&1/4\\ -2&1/4 \end{pmatrix} $$

Por tanto concluimos que la matriz \(X\) viene dada por,

$$ X= \begin{pmatrix} 6&1/4\\ -2&1/4 \end{pmatrix} $$

Si después de ver estos ejemplos sigues teniendo dudas sobre como resolver una ecuación matricial puedes consultar este vídeo sobre resolución de ecuaciones matriciales


Este es un ejemplo que muestra la forma general de resolución de ecuaciones matriciales aplicando propiedades de las matrices.

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