Soluciones de un sistema de tres ecuaciones en función de un parámetro | 2023 | Selectividad y bachillerato

©2020 Carlos Martínez Martínez

En este post vamos a estudiar las distintas soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas en función de un parámetro desconocido. Este tipo de ejercicios de sistemas de ecuaciones con parámetros son muy comunes en los cursos de segundo de bachillerato y las pruebas de selectividad.

Un SEL 3×3 (sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas) no es más que un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas que se agrupan formando una estructura de sistema. En adelante notaremos al sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con SEL 3×3.

Para el estudio de las soluciones de cualquier SEL es imprescindible hablar del Teorema de Rouché Frobenius el cual nos ofrece una clasificación del tipo de soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales a partir del estudio de rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada. En este post vamos a dar la versión de dicho teorema para SEL 3×3 y veremos como se resuelve un ejercicio tipo de selectividad..

Teorema de Rouché-Frobenius

Dado un SEL 3×3, consideremos \(A\) como la matriz de coeficientes del sistema y como la matriz ampliada del sistema. Entonces se verifica,

• Si \(rg(A)=rg(A^*)=3 \Rightarrow\) S.C.D Sistema compatible determinado (Una única solución).
• Si \(rg(A)=rg(A^*)<3 \Rightarrow\) S.C.I Sistema compatible indeterminado (Infinitas soluciones)
• Si \(rg(A)\neq rg(A^*) \Rightarrow\) SI Sistema incompatible (No existe solución)

¿Cómo resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con un parámetro?

Dado el sistema,

$$ \left \{ \begin{array}{ccccccc}x &+&\lambda y & +&z & =& 4 \\ -\lambda x & +& y & +&z &=& 1 \\ x & + & y & + & z & =& \lambda +3 \\ \end{array} \right. $$

vamos a estudiar sus soluciones en función del parámetro \(\lambda\).

En este sistema la matriz de coeficientes \(A\) y la matriz ampliada \(A^*\) vienen dadas respectivamente por,

\begin{equation*} A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & \lambda & 1 \\ -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \qquad A^*= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda & 1 & 4 \\ -\lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \lambda+3 \\ \end{array} \right) \end{equation*}

Comenzamos estudiando el rango de la matriz . Para ello, lo más indicado es estudiar el valor del determinante en función del valor del parámetro.

\begin{equation*} |A|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & \lambda & 1 \\ -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = (1-\lambda +\lambda)-(1-\lambda^2+1)=\lambda^2-1 \end{equation*}

Si igualamos dicho determinante a 0 obtenemos

$$ \lambda^2-1=0\leftrightarrow \lambda=\pm 1 $$

A continuación vamos a analizar que ocurre para cada valor de \(\lambda\) utilizando el teorema de Rouche-Frobenius.

Discusión según los valores del parámetro

• Si \(\lambda\neq-1\) y \(\lambda \neq 1\)

Si \(\lambda \neq -1\) y \(\lambda \neq 1 \Rightarrow |A|\neq 0\) y por tanto \(rg(A)=3\) (ya que si el determinante de una matriz 3×3 es distinto de 0 el rango de dicha matriz es 3)

Estudiamos el rango de la matriz ampliada. Como es una matriz de orden 3×4 el rango puede ser como mucho 3. Lo que haremos será calcular el determinante de todos los menores 3×3 de la matriz ampliada y si alguno es distinto de 0 entonces el rango de la matriz ampliada será 3.

Si consideramos

\begin{equation*} M_{3×3}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & \lambda & 1 \\ -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \end{equation*}

es claro que para y se verifica que .

Por lo tanto, si \(\lambda\neq -1\) y \(\lambda \neq 1 \Rightarrow rg(A)=rg(A^*)=3\) y por el teorema de Rouché-Frobenius nos encontramos ante un S.C.D (Sistema compatible determinado).

• Si \(\lambda=1\)

Si \(\lambda=1\Rightarrow |A|=0\) y por tanto \( rg(A)<2\). Vamos a buscar un menor 2×2 cuyo determinante sea distinto de 0 para garantizar que el rango es 2.

\begin{equation*} A= \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1\\ \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{-1} & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| =1+1=2\neq 0 \end{equation*}

por tanto .

Estudiamos el rango de la matriz ampliada. Para ello debemos calcular el determinante de todos los menores 3×3 de \(A^*\) que sean distintos de \(A\)

\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} \right| =0 \qquad \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} \right| =0 \qquad \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} \right| =0 \end{equation*}

Como todos los menores 3×3 tienen determinante nulo se tiene que \(rg(A^*)<3\). Buscamos un menor 2×2 de \(A^*\) cuyo determinante sea distinto de 0 para garantizar que tiene rango 2.

\begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc|c} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1 &4 \\ \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{1} & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 4\\ \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| =1+1=2\neq 0 \Rightarrow rg(A^*)=2 \end{equation*}

Por tanto,

$$ rg(A)=rg(A^*)=2<3 $$

El teorema de Rouché-Frobenius asegura que nos encontramos ante un S.C.I (Sistema de tres ecuaciones compatible indeterminado)

• Si \(\lambda =-1\)

Si \(\lambda=-1\Rightarrow |A|=0 \Rightarrow rg(A)<3\). Buscamos un menor 2×2 de \(A^*\) cuyo determinante sea distinto de 0 para comprobar que el rango de \(A\) es 2.

\begin{equation*} A= \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{-1} & 1\\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right| =1+1=2\neq 0 \Rightarrow rg(A)=2 \end{equation*}

Estudiamos finalmente el rango de la matriz ampliada. Para ello calculamos el determinante de todos los menores 3×3. Si todos los determinantes son 0 entonces \(rg(A^*)<3\) y si hay algún determinante distinto de cero entonces \(rg(A^*)=3\).

\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right| =0 \quad , \quad \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} \right| \neq 0 \end{equation*}

Como hay un menor 3×3 cuyo determinante es distinto de 0 entonces \(rg(A^*)=3\). Así, \(rg(A)\neq rg(A^*)\) y por el teorema de Rouché-Frobenius estamos ante un sistema de tres ecuaciones incompatible.

Conclusiones

A modo de resumen de todo el ejercicio podemos escribir que para el sistema de tres ecuaciones lineales inicial se verifica:

• Si \( \lambda \neq -1\) y \(\lambda\neq 1\) el sistema es compatible determinado
• Si \(\lambda=1\) el sistema es compatible indeterminado
• Si \(\lambda=-1\) el sistema es incompatible

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