Regla de L’Hôpital | Ejercicios resueltos 2º Bachillerato y Selectividad
©2020 Carlos Martínez Martínez
A lo largo de este post vamos a ver cómo se utiliza la regla de L’Hôpital para resolver límites en los que encontramos indeterminaciones del tipo \(\frac{0}{0}\) o indeterminaciones del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\).
Además podrás ver ejercicios resueltos paso a paso para aprender a utilizar la regla de L’Hôpital y saber como resolver límites con indeterminaciones. Este tipo de ejercicios son muy comunes en los cursos de Bachillerato y en las pruebas de selectividad.
Regla de L’Hôpital
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas en un intervalo \([a,b]\), continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\) y sea \(c\) un valor de \((a,b)\) tal que \(f(c)=0=g(c)\) y \(g'(x)\neq 0\) si \(x\neq c\). Entonces si existe el límite de \(\frac{f’}{g’}\) en \(c\), existe también el límite de \(\frac{f}{g}\) en \(c \) y es igual a \(L\) y por tanto:
$$ \lim_{x\longleftrightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\longleftrightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L $$De este modo, para resolver una indeterminación tendremos que derivar el numerador y el denominador de forma independiente y calcular el límite con las correspondientes derivadas.
En general la regla de L’Hôpital se utiliza para resolver indeterminaciones del tipo \(\frac{0}{0}\) pero hay muchas otras indeterminaciones que se pueden resolver mediante este método. Indeterminaciones del tipo \(\infty-\infty\)
Resolución de límites por L’Hôpital
A continuación, vamos a realizar unos ejercicios paso a paso en los que resolveremos indeterminaciones por la regla de L’Hôpital.
Halle el valor del siguiente límite:
$$ \lim_{x\longrightarrow0}\frac{\tan(x)-\sin(x) }{x-\sin(x)} $$Comenzamos intentando calcular el valor del límite
$$ \lim_{x\longrightarrow0}\frac{\tan(x)-\sin(x) }{x-\sin(x)}=\frac{0-0}{0-0}=\dfrac{0}{0} \quad \text{Indet.} $$Aplicamos la regla de L’Hôpital. Derivando numerador y denominador se obtiene,
\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow0}\frac{\tan(x)-\sin(x) }{x-\sin(x)} & =\lim_{x\longrightarrow0}\frac{1+\tan^2(x)-\cos(x) }{1-\cos(x)} \\ \\ &=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0} \quad \text{Indet.} \end{align*}Donde se ha usado que la derivada de la tangente viene dada por
$$ (\tan(x))’=1+\tan^2(x) $$Aplicamos la regla de L’Hôpital nuevamente para solucionar esta indeterminación:
\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow0}\frac{1+\tan^2(x)-\cos(x) }{1-\cos(x)} &= \lim_{x\longrightarrow0}\frac{2\tan(x)(1+\tan^2(x))+\sin(x) }{\sin(x)}=\frac{0}{0} \quad \text{Indet.} \end{align*}De nuevo obtenemos una indeterminación así que habrá que aplicar la regla de L’Hôpital por tercera vez. Derivando numerador y denominador por separado se tiene:
\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow0}\frac{2\tan(x)(1+\tan^2(x))+\sin(x)}{\sin(x)} = \\ &=\lim_{x\longrightarrow0}\frac{2\left[(1+\tan^2(x))^2+ \tan(x)[(2\tan(x)(1+\tan^2(x))] \right]+\cos(x)}{\cos(x)}= \\ \\ &= \frac{2(1+0)+1}{1}=3 \end{align*}Halle el valor de \(a\) para que el siguiente límite sea finito y calcule el resultado de dicho límite
$$ \lim_{x\longrightarrow0}\frac{\ln(x+1)-a\sin(x)+x\cos(3x)}{x^2} $$La idea de este tipo de ejercicio es la siguiente, si sabemos que el límite es finito tenemos que calcular \(a\) de manera que se evite llegar a un valor infinito de dicho límite.
Para ello vamos a intentar resolver el límite y finalmente impondremos la condición de que el límite es finito.
\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{\ln(x+1)-a\sin(x)+x\cos(3x)}{x^2} & =\frac{\ln(0+1)-a\sin(0)+0\cdot\cos(3\cdot 0)}{x^2} \\ \\ &=\frac{0-a\cdot 0+0}{0} =\left( \frac{0}{0} \right)\quad \text{Indet.} \end{align*}Aplicamos la regla de L’ Hôpital. Derivando el numerador tenemos,
$$ (\ln(x+1)-a\sin(x)+x\cos(3x))’=\frac{1}{x+1}-a\cdot \cos(x)+ \cos(3x)-x\sin(3x)\cdot 3 $$y derivando el denominador se tiene,
$$ (x^2)’=2x $$Aplicando la regla de L’Hôpital se tiene,
\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{\ln(x+1)-a\sin(x)+x\cos(3x)}{x^2} & =\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+1}-a\cdot \cos(x)+ \cos(3x)-x\sin(3x)\cdot 3}{2x} \\ \\ &= \frac{\frac{1}{0+1}-a\cdot \cos(0)+ \cos(3\cdot 0)-0\sin(3\cdot 0)\cdot 3}{2\cdot 0} \\ \\ &=\frac{1-a+1}{0} \end{align*}Una vez obtenido el límite vamos a ver para qué valores de \(a\) es finito. La idea será ver qué valores de \(a\) nos dan un límite infinito y cuales nos conducen a una indeterminación que se puede resolver. Para ello veamos para que valores de \(a\) el numerador se anula.
$$ 1-a+1=0\Leftrightarrow a=2 $$Por tanto si \(a\neq 2\) el numerador será distinto de 0 y tendremos un límite infinito lo cual se contradice con las hipótesis. Si elegimos \(a=2\) se tiene que el numerador valdrá 0 y tendremos otra indeterminación que resolver aplicando nuevamente la regla de L’Hôpital al límite,
$$ \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+1}-2\cdot \cos(x)+ \cos(3x)-x\sin(3x)\cdot 3}{2x} $$Obteniendo,
$$ \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{\frac{-1}{(x+1)^1}+2\cdot \sin(x)-3\sin(3x)-3\sin(3x)-9x\cos(3x)}{2}=-\dfrac{1}{2} $$Concluimos diciendo que el valor de \(a\) para el cual el límite es finito es \(a=2\) y el valor de límite es \(-1/2\).
Halle el valor del siguiente límite:
$$ \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-e^{\sin(x)}}{x^2} $$Comenzamos calculando el límite mediante la evaluación del valor \(x=0\).
$$ \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-e^{\sin(x)}}{x^2}=\frac{e^0-e^0}{0^2}=\frac{0}{0}\quad \text{Indet.} $$donde se ha usado que \(e^0=1\) y \(\sin(0)=0\)
.
Como hemos obtenido una indeterminación vamos a aplicar la regla de L’Hôpital para intentar resolverla. Obtenemos,
$$ \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-e^{\sin(x)}}{x^2}=\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-\cos(x)e^{\sin(x)}}{2x}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0} \quad \text{Indet.} $$De nuevo tenemos una indeterminación que habrá que resolver usando nuevamente la regla de L’Hôpital.
\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-\cos(x)e^{\sin(x)}}{2x}& =\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-\left( -\sin(x)e^{\sin(x)}+\cos^2(x)e^{\sin(x)} \right)}{2} \\ \\ &=\frac{1-(0+1)}{2}=\frac{0}{2}=0 \end{align*}En estos ejercicios hemos visto cómo aplicar la regla de L’Hôpital para resolver límites con indeterminaciones. Recuerda que si te ha gustado esta entrada puedes descubrir más material gratuito en mi blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre matemáticas o estadística puedes visitar mi canal de Youtube .