Función a trozos: Continuidad y derivabilidad

Por Carlos Martínez
Continuidad y derivabilidad de funciones a trozos

A lo largo de este post vamos a aprender como se estudia de manera correcta la continuidad y derivabilidad de una función a trozos.

Los ejercicios de continuidad y derivabilidad son muy comunes en las pruebas de selectividad y bachillerato por lo que una correcta preparación es imprescindible.

Si quieres, puedes ver ejercicios de continuidad y derivabilidad en los exámenes de selectividad Andalucía que tenemos resueltos paso a paso.

Para ello, será necesario recordar la definición de continuidad de una función en un punto y derivabilidad de una función en un punto.

Definición de continuidad en un punto

Una función \(f\) es continua en un punto \(a\) si y solamente si se verifica

$$ \lim_{x\longrightarrow a^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow a^+}f(x)=f(a) $$

Es decir, una función es continua en un punto si los límites laterales y la imagen de la función en ese punto coinciden.

Si lo deseas, puedes ver un vídeo sobre la continuidad de una función a trozos

Definición de derivabilidad en un punto

Dada una función \(f\) continua en un punto \(a\), se dice que es f estudioscarlosmartinez.es derivable en \(a\) si y solamente si

$$ \lim_{x\longrightarrow a^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow a^+}f'(x) $$

Partiendo de esta definición se tiene que una función solo será derivable en un punto si es continua en ese punto. En cambio, una función que no es continua en un punto no puede ser derivable en dicho punto.

Por tanto, inicialmente se estudiará la continuidad de la función y posteriormente la derivabilidad.

Para estudiar la continuidad es recomendable tener siempre el siguiente esquema con el que procederemos a realizar el estudio.

  1. Estudiamos la continuidad en los intervalos abiertos de definición de la función.

  2. Estudiamos la continuidad en los puntos de ruptura (los puntos donde la función cambia de expresión).

Para la derivabilidad, el proceso a seguir será similar,

  1. Estudiamos la derivabilidad en los intervalos abiertos de definición de la función.

  2. Estudiamos la derivabilidad en los puntos de ruptura donde sabemos que la función es continua

A continuación, vamos a resolver dos ejemplos paso a paso en los que estudiaremos la continuidad y derivabilidad de una función a trozos

Ejercicios continuidad y derivabilidad

Estudia la continuidad y derivabilidad de la función \(f\) definida por

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lcc} \displaystyle\frac{2x-3}{x+1} & si & x\leq 0 \\ \\ x^2+2x-3 & si & x>0\end{array} \right. $$

Para estudiar la continuidad y derivabilidad de una función existen una serie de pasos que hay que tener en cuenta. Antes de estudiar la continuidad de la función vamos a remarcar el dominio de definición de la función. Sabemos que los cocientes de polinomios no están definidos en aquellos puntos donde el denominador se anula, por tanto, tendremos que calcular dichos puntos y descartar los mismos del dominio de f estudioscarlosmartinez.es.

Sabemos que los puntos donde el denominador se anula se calculan imponiendo la condición

$$ x+1=0\longleftrightarrow x=-1 $$

Por tanto el valor \(x=-1\) es un punto donde la función \(f\) no está definida y es un punto que tendremos que eliminar al hablar de la continuidad en intervalos. Pasamos ya estudiar la continuidad y la derivabilidad.

  • Continuidad

Comenzamos estudiando la continuidad en los intervalos abiertos.

  • En \((-\infty,0)-\{-1\}\), \(f(x)\) es continua por ser un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula. Un polinomio es una función continua en todo \( \mathbb{R}\) y en particular lo es en dicho intervalo 
  • En \((0,\infty)\), \(f(x)\) es continua por se un polinomio.

Continuamos estudiando la continuidad en los puntos donde la función cambia de expresión.

  • En x=0 estudioscarlosmartinez.es.

f es continua en \(x=0 \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\longrightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^+}f(x)=f(0)\).

Veamos si se verifica dicha igualdad,

\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{2x-3}{x+1}=\frac{2\cdot 0-3}{0+1}=-3\\ &\lim_{x\longrightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}x^2+2x-3=0^2+2\cdot 0-3=-3 \\ &f(0)=-3 \end{align*}

Como se cumple la condición de continuidad en un punto podemos afirmar que \(f(x)\) es continua en \(x=0\).

  • Derivabilidad

Comenzamos estudiando la derivabilidad en los intervalos abiertos:

  • En \((-\infty,0)-\{ -1\}\), \(f(x)\) es derivable por ser un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula. Sabemos que los polinomios son funciones derivables en todo \mathbb{R} y en particular lo es en dicho intervalo
  • En \((0,\infty)\), \(f(x)\) es derivable por ser un polinomio.

Una vez justificado que la función es derivable en dichos intervalos podemos calcular la expresión de \(f'(x)\) en los mismos. No podemos calcular la derivada en los puntos donde la función cambia de expresión ya que no sabemos si ahí es derivable.

Calculamos entonces la expresión de \(f'(x)\) en dichos intervalos.

Recordad que tenemos un cociente de polinomios y hay que aplicar la derivada de un cociente.

$$ f'(x)=\left\{ \begin{array}{lcc} \displaystyle\frac{5}{(x+1)^2} & si & x< 0 \\ \\ 2x+2 & si & x>0 \end{array} \right. $$

Calculada la expresión de \(f'(x)\) podemos pasar a estudiar la derivabilidad en el punto donde la función cambia de expresión. Como \(f\) es continua en \(x=0\) tiene sentido estudiar la derivabilidad en ese punto y para ello usaremos la condición de derivabilidad en un punto

  • En \(x=0\).
\(f\) es derivable en \(x=0 \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\longrightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^+}f'(x)\)

Veamos si se verifica dicha igualdad,

\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}\displaystyle\frac{5}{(x+1)^2}=\frac{5}{0+1}=5 \\ &\lim_{x\longrightarrow 0^+}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}2x+2=0+2=2 \end{align*}

Como \(\displaystyle\lim_{x\longrightarrow 0^-}f'(x)\neq \lim_{x\longrightarrow 0^+}f'(x)\) podemos afirmar que \(f\) no es derivable en el punto \(x=0\).

Finalmente podemos representar la función del ejercicio para confirmar de manera gráfica todo el estudio realizado.

continuidad y derivabilidad de una funcion a trozos

Calcula los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=-1\) y \(x=0\).

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lcc} ax+1 & si & x \leq -1 \\ \\ \displaystyle\frac{x}{x+2} & si & -1 < x \leq 0 \\ \\ x^2-bx & si & x >0\end{array} \right. $$

A diferencia del ejercicio anterior, aunque en este tengamos que una expresión de \(f\) viene dada por un cociente de polinomios, el denominador no se anula en el intervalo donde está definida. Por tanto no tendremos que quitar ningún punto del dominio y todos los cálculos se realizarán como habitualmente.

Para estudiar la continuidad y derivabilidad de una función a trozos, empezamos imponiendo las condiciones de continuidad en los puntos \(x=-1\) y \(x=0\)

  • En \(x=-1\).

Para que \(f\) sea continua en \(x=-1\) se ha de verificar que

$$ \displaystyle\lim_{x\longrightarrow -1^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow -1^+}f(x)=f(-1) $$

Calculando los límites y la imagen del punto se obtiene,

\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow -1^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow -1}ax+1=a\cdot (-1)+1=-a+1\\ &\lim_{x\longrightarrow -1^+}f(x)=\lim_{x\longrightarrow -1}\frac{x}{x+2}=\frac{-1}{-1+2}=-1 \\ &f(-1)=a+1 \end{align*}

Como se debe verificar la condición de continuidad debe suceder que \(-a+1=-1\) y por tanto obtenemos,

$$ a=2 $$

Para que \(f\) sea continua en \(x=0\) se ha de verificar que

$$ \displaystyle\lim_{x\longrightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^+}f(x)=f(0) $$

Calculando los límites y la imagen del punto se obtiene,

\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{x}{x+2}=\frac{0}{0+2}=0\\ &\lim_{x\longrightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}x^2-bx=0 \\ &f(0)=0 \end{align*}

En este caso obtenemos que \(f(x)\) es continua en \(x=0\) sin arrojar ninguna condición sobre \(a\) o \(b\).

Pasamos entonces a estudiar la derivabilidad en los puntos que dice el enunciado. Para ello antes debemos justificar que \(f\) es derivable en los intervalos abiertos para poder así calcular la expresión de \(f'(x)\) en dichos intervalos. Además como \(f\) es continua en \(x=-1\) y \(x=0\) tiene sentido estudiar la derivabilidad en esos puntos.

  • En \((-\infty, -1)\), \(f\) es derivable independientemente del valor de \(a\) por ser un polinoio.
  • En \((-1,0)\), \(f\) es derivable por ser un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula.
  • En \((0,\infty)\), \(f\) es derivable independientemente del valor de \(b\) por ser un polinomio.

Podemos entonces calcular la expresión de \(f'(x)\).

$$ f'(x)=\left\{ \begin{array}{lcc} a & si & x< -1 \\ \\ \displaystyle \frac{2}{(x+2)^2} & si & -1 < x < 0 \\ \\ 2x-b & si & x > 0\end{array} \right. $$

Por tanto podemos ya imponer las condiciones de derivabilidad en los puntos \(x=-1\) y \(x=0\)

  • En \(x=-1\)

Para que \(f\) sea derivable en \(x=-1\) se ha de verificar que

$$ \displaystyle\lim_{x\longrightarrow -1^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow -1^+}f'(x) $$

Calculando los límites se obtiene,

\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow -1^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow -1}a=a\\ &\lim_{x\longrightarrow -1^+}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow -1}\frac{2}{(x+2)^2}=\frac{2}{(-1+2)^2}=2 \\ \end{align*}

Como habíamos obtenido que \(a=2\) no tenemos información nueva y sólo podemos afirmar que \(f\) es derivable en \(x=2\).

  • En \(x=0\).

Para que \(f\) sea derivable en \(x=0\) se ha de verificar que

$$ \displaystyle\lim_{x\longrightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^+}f'(x) $$

Calculando los límites se obtiene,

\begin{align*} &\lim_{x\longrightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{2}{(x+2)^2}=\frac{2}{(0+2)^2}=\frac{1}{2}\\ &\lim_{x\longrightarrow 0^+}f'(x)=\lim_{x\longrightarrow 0}2x-b=2\cdot 0-b=-b \\ \end{align*}

Para que \(f\) sea derivable en \(x=0\) se ha de verificar que \(b=-1/2\).

Concluimos que para \(a=2\) y \(b=-1/2\), \(f\) es continua y derivable en \(x=-1\) y \(x=0\).

Estos ejercicios muestran la manera correcta de estudiar la continuidad y derivabilidad de una función a trozos especialmente útiles para preparar la prueba de selectividad o Pevau.

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