Intervalo de confianza para la media y la proporción | Ejercicios resueltos intervalos de confianza
©2020 Carlos Martínez Martínez
A lo largo de este post aprenderás como resolver ejercicios sobre intervalos de confianza tanto para la media de una población normal como para la proporción de una población. En concreto, trabajaremos problemas planteados en examenes oficiales de selectividad de Andalucía.
Ejercicios Resueltos.
A continuación vamos a resolver una serie de ejercicios para el cálculo de intervalos de confianza tanto para la media poblacional como para la proporción. Estos ejercicios son extraídos de exámenes oficiales de selectividad y son muy apropiados para segundo de bachillerato.
Intervalo de confianza para la media poblacional
1. Un fabricante de PVC sabe que la distribución de los diámetros interiores de los tubos de conducción de agua que produce sigue una ley normal con varianza
Calcular un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 98% para la media de los diámetros de los tubos de la fábrica
Comenzamos definiendo una variable aleatoria de la forma 
=»Diámetro de los tubos de PVC».
Sabemos que \(\sigma^2=0’025\) y \(\mu\) es desconocida por el enunciado, por tanto,
$$ X\rightsquigarrow N(\mu,\sigma)=N(\mu,0’5) $$Vamos a hacer una estimación del parámetro \(\mu\) mediante el cálculo del intervalo de confianza. En el enunciado se afirma que se toma una muestra de tamaño y a partir de esa muestra se tiene que un intervalo de confianza para \(\mu\) viene dado por,
Para el cálculo del intervalo de confianza tendremos que calcular los valores \(\bar{X}\) y \(z_{\alpha/2}\). El procedimiento siempre el siguiente;
\(\bar{X}\) es la media de la muestra y nos dicen que la media de la muestra es de 20mm por lo que \(\bar{X}=20\). Para el cálculo de \(z_{\alpha/2}\) se seguirá el siguiente procedimiento. En primer lugar el nivel de confianza del intervalo es \(1-\alpha\), esto es,
$$ n.c=1-\alpha $$Por otra parte, \(z_{\alpha/2}\) es una valor de la distribución \(N(0,1)\) que deja a la derecha una probabilidad \(\alpha/2\). Por tanto hay que buscar un valor verificando,
$$ P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2} $$El nivel de confianza exigido es del 98%, por tanto,
$$ 0’98=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’02 $$Así,
$$ P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=1-\frac{0'02}{2}=0'99 $$Para calcular el valor \(z_{\alpha/2}\) buscamos dentro de la tabla de la distribución \(N(0,1)\) el valor \(0’99\). En la tala se observa que para el valor \(2’33\) se tiene una probabilidad de \(0’9898\) y para el valor \(2’33\) se obtiene una probabilidad \(0’9991\). Como el valor \(0’9991\) es muy próximo a \(0’99\) concluimos que,
$$ z_{\alpha/2}=2’33 $$Sin más que sustituir en la expresión del intervalo de confianza se tiene,
\begin{align*} \left( \bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&= \left( 20 -2’33\cdot\frac{0’5}{\sqrt{64}}, 20 +2’33\cdot\frac{0’5}{\sqrt{64}}\right)\\ \\ &=\left( 19’8543,20’1456\right) \end{align*}Finalmente podemos afirmar que \(\mu\) pertenece al intervalo \(\left( 19’8543,20’1456\right)\) con un nivel de confianza del 98% o equivalentemente, \(\mu\) pertenece a dicho intervalo con una probabilidad de \(0’98\).
Calcula el tamaño mínimo de la muestra para que la amplitud de un intervalo con ese mismo nivel de confianza sea inferior a 2mm.
Nos preguntan a cerca del tamaño de una muestra para que al realizar el I.C este tenga una amplitud inferior a 2mm con un nivel de confianza nuevamente del 98%.
Sabemos que en general, dado un intervalo de la fomra \((a,b)\) su amplitud se define como \(A=b-a\). Si consideramos la expresión general del I.C para \(\mu\) se tiene que,
$$ A=2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$donde \(z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) se define como el error y por consiguiente se tiene,
$$ A=2E $$Vamos a buscar el valor de \(n\) que nos de una amplitud exacta de 2mm. Es decir buscamos \(n\) verificando,
$$ 2=2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$Como el nivel de confianza es el mismo que en el apartado anterior, \(z_{\alpha/2}=2’33\). (si fuera distinto habría que calcular dicho valor de la misma forma que se hizo en el apartado anterior).
Despejando \(n\) en la expresión
$$ 2=2\cdot 2’33\cdot\frac{0’5}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \sqrt{n}=\frac{2\cdot 2’33\cdot 0’5}{2} \Leftrightarrow n=1’165^2\Leftrightarrow n=1’35 $$Si tomamos una muestra de tamaño \(n=1’35\) tubos se tiene una amplitud exacta de 2mm. Nos dicen que la amplitud deber ser inferior a 2mm por lo que hay que aumentar el tamaño de la muestra para así asegurar esa condición. Así, si redondeamos el valor de \(n\) al entero más próximo por encima tendremos resuelto el problema. Por tanto, para \(n=2\) se obtiene un I.C con una amplitud inferior a 2mm con un nivel de confianza del 98%.
2. El peso de los paquetes de levadura de una marca sigue una ley normal de desviación típica 0.3 Se desea construir un intervalo de confianza al 96% para estimar la media. Para ello se toma una muestra 9 paquetes obteniendo los siguientes pesos:
$$ 10\quad 9’9 \quad 10’04 \quad 9’5 \quad 10’1 \quad 9’8 \quad 10’2 \quad 10 \quad 10’3 $$Obtenga dicho intervalo de confianza.
Comenzamos definiendo la variable aleatoria \(X=\text{«Peso de los paquetes de levadura»}\). Según el enunciado se tiene,
$$ X\rightsquigarrow N(\mu, 0’3) $$El intervalo de confianza para \(\mu\) dada una muestra de tamaño \(n\) y a un nivel de confianza \(1-\alpha\) viene dado por,
$$ \left( \bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) $$En este caso no nos dan la media de la muestra pero nos dan las observaciones de la misma. Por tanto podemos calcular la media como,
$$ \bar{X}=\frac{10+9’9+10’04+9’5+10’1+9’8+10’2+10+10’3}{9}=9’98 $$A continuación vamos a calcular el valor \(z_{\alpha/2}\). Como se exige un nivel de confianza del 96% se tiene,
$$ 0’96=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’04 $$Buscamos a continuación el valor \(z_{\alpha/2}\) tal que,
$$ P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=1-\frac{0’04}{2}=0’98 $$
Buscando en la tabla de la distribución \(N(0,1)\)
se tiene que el valor \(2’05\) tiene una probabilidad de \(0’9798\) mientras que el valor \(2’06\) tiene una probabilidad de \(0’9803\). Como buscamos el valor cuya probabilidad es 0’98 tomamos el valor medio de \(2’05\) y \(2’06\), es decir
$$ z_{\alpha/2}=\frac{2’05+2’06}{2}=2’055 $$Sustituyendo los valores obtenidos en la expresión del intervalo de confianza para \(\mu\) se tiene,
\begin{align*} \left( \bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) &= \left( 9’98 -2’055\cdot\frac{0’3}{\sqrt{9}}, 9’98 +2’055\cdot\frac{0’3}{\sqrt{9}}\right) \\ \\ &=\left( 9’7745,10’1855\right) \end{align*}Concluimos diciendo que \(\left( 9’7745,10’1855\right)\) es un intervalo de confianza para \(\mu\) con un nivel de confianza del 96% o equivalentemente, la probabilidad de que \(\mu\) pertenezca al intervalo \(\left( 9’7745,10’1855\right)\) es 0’96.
Calcule el tamaño mínimo que deberá tener una muestra para que el error cometido al calcular el intervalo de confianza sea inferior a 0’1 con un nivel de confianza del 95%.
Sabemos que el error cometido en el cálculo de un I.C viene dado por
$$ E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$Y debemos obtener un valor de que nos asegure que dicho error es inferior a 0’1. Comenzamos calculando el valor de \(n\) para el cual se comete un error exacto de 0’1. Esto es, buscamos \(n\) tal que
En este caso, al tener un nuevo nivel de confianza, hay que calcular de nuevo el valor \(z_{\alpha/2}\). Dado que el nivel de confianza es del 95% se tiene,
$$ 0’95=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’05 $$Además buscamos el valor
$$ P(Z < z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=1-\dfrac{0’05}{2}$$
Observando la tabla de la distribución \(N(0,1)\) vemos que el valor \(1’96\) tiene una probabilidad de \(0’975\) por tanto,
$$ z_{\alpha/2}=1’96 $$Volviendo a la expresión del error, se tiene
$$ 0’1=1’96\cdot \frac{0’3}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \sqrt{n}= 1’96\cdot\frac{0’3}{0’1}\Leftrightarrow \sqrt{n}=5’88\Leftrightarrow n=34’57 $$Para \(n=34’57\) obtenemos un error de 0’1 exactamente. Nos exigen que el error debe ser inferior a 0’1 por lo que es necesario aumentar el tamaño de la muestra, es decir, redondear al entero superior más cercano. Así, redondeando hacia arriba el valor de \(n\) obtenemos,
$$ n=35 $$Para \(n=35\) se obtiene un error inferior a 0’1 al calcular un I.C con un nivel de confianza del 95%.
Intervalo de confianza para la proporción poblacional
1. Se desea estimar la proporción de jóvenes que ven una determinada serie de televisión. Para ello se toma una muestra de 100 jóvenes de los cuales, 36 ven la serie de televisión.
Determine un intervalo de confianza, al 96%, para los jóvenes que ven la serie de televisión.
Para la resolución de intervalos de confianza para la proporción deberemos realizar siempre el mismo procedimiento. Sabemos que el intervalo de confianza para la proporción de una población dada una muestra de tamaño viene dado por:
Donde el valor \(\hat{p}\) es la proporción de individuos que ven la serie de televisión de la muestra tomada y \(z_{\alpha/2}\), al igual que antes, es el valor de la distribución \(N(0,1)\) que deja a la derecha una probabilidad \(\alpha/2\) y donde el nivel de confianza es \(1-\alpha\).
En primer lugar nos dicen que de la muestra de 100 estudiantes 36 ven la serie de televisión, por tanto,
$$ \hat{p}=\frac{36}{100}=0’36 $$Por otra parte el nivel de confianza es del 96% luego,
$$ 0’96=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’04 $$A continuación buscamos un valor
$$ P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=0’98$$
Y buscamos en la tabla de frecuencias de la distribución \(N(0,1)\), el valor con una probabilidad asociada de 0’98. Observando la tabla vemos que el valor \(2’05\) tiene una probabilidad \(0’9798\) mientras que el valor \(2’06\) tiene una probabilidad \(0’9803\). Como buscamos el valor que de una probabilidad \(0’98\) tomamos el punto medio de \(2’05\) y \(2’06\), esto es,
$$ z_{\alpha/2}=2’055 $$Podemos entonces sustituir en la expresión del intervalo de confianza obteniendo,
\begin{align*} IC&= \left( 0’36-2’055\sqrt{\frac{0’36(1-0’36)}{100}}, 0’36+2’055\sqrt{\frac{0’36(1-0’36)}{100}} \right) \\ \\ &= \left( 0’26136,0’45864 \right) \end{align*}Cuando trabajamos con intervalos de confianza para la proporción el error cometido viene dado por,
$$ E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $$Y tendremos que estimar el valor de \(n\) para el error proporcionado.
Como se mantiene el nivel de confianza del apartado anterior, nuevamente tenemos
$$ z_{\alpha/2}=2’055 $$y la proporción sigue siendo la misma, \(\hat{p}=0’36\).
Nos dicen que el error cometido debe ser inferior a 0’03 por lo que vamos a calcular el valor de que produce un error exactamente de 0’03.
Si queremos garantizar que el error cometido sea menor que 0’03 habrá que aumentar el tamaño de la muestra y por tanto redondear el valor de \(n\) a \(n=1082\).
Concluimos con que para \(n=1082\) al calcular un intervalo de confianza para la proporción a nivel de confianza 96%, se comete un error inferior a 0’03.
En estos ejercicios se muestra la manera correcta de calcular intervalos de confianza para la media o la proporción poblacionales. Recuerda que si te ha gustado este post puedes descubrir más material gratuito y más ejercicios de selectividad o pevau visitando blog de matemáticas. Si te gustaría aprender más sobre matemáticas o estadística pueder visitar mi canal de Youtube
Muy bueno! Por fin entendí cuando se usa un intervalo o el otro! Gracias
Muchas gracias por el aporte, he entendido perfectamente los ejercicios resueltos de intervalos de confianza. Sube más contenidos de estadísticas para segundo de bachillerato porfa!!!
Muchas gracias Susana, puedes ver ejercicios de intervalos de confianza y problemas de estadística en la sección de exámenes resueltos de selectividad en Andalucía y próximamente subiré más contenidos de estadística