Producto escalar, vectorial y mixto

Por Carlos Martínez
Producto escalar vectorial y mixto en el espacio

A lo largo de este post vamos a estudiar y comprender las principales diferencias y usos de cada uno de los productos de vectores que se definen en el espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\). En concreto trabajaremos con el producto escalar vectorial y mixto.

Producto escalar

Consideremos dos vectores en \(\mathbb{R}^3\), \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) con coordenadas respectivamente,

$$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) \qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$$

La forma general del producto escalar de los vectores y se denota por y se define como:

$$ \vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\alpha) $$

donde\(|\vec{u}|\) y \(|\vec{v}|\) representan los módulos de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) y \(\alpha\) denota el ángulo que forman los dos vectores en el espacio.

Es importante resaltar que, como su nombre indica, el producto escalar da como resultado un escalar, es decir, un número.

Si consideramos nuevamente los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), el producto escalar puede definirse alternativamente de forma analítica como,

$$ \vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3 $$

Como se ha visto en la expresión general, el producto escalar depende del ángulo que forman los dos vectores. De forma más exacta se tiene la siguiente caracterización:

Caracterización de ortogonalidad

Dos vectores son ortogonales, es decir, forman un ángulo de 90º si y solamente si su producto escalar es igual a 0.

La pregunta evidente que cabe plantearse es, ¿qué definición de producto escalar debo usar?

La respuesta como siempre, es depende. En aquellos ejercicios en los que se involucre el cálculo del ángulo de un vector se utilizará la expresión general del producto escalar mientras que en otros ejercicios en los que se pide comprobar simplemente la perpendicularidad de vectores será más adecuado usar la expresión analítica del producto escalar.

Ejemplo ángulo que forman dos vectores

Dados los vectores \(\vec{u}=(-1,2,1)\) y \(\vec{v}=(3,-1,-1)\), ¿qué ángulo forman?

En primer lugar, como nos piden calcular el ángulo tendremos que utilizar la expresión del producto escalar que nos permita obtener el ángulo que forman los vectores (\(\alpha\))

De la expresión general de producto escalar, despejando \(\cos(\alpha)\), se tiene

$$ \vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\alpha) \Leftrightarrow \cos(\alpha)=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} $$

y de esta expresión se puede obtener el ángulo de los vectores de forma muy sencilla.

Utilizando la expresión analítica podemos calcular el valor del producto escalar

$$ \vec{u}\cdot \vec{v}=(-1,2,1)\cdot (3,-1,-1)=-1\cdot 3+ 2\cdot (-1)+ 1\cdot (-1)=-6 $$

Por otra parte, el módulo de los vectores viene dado por,

$$ |\vec{u}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}=\sqrt{6} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{11} $$

Sustituyendo en la expresión del coseno se obtiene,

$$ \cos(\alpha)=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{-6}{\sqrt{6}\sqrt{11}}=-0’738 $$

Finalmente, utilizando la función inversa del coseno se obtiene,

$$ \alpha=\arccos(0’738)=137’6 $$

Por tanto, el ángulo que forman los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es de \(137’6^\circ\)

Ejemplo perpendicularidad de vectores

Comprueba si los vectores \(\vec{u}=(-2,1,0)\) y \(\vec{v}=(1,2,4)\) son perpendiculares entre si.

Para resolver este ejercicio solo hay que tener en cuenta que dos vectores son perpendiculares si su producto escalar vale 0. Como solo tenemos la expresión de los vectores hay que utilizar la expresión analítica del producto escalar obteniendo que

$$ \vec{u}\cdot \vec{v}=(-2,1,0)(1,2,4)=-2+2+0=0 $$

Como el producto escalar vale 0 podemos afirmar que los vectores son perpendiculares.

Producto vectorial


Dados dos vectores en el espacio \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) y \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) el producto vectorial de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se denota como \(\vec{u}\times \vec{v}\).

El resultado del producto vectorial de dos vectores es un tercer vector(de ahí el nombre vectorial) que es perpendicular a los dos vectores originales. Su definición viene dada por

\begin{equation*} \vec{u}\times \vec{v}= \left( \begin{array}{ ccc } \left| \begin{matrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{matrix} \right | ,- \left| \begin{matrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{matrix} \right | , \left| \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{matrix} \right | \end{array} \right) \end{equation*}

Normalmente en la práctica se utiliza una regla muy extendida que consiste en calcular el producto vectorial a través del cálculo de un determinante usando los vectores de la base canónica ( o como en física los versores i, j y k).

Por otra parte es muy importante dar una interpretación geométrica del producto vectorial. En concreto debemos resaltar la siguiente propiedad:

El módulo del producto vectorial de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no es más que el área del paralelogramo que forman los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

paralelogramo

Ejemplo aplicación producto vectorial

Calcula el área del triángulo formado por los puntos \(A=(1,-1,0)\), \(B=(2,0,-1)\) y \(C=(1,-1,1)\).

La idea de este ejercicio es la siguiente, podemos calcular por ejemplo los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\). Utilizando la interpretación geométrica del producto vectorial podemos ver que para calcular el área del triángulo solo tenemos que considerar la mitad del área del paralelogramo que forman los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\)

area del triangulo formado por tres puntos

Comenzamos calculando los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\). Recordemos que de forma general, el vector definido entre los puntos \(A\) y \(B\) se calcula como \(\overrightarrow{AB}=B-A\). Aplicando esta definición tenemos,

\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=(2,0,-1)-(1,-1,0)=(1,1,-1) \\ \overrightarrow{AC}&=(1,-1,1)-(1,-1,0)=(0,0,1) \end{align*}

Ahora, es posible calcular el producto vectorial de los dos vectores obtenidos utilizando la regla del determinante y desarrollando por la primera fila,

$$ \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 1 &-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = \left( \begin{array}{ ccc } \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right | ,- \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right | , \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right | \end{array} \right) = (1,-1,0) $$

Finalmente, solo tenemos que hacer el módulo del vector obtenido y para calcular el área del triángulo dividiremos el resultado entre dos.

$$ Area(\bigtriangleup) =\frac{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} u^2 $$

Obteniendo así un área de \(\sqrt{2}/2\) unidades al cuadrado.

Producto mixto

Dados tres vectores en el espacio \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)\), el producto mixto de dichos vectores no es mas que una combinación de un producto vectorial con un producto escalar dando como resultado siempre un número. El producto mixto de tres vectores se denota por \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\) y se calcula como

$$ [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w}) $$

En la práctica se utilizará una regla muy simple, el producto mixto de tres vectores se calcula haciendo el determinante de los tres vectores dados.

Como interpretación geométrica, se tiene que el valor absoluto del producto mixto de los vectores \(u\), \(v\) y \(w\) no es más que el volumen del paralepípedo generado por dichos vectores.

volumen paralepipedo

A partir de esta interpretación es fácil calcular el volumen del tetraedro formado por tres vectores ya que éste, no es más que la sexta parte del volumen del paralepípedo.

$$ \text{Volumen tetraedro}=\frac{|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|}{6} $$
Volumen de un tetraedro

Ejemplo volumen del tetraedro

Calcular el volumen del tetraedo formado por los vectores \(\vec{u}=(-1,3,2)\), \(\vec{v}=(2,1,-1)\) y \(\vec{w}=(0,1,-1)\).

Comenzamos calculando el producto mixto de los tres vectores utilizando el determinante. Así obtenemos

$$ \left| \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right| = 10 $$

Tomando valores absolutos, se tiene que el paralepípedo generado por los tres vectores tiene un volumen de 10 unidades cúbicas. Por tanto el volumen de tetraedro está dada por,

$$ \text{Volumen tetraedro}=\frac{|10|}{6}=\frac{10}{6} u^3 $$

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