Ejercicios de probabilidad. Segundo de Bachillerato

Por Carlos Martínez
Ejercicios probabilidad segundo de bachillerato

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post aprenderemos a resolver uno de los ejercicios de probabilidad más típicos y que es válido para los cursos primero y segundo de bachillerato. En concreto trabajaremos con ejercicios sobre álgebra de sucesos y probabilidades asociadas.

Los ejercicios de probabilidad resueltos paso a paso que encontrarás más abajo son ejercicios extraídos de exámenes de selectividad oficiales (pevau) de Andalucía. Puedes encontrar exámenes oficiales de convocatorias anteriores en este enlace los cuales son útiles para la preparación del curso segundo de bachillerato.

Ejercicios de probabilidad resueltos algebra de sucesos segundo de bachillerato

¿Qué es un suceso aleatorio?

En el ámbito de la probabilidad uno de los elementos más importantes se denomina suceso o suceso aleatorio pero, ¿qué es realmente un suceso?

Si acudimos a la definición formal un suceso aleatorio es cualquier propiedad o característica formulada respecto al resultado de un experimento aleatorio cuya ocurrencia o no ocurrencia puede ser observada tras la realización de dicho experimento. Es decir, un suceso aleatorio no es más que uno de los posibles resultados que se obtienen tras la realización de un experimento aleatorio.

En este sentido es importante destacar que los sucesos aleatorios tienen asociado un valor entre 0 y 1, es decir, todos los sucesos tienen probabilidades asociadas.

¿Qué es el álgebra de sucesos?

Cuando se trabaja con sucesos aleatorios implícitamente se trabaja con espacios muestrales. Un espacio muestral no es más que el conjunto de todos los posibles resultados que se obtienen en un experimento aleatorio.

En este sentido, el álgebra de sucesos se entiende como el conjunto de todos los sucesos que definen un espacio muestral así como todas las operaciones que se pueden realizar entre dichos sucesos.

Las operaciones más importantes que se pueden definir entre dos sucesos cualesquiera y que siempre se preguntan en los ejercicios de probabilidad son:

  • Intersección: Ocurrencia al mismo tiempo de ambos sucesos
  • Unión: Ocurrencia de alguno de los dos sucesos
  • Condición: Ocurrencia de un suceso sabiendo la ocurrencia o no ocurrencia de otro.

Debido a la gran importancia de los ejercicios de probabilidad en los que se trabaja con álgebra de sucesos vamos a resolver algunos problemas paso a paso.

Estos ejercicios de probabilidad están realizados con el propósito de dar una guía de utilidad para superar los exámenes y pruebas de segundo de bachillerato, cursos en los que hay que ser rigurosos y explicar los procedimientos que se siguen.

ejercicios de probabilidad segundo de bachillerato

Ejercicios de probabilidad resueltos para segundo de bachillerato.

Para la realización de los siguientes ejercicios de probabilidad se utilizarán las expresiones y operaciones definidas en el ámbito del álgebra de sucesos las cuales se imparten en los cursos de primero y segundo de bachillerato.

1. Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que:

\(P(A)=0.5\) y \(P(B)= 0.3\)

a) Diga razonadamente si A y B son incompatibles  

Para la realización de este apartado debemos saber la definición de sucesos incompatibles. Dos sucesos se dice que son incompatibles si su intersección es el vacío o equivalentemente,

$$
P(A\cap B)=0
$$

Por tanto tenemos que ver cuánto vale la intersección de los sucesos A y B. Según el enunciado, los sucesos son independientes . Por definición dos sucesos son independientes si

$$
P(A/B)=P(A)
$$

En la práctica, esta condición es equivalente a que se verifique

$$
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
$$

En este caso se tiene,

$$
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0.5\cdot 0.3=0.15
$$

Por tanto, de la definición de independencia hemos obtenido que \(P(A \cap B)=0.15\neq 0\) por lo que podemos afirmar que los sucesos no son incompatibles.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A y no suceda B?

Nos preguntan por la probabilidad de que suceda A y no suceda B. En términos probabilísticos la letra «y» se traduce por intersección pues queremos que sucedan ambos sucesos. Por tanto nos están preguntado por el valor de

$$P(A \cap \bar{B})$$

Ahora veamos cómo calcular . Esta probabilidad se denomina probabilidad de la diferencia de sucesos y viene dada por:

$$P(A\cap \bar{B)}=P(A)-P(A\cap B)$$

Aplicando dicha definición y usando la información del enunciado tendríamos,

$$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=0.5-0.15=0.35$$


c)
Calcule

Por definición, la probabilidad condicionada de un suceso A a un suceso B viene dada por

Podemos aplicar esa definición para calcular la probabilidad pedida,

$$P(A/\bar{B)}=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$

Del apartado anterior tenemos,

$$P(A\cap \bar{B})=0.35$$

Por otra parte, tenemos que calcular la probabilidad del suceso \(\bar{B}\) dada por,

$$P(\bar{B})=1-P(B)=1-0.3=0.7$$

Así, sustituyendo en la expresión que nos piden se tiene,

$$P(A/\bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{0.35}{0.7}=0.5$$

2. Sean dos sucesos A y B tales que:

\(P(A)=0.25\) , \(P(B)= 0.6\) y \(P(A\cap \bar{B})=0.1\)

a) Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B.

Como sabemos, en los ejercicios de probabilidad, que ocurra A y que ocurra B se traduce por que ocurra la intersección. Así la probabilidad buscada es,

$$P(A\cap B)$$

Tenemos que buscar la expresión de la probabilidad de la intersección usando los datos que nos proporciona el ejercicio. En este caso recordemos la definición de la diferencia de sucesos

$$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=0.1$$

Despejando \(P(A\cap B)\), se tiene:

$$P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap \bar{B})=0.25-0.1=0.15$$

b) Calcule la probabilidad de que no ocurra A pero que si ocurra B.

En ese apartado nos piden la probabilidad de que no ocurra A pero que si ocurra B. Equivalentemente esto se puede ver como que no ocurra A y que si ocurra B. De nuevo nos encontramos ante la probabilidad de una intersección,

$$P(\bar{A}\cap B)$$

Para no confundirnos los más fácil es escribir esa probabilidad cambiando el orden de los sucesos,

$$P(\bar{A} \cap B)=P(B\cap \bar{A}) $$

y podemos, ahora que se ve más sencillo, aplicar nuevamente la definición de la diferencia de sucesos,

$$P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(B\cap A)$$

Como \(P(B\cap A)=P(A\cap B)\), podemos usar la información del apartado anterior para obtener,

$$P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(B\cap A)=P(B)-P(A\cap B)=0.6-0.15=0.45$$

c) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.

Para la resolución de este apartado muy típico en los ejercicios de probabilidad de segundo de bachillerato, tenemos que tener en cuenta que la palabra «sabiendo» va asociada a una condición. En concreto tenemos que calcular la probabilidad de A si ha ocurrido B, es decir,
$$
P(A/B)
$$

Por definición, la probabilidad condicionada de A a B se calcula como,


$$
P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$

Sustituyendo en la expresión los valores obtenidos anteriormente y los datos del enunciado tenemos,

$$
P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0.15}{0.6}=0.25
$$

d) ¿Son independientes A y B?

Sabemos que dos sucesos son independientes si

$$P(A/B)=P(A)$$

Del apartado c) tenemos que \(P(A/B)=0.25\) y del enunciado tenemos que \(P(A)=0.25\) por tanto podemos afirmar que sí son independientes.

3. Sean dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio tales que:

\(P(A)=0.8\) , \(P(B)= 0.7\) y \(P(A\cap \cup B)=0.94\)

a) ¿Son A y B sucesos independientes?

Para la resolución de este ejercicio de segundo de bachillerato tendremos en cuenta diferentes aspectos.

Sabemos que dos sucesos A y B son independientes si, por definición, se cumple que \(P(A/B)=P(A)\), o equivalentemente, dos sucesos son independientes si se cumple

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Necesitamos obtener el valor de \(P(A\cap B)\) por lo que utilizaremos los datos del enunciado. En concreto usaremos que \(P(A\cup B)=0.94\). Por definición, la probabilidad de la unión de dos sucesos viene dada por:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Podemos despejar \(P(A\cap B)\) de la expresión anterior obteniendo,

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$$

Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:

$$P(A\cap B)=0.8+0.7-0.94=0.56$$

Ahora podemos comprobar la condición de independencia obteniendo,

$$0.56=P(A\cap B)= P(A)\cdot P(B)=0.8\cdot 0.7=0.56$$

Concluimos que A y B son independientes.

b) Calcule la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B.

En este tipo de ejercicios de probabilidad nos preguntan por la probabilidad de A condicionada a B, es decir, \(P(A/B)\). Por definición de probabilidad condicionada tenemos,

$$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Aplicando dicha definición tenemos,

$$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0.56}{0.7}=0.8$$

c) Calcule la probabilidad \(P(\bar{A}\cup \bar{B})\)

En este apartado es necesario la utilización de las leyes de Morgan y la definición de suceso complementario. En primer lugar, una de las leyes de Morgan nos dice que,

$$P(\bar{A}\cup \bar{B})=P(\overline{A\cap B)}$$

Aplicando la definición de suceso complementario tenemos:

$$P(\bar{A}\cup \bar{B})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)$$

Sustituyendo los valores conocidos obtenemos,

$$P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)=1-0.56=0.44$$


Los ejercicios de probabilidad que hemos realizado son una muestra de cómo nos pueden plantear en un examen de segundo de bachillerato o en la prueba de selectividad los contenidos relativos al álgebra de sucesos.

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Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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