Examen de Matemáticas CC.SS Selectividad Junio 2021 Andalucía Resuelto

Por Carlos Martínez
examen de matematicas cc.ss selectivdad junio 2021 Andalucia

©2021 Carlos Martínez Martínez

A continuación podrás encontrar el examen de matematicas CC.SS de selectividad 2021 Andalucía resuelto paso a paso.

Si lo deseas puedes visitar mi p√°gina de ex√°menes de selectividad resueltos donde encontrar√°s ex√°menes de selectividad en Andaluc√≠a de distintos a√Īos resueltos paso a paso.

Ejercicio 1. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

Una empresa de recambios industriales produce dos tipos de bater√≠as, A y B. Su producci√≥n semanal debe ser de al menos 10 bater√≠as en total y el n√ļmero de bater√≠as de tipo B no puede superar en m√°s de 10 unidades a las fabricadas de tipo A. Cada bater√≠a de tipo A tiene unos gastos de producci√≥n de 150 euros y cada bater√≠a de tipo B de 100 euros, disponiendo de un m√°ximo de 6000 euros a la semana para el coste total de producci√≥n.
Si la empresa vende todo lo que produce y cada bater√≠a de tipo A genera un beneficio de 130 euros y la de tipo B de 140 euros, ¬Ņcu√°ntas bater√≠as de cada tipo tendr√°n que producir a la semana para que el beneficio total sea m√°ximo? ¬ŅCu√°l es ese beneficio?

Comenzamos definiendo las variables,

x=’n√ļmero de bater√≠as tipo A’
y=’n√ļmero de bater√≠as tipo B’

El sistema de inecuaciones asociado al problema es,

$$
\begin{align}
&x+y\geq 10 \\
&y\leq x+10 \\
&150x+100y\leq 6000 \\
&x \geq 0 \\
&y \geq 0
\end{align}
$$

Y la función beneficio viene dada por \(B(x,y)=130x+140y\)

La región factible junto con los vértices viene dada por,

region factible examen de matematicas cc.ss selectividad junio 2021 andalucia

Calculando los vértices como intersección de cada pareja de rectas obtenemos,

$$
A=(10,0) \qquad B=(0,10) \qquad C=(20,30) \qquad D=(40,0)
$$

Para calcular el máximo de la función beneficio en dicho recinto evaluamos los vértices en la función obteniendo,

$$
\begin{align}
F(A)=F(10,0)=1300 \\
F(B)=F(0,10)=1400 \\
F(C)=F(20,30)=6800 \\
F(D)=F(40,0)=5200 \\
\end{align}
$$

Por tanto, el beneficio m√°ximo se alcanza fabricando 20 bater√≠as tipo A y 30 bater√≠as tipo B obteniendo un beneficio de 6800‚ā¨

Ejercicio 2. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 0&2&-3 \\m&1&1\end{pmatrix}\), con \(m\) un par√°metro real.

a) (0.7 puntos) ¬ŅPara qu√© valores del par√°metro \(m\) existe la matriz inversa de \(A\)?

Sabemos que existe la matriz inversa de la matriz \(A\) solamente si su determinante es distinto de 0. Por ello, vamos a ver para qué valores de \(m\) el determinante es 0 y así podremos discutir la existencia de la matriz inversa.

$$
|A|=
\begin{vmatrix}
1 & -1 & m \\
0 & 2 & -3 \\
m& 1 &1
\end{vmatrix}
=(2+3m)-(2m^2-3)=0\Leftrightarrow -2m^2+3m+5=0\Leftrightarrow m=-1 \quad \text{y} \quad m=\dfrac{5}{2}
$$

Podemos afirmar que, para \(m\neq -1\) y \(m \neq \dfrac{5}{2}\), el determinante de \(A\) es distinto de 0 y por tanto existe la matriz inversa de \(A\)

b) (1.8 puntos) Para \(m=2\), resuelva la ecuación matricial \(X\cdot A-A^2=I_3\).

Comenzamos resolviendo de forma teórica la ecuación matricial,

$$
\begin{align}
X\cdot A-A^2=I_3 &\Leftrightarrow X \cdot A= I_3+A^2 \\
&\Leftrightarrow X\cdot A\cdot A^{-1}=(I_3+A^2)\cdot A^{-1} \\
&\Leftrightarrow X=A^{-1}+A
\end{align}
$$

Calculamos la expresión de \(A^{-1}\) utilizando que,

$$
A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^t)}{|A|}
$$

Para \(m=2\) la matriz \(A\) viene dada por \(A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2& 1 &1 \end{pmatrix}\).

Del apartado anterior sabemos que \(|A|=-2m^2+3m+5\), sustituyendo \(m=2\) tenemos \(|A|=3\).

Por otra parte,

$$
A^t=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & 1 \\
2 & -3 & 1
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\text{Adj}(A^t)=
\begin{pmatrix}
5 & 3 & -1 \\
-6 & -3 & 3 \\
-4& -3 & 2
\end{pmatrix}
$$

Obtenemos,

$$
A^{-1}=\dfrac{\begin{pmatrix}5 & 3 & -1 \\-6 & -3 & 3 \\-4& -3 & 2\end{pmatrix}}{3}=\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{3} & 1 & -\dfrac{1}{3} \\
-2 & -1 & 1 \\
-\dfrac{4}{3} & -1 & \dfrac{2}{3}
\end{pmatrix}
$$

Resolvemos la ecuación matricial obteniendo,

$$
X=A^{-1}+A=
\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{3} & 1 & -\dfrac{1}{3} \\
-2 & -1 & 1 \\
-\dfrac{4}{3} & -1 & \dfrac{2}{3}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 2 & -3 \\
2& 1 &1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{8}{3} & 0 & \dfrac{5}{3} \\
-2 & 1 & -2 \\
\dfrac{2}{3} & 0 & \dfrac{5}{3} \end{pmatrix}
$$

Ejercicio 3. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

Se considera la función \(f(x)=x^3-4x^2+4x\).

a) (1 punto) Estudie su monotonía y calcule sus extremos.

Para estudiar la montonía comenzamos calculando la derivada de la función \(f\) y la igualamos a 0.

$$
f'(x)=3x^2-8x+4=0\Leftrightarrow x=2\quad \text{y} \quad x=\dfrac{2}{3}
$$

Podemos afirmar que,

  • En \((-\infty,\dfrac{2}{3}), \, f'(x)>0 \Rightarrow f\) es creciente
  • En \((\dfrac{2}{3},2,) \, f'(x)<0 \Rightarrow f\) es decreciente
  • En \((2,\infty), \, f'(x)>0 \Rightarrow f\) es creciente

Como consecuencia del estudio de la monotonía podemos afirmar que en \(x=\dfrac{2}{3}\) existe un máximo relativo y sus coordenadas son \(\left( \dfrac{2}{3}, f\left(\dfrac{2}{3} \right)\right)=\left( \dfrac{2}{3} ,\dfrac{32}{27}\right) \)

Por otra parte, en \(x=2\) existe un mínimo relativo y sus coordenadas son \( (2,f(2))=(2,0)\)

b) (0.5 puntos) Represente gráficamente la función

Para representar la función usamos la información obtenida en el apartado anterior y si fuera necesario realizaríamos una tabla de valores para obtener algunos puntos más de la función. Obtenemos entonces,

grafica funcion examen de matem√°ticas CC.SS selectividad junio 2021 Andalucia

c) (0.5 puntos) Calcule \(\int f(x)dx\)

$$
\int x^3-4x^2+4x dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+2x^2+C
$$

d) (0.5 puntos) Calcule el √°rea del recinto acotado limitado por la gr√°fica de \(f\) y el eje de abscisas.

Para calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas solo tenemos que resolver,

$$
\int_0^2f(x)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+2x^2 \right]_0^2=\left( \dfrac{16}{4}-\dfrac{32}{3}+8\right)-(0)=\dfrac{4}{3} \, u^2
$$

Ejercicio 4. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

a) (1 punto) Calcule la derivada de las siguientes funciones

$$
f(x)=\ln \left( \dfrac{x-1}{x+1}\right) \qquad g(x)=x^3\cdot e^{2x^2}
$$

Para calcular la derivada de la función \(f\) utilizamos la regla de derivación de logaritmo junto con la derivada de un cociente al aplicar la regla de la cadena,

$$
f'(x)=\dfrac{\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}}{\dfrac{x-1}{x+1}}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+1)^2}}{\dfrac{x-1}{x+1}}=\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{2}{x^2-1}
$$

Para calcular la derivada de la función \(g\) utilizamos la regla de derivación de un producto junto con la derivada de una función exponencial para poder aplicar la regla de la cadena,

$$
g'(x)=3x^2\cdot e^{2x^2}+x^3\cdot 4xe^{2x^2}=e^{2x^2}(3x^2+4x^4)
$$

b) (0.7 puntos) Represente gráficamente la parábola \(h(x)=x^2+x+1\), indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.

Calculamos los puntos de corte con los ejes. En primer lugar imponemos \(h(x)=0\) para calcular los puntos de corte con el eje x, por tanto tenemos que resolver la ecuación,

$$
x^2+x+1=0
$$

La cual no tiene solución por lo que no existen puntos de corte con el eje x. Para calcular el punto de corte con el eje y imponemos \(x=0=\) obteniendo \( y=1\). Por tanto la parábola corta al eje en el punto de coordenadas \((0,1)\).

Sabemos que el vértice se calcula como \(V=\left(\dfrac{-b}{2a},h\left( \dfrac{-b}{2a}\right) \right)\). Obteniendo,

$$
\dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{1}{2} \quad \text{y}\quad h\left( -\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}
$$

Y la función buscada es,

parabola examen de matematicas cc.ss selectividad junio 2021 andalucia

c) (0.8 puntos) Calcule el √°rea del recinto limitado por la gr√°fica de \(h(x)=x^2+x+1\), el eje de abscisas y las rectas \(x=-\dfrac{1}{2}\) y \(x=0\)

El √°rea pedida se obtiene sin m√°s que resolver la integral,

$$
\int_{-1/2}^0 x^2+x+1 dx=\left[ \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_{-1/2}^0=\dfrac{5}{12}\, u^2
$$

Ejercicio 5. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

Se desea probar la eficacia de dos tipos de vacunas, A y B, contra un virus determinado. Para ello, se seleccionan 5000 voluntarios sin anticuerpos para este virus, a los que se les administra una de las vacunas o un placebo, resultando que 3000 reciben la vacuna A, 1500 la B y el resto el placebo. Se comprueba que el 90% de los vacunados con la A y el 95% de los vacunados con la B, generan anticuerpos, no generando anticuerpos los que han recibido el placebo. Se selecciona uno de esos voluntarios al azar.

a) (1.5 puntos) ¬ŅCu√°l es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?

Comenzamos este ejercicio definiendo los siguientes sucesos.

  • A=’Ser vacunado con la vacuna tipo A’
  • B=’Ser vacunado con la vacuna tipo B’
  • Pl=’Recibir placebo’
  • G=’Generar anticuerpos’

A partir de los datos del enunciado podemos obtener las siguientes probabilidades representadas en un diagrama de √°rbol

diagrama de arbol examen matematicas cc.ss selectividad junio 2021 andalucia

Para calcular la probabilidad pedida utilizaremos el Teorema de la Probabilidad Total,

$$
P(G)=P(A)\cdot P(G/A)+P(B)\cdot P(G/B)=0’6\cdot 0’9+0’3\cdot 0’95=0’825
$$

b) (1 punto) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¬Ņqu√© probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?

Para resolver este apartado utilizamos el Teorema de Bayes,

$$
P(Pl/\overline{G})=\dfrac{P(Pl)\cdot P(\overline{G}/Pl)}{P(\overline{G})}=\dfrac{P(Pl)\cdot P(\overline{G}/Pl)}{1-P(G)}=\dfrac{0’1\cdot 1}{1-0’825}=0’571
$$

Ejercicio 6. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

De las compras realizadas en el √ļltimo periodo de rebajas del pasado a√Īo, el 55% se dedicaron a productos electr√≥nicos, el 72% se hicieron a trav√©s de internet y, de las compras que se hicieron por internet, el 64% fueron de productos electr√≥nicos. Se elige una compra al azar.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por internet.

Para realizar este ejercicio comenzamos definiendo los siguientes sucesos,

  • E=’Comprar productos electr√≥nicos’
  • I=’Comprar a trav√©s de internet’

Por el enunciado sabemos que,

$$
P(E)=0’55 \quad P(I)=0’72 \quad P(E/I)=0’64
$$

Nos piden que calculemos \(P(E\cap I)\). Utilizando la definición de probabilidad condicionada y los datos del enunciado tenemos,

$$
P(E/I)=\dfrac{P(E\cap I)}{P(I)}\Leftrightarrow 0’64=\dfrac{P(E\cap I)}{0’72}\Leftrightarrow P(E\cap I)=0’64\cdot 0’72=0’4608
$$

b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que la compra se haya realizado por internet o que se hayan comprado productos electrónicos.

En esta ocasión nos piden que calculemos \(P(I\cup E)\). Aplicando la probabilidad de la unión tenemos,

$$
P(I\cup E)=P(I)+P(E)-P(I\cap E)=0’72+0’55-0’4608=0’8092
$$

c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sabiendo que no se compraron productos electrónicos, la compra no se hiciera a través de internet.

Aquí debemos calcular \(P(\overline{I}/\overline{E})\). Para ello usamos la definición de probabilidad condicionada junto con las leyes de Morgan,

$$
P(\overline{I}/\overline{E})=\dfrac{P(\overline{I}\cap\overline{E})}{P(\overline{E}}=\dfrac{P(\overline{I\cup E})}{1-P(E)}=\dfrac{1-P(I\cup E)}{1-P(E)}=\dfrac{1-0’8092}{1-0’55}=0’424
$$

Ejercicio 7. Examen de matemáticas CC.SS selectividad Junio 2021 Andalucía

a) (1.5 puntos) En una Escuela Polit√©cnica hay matriculados en el √ļltimo curso 60 estudiantes de Ingenier√≠a El√©ctrica, 40 de Ingenier√≠a Inform√°tica, 30 de Ingenier√≠a Civil, 50 de Ingenier√≠a Mec√°nica y 20 de Ingenier√≠a Aeron√°utica. Se quiere hacer una encuestas al 20% de estos estudiantes, de manera proporcional al n√ļmero de matriculados en cada titulaci√≥n.

1. ¬ŅQu√© tipo de muestreo se debe emplear?

Para realizar un muestreo de manera proporcional lo más adecuado es realizar un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional.

2. ¬ŅCu√°ntos alumnos debe haber en la muestra y cu√°ntos de cada titulaci√≥n?

En esta ocasión tenemos un total de \(N=60+40+30+50+20=200\) alumnos. Como queremos hacer una muestra al 20% de los estudiantes obtenemos que \(n=40\) alumnos.

Adem√°s sabemos que \(N_1=60\), \(N_2=40\), \(N_3=30\), \(N_4=50\) y \(N_5=20\),

Como estamos ante un muestreo aleatorio estratificado se ha de verificar que,

$$
\dfrac{n}{N}=\dfrac{n_1}{N_1}=\dfrac{n_2}{N_2}=\dfrac{n_3}{N_3}=\dfrac{n_4}{N_4}=\dfrac{n_5}{N_5}
$$

Utilizando los datos del enunciado obtenemos,

$$
\begin{align}
&\dfrac{40}{200}=\dfrac{n_1}{60}\Leftrightarrow n_1=\dfrac{40\cdot 60}{200}=12 \\ \\
&\dfrac{40}{200}=\dfrac{n_2}{40}\Leftrightarrow n_1=\dfrac{40\cdot 40}{200}=8 \\ \\
&\dfrac{40}{200}=\dfrac{n_3}{30}\Leftrightarrow n_4=\dfrac{40\cdot 30}{200}=6 \\ \\
&\dfrac{40}{200}=\dfrac{n_4}{50}\Leftrightarrow n_1=\dfrac{40\cdot 50}{200}=10 \\ \\
&\dfrac{40}{200}=\dfrac{n_5}{20}\Leftrightarrow n_1=\dfrac{40\cdot 20}{200}=4 \\ \\
\end{align}
$$

Por tanto la muestra est√° compuesta por,

  • 12 Alumnos de Ingenier√≠a El√©ctrica
  • 8 Alumnos de Ingenier√≠a Inform√°tica
  • 6 Alumnos de Ingenier√≠a Civil
  • 10 Alumnos de Ingenier√≠a Mec√°nica
  • 4 Alumnos de Ingenier√≠a Aeron√°utica

b) (1 punto) Dada la poblaci√≥n \(\{ a,\,10,\,12,\,11,\,18\}\),¬Ņcu√°nto debe valer \(a\), sabiendo que la media de las medias muestrales de tama√Īo 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple es 13.2?

En esta ocasión tenemos que utilizar la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional, es decir,

$$
13’2=\dfrac{a+10+12+11+18}{3}\Leftrightarrow 66=a+51\Leftrightarrow a=15
$$

Ejercicio 8. Examen de matemáticas CCSS selectividad Junio 2021 Andalucía

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ellos, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

a) Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.

Sabemos que el intervalo de confianza para la proporción de individuos que están en contra de la construcción de la central nuclear viene dado por,

$$
\left( p-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right)
$$

donde \(p\) es la proporci√≥n de individuos de la muestra que est√° en contra de la construcci√≥n de la central nuclear. Luego \(p=45/100=0’45\)

Sabemos que el nivel de confianza es del 92% luego,

$$
0’92=1-\alpha\Rightarrow \alpha=0’08
$$

A continuación, buscamos un valor \(z_{\alpha /2}\) tal que,

$$
P(Z < z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}=0’96
$$

Y buscamos en la tabla de frecuencias de la distribuci√≥n N‚Ā°(0,1), el valor con una probabilidad asociada de 0‚Äô96. Observando la tabla vemos que el valor 1’75 tiene una probabilidad 0‚Ä≤‚ĀĘ9599 mientras que el valor 1’76 tiene una probabilidad 0‚Ä≤‚ĀĘ9608. Como buscamos el valor que de una probabilidad 0‚Ä≤‚ĀĘ96 tomamos el punto medio de 1’75 y 1’76, esto es,

$$
z_{\alpha /2}=1’755
$$

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza tenemos,

$$
\begin{align*} IC&= \left( 0’45-1’755\sqrt{\frac{0’45(1-0’45)}{100}}, 0’45+1’755\sqrt{\frac{0’45(1-0’45)}{100}} \right) \\ \\ &= \left( 0’3627,0’5373 \right) \end{align*}
$$

b) Suponiendo que se mantiene la misma proporci√≥n muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tama√Īo m√≠nimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporci√≥n de individuos de esa localidad que rechazan la construcci√≥n de la central, el error cometido sea inferior al 5%.

El error cometido viene dado por,

$$
E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
$$

Como el nivel de confianza y la proporción de individuos es la misma que en el apartado anterior tenemos,

$$
\begin{align} 0‚Äô05=1’755\sqrt{\frac{0‚Äô45(1-0‚Äô45)}{n}}&\Leftrightarrow 0‚Äô05 =1’755\frac{\sqrt{0‚Äô45(1-0‚Äô45)}}{\sqrt{n}} \\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n}=1’755\frac{\sqrt{0‚Äô45(1-0‚Äô45)}}{0‚Äô05} \\ \\ &\Leftrightarrow n=304’95 \end{align}
$$

Si queremos garantizar que el error cometido sea menor que 0‚Äô05 habr√° que aumentar el tama√Īo de la muestra y por tanto redondear el valor de n a \(n=305\)


Esta es una resolución personal de todos los ejercicios del examen de matemáticas CC.SS de la convocatoria de selectividad de Junio de 2021 en Andalucía (Pevau) por lo que otras soluciones planteadas también pueden ser válidas.

Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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