Solución examen de Matemáticas CC.SS Pevau Junio 2020

Por Carlos Martínez
examen de matematicas cc.ss pevau 2020

©2020 Carlos Martínez Martínez

A lo largo de este post podrás encontrar la solución del examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales en la prueba de selectividad (pevau) 2020.

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Como ya sabes el examen de este año ha tenido una estructura distinta y se ha dividido en bloques. En la asignatura de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales era necesario realizar cuatro ejercicios de al menos tres bloques distintos entre los ocho ejercicios propuestos.

A continuación podrás ver cómo se resuelve cada uno de los ocho ejercicios propuestos.

Ejercicio 1

Sean \(A\), \(B\), \(X\) e \(Y\) matrices invertibles que verifican \(A\cdot X=B\) y \(B\cdot Y=A\)

a) Compruebe que \(Y^{-1}=X\)

Dado que \(A\cdot X=B\) podemos sustituir el valor de \(B\) en \(B\cdot Y=A\) obteniendo

$$
BY=A \Leftrightarrow AXY=A \Leftrightarrow XY=I \Leftrightarrow X=Y^{-1}
$$

b) Para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & -1\end{pmatrix}\) halle \(X\) e \(Y\).

En este apartado tenemos que resolver dos sencillas ecuaciones matriciales

Del enunciado es claro que se pueden hallar expresiones para \(X\) e \(Y\) obteniendo,

\begin{equation*}
AX=B\Leftrightarrow X=A^{-1}B \qquad \text{y} \qquad BY=A \Leftrightarrow Y=B^{-1}A
\end{equation*}

Calculando las matrices inversas deseadas usando que,

$$
A^{-1}=\frac{Adj(A^t)}{|A|} \qquad \text{y} \qquad B^{-1}=\frac{Adj(B^t)}{|B|}
$$

Obtenemos,

$$
A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
$$

Sustituyendo en las expresiones de \(X\) e \(Y\) se obtiene,

$$
X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
$$

$$
Y=B^{-1}A=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 5/2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}
$$

Ejercicio 2

a) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1200 y 1500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble d horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos.

Comenzamos definiendo las variables del problema, en este caso

\(X=\text{«Número de horas de funcionamiento de la cadena A»}\)

\(Y=\text{«Número de horas de funcionamiento de la cadena B»}\)

Podemos definir la función coste de producción como:

$$
C(x,y)=1200X+1500Y
$$

Con las siguientes condiciones,

\begin{align}
&x \leq 2y \\
&10x+7y \geq 400 \\
&5x+6y \geq 280 \\
&x \geq 0 \\
&y \geq 0
\end{align}

b) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices.
$$
x+2y\geq 7 \quad 4x-y\geq 1 \quad 2x-y \leq 4 \quad 3x+2y\leq 20 \quad x\geq 0 \quad y\geq 0
$$
Obtenga el valor mínimo de la función \(F(x,y)=2x+y\) en el recinto anterior así como el punto en el que se alcanza.

La región factible viene representada por,

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Calculamos a continuación los vertices como intersección de cada par de rectas obteniendo,

$$
A=(3,2) \qquad B=(1,3) \qquad C=(2,7) \qquad D=(4,4)
$$

Para calcular el mínimo de la función evaluamos cada uno de los vértices obtenidos dando como resultado,

\begin{align}
F(A)=F(3,2)=8 \\
F(B)=F(1,3)=5 \\
F(C)=F(2,7)=11 \\
F(D)=F(4,4)=12 \\
\end{align}

Por tanto el valor mínimo de la función \(F(x,y)\) es \(5\) y se alcanza en el vértice \(B=(1,3)\)

Ejercicio 3

Se considera la función \(f(x)=ax^3+bx+4\), con \(a\) y \(b\) números reales.

a)Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) tenga un extremo relativo en el punto \((2,36)\).

Si la función tiene un extremo relativo en dicho punto se desprenden dos condiciones:

$$
f'(2)=0 \qquad \text{y} \qquad f(2)=36
$$

Podemos calcular la derivada de la función \(f\) mediante las reglas de derivación obteniendo \(f'(x)=3ax^2+b\)

\begin{align}
&f'(2)=0\Leftrightarrow 12a+b=0 \\
&f(2)=36 \Leftrightarrow 8a+2b+4=36 \end{align}

Resolviendo ese sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene,

$$
a=-2 \quad y \quad b=24
$$

b) Para \(a=4\) y \(b=-3\) estudie la monotonía de \(f\) y determine sus extremos relativos.

La nueva función viene dada por \(f(x)=4x^3-3x+4\).

Calculamos los valores donde la derivada se anula,

$$
f'(x)=12x^2-3=0 \Leftrightarrow 12x^2=3 \Leftrightarrow x^2=\frac{1}{4} \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{2}
$$

Para estudiar la monotonía estudiamos el signo de la función derivada y para ello es una buena idea representar la función derivada.

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A la vista del signo de la derivada podemos afirmar que,

En \((-\infty, -1/2)\cup (1/2, \infty)\) f es creciente pues \(f'(x)>0 \quad \forall x\)
En \((-1/2,1/2)\) f es decreciente ya que \(f'(x)>0 \quad \forall x\)
Como consecuencia del estudio de la monotonía podemos afirmar que existe un máximo relativo en \(x=-1/2\) cuyas coordenadas son \((-1/2,5)\) y un mínimo relativo en \(x=1/2\) cuyas coordenadas son \((1/2,3)\).

c) Para \(a=4\) y \(b=-3\) calcule la función \(F(x)\) que verifica \(F'(x)=f(x) y F(2)=10\)

En este apartado nos están pidiendo que calculemos la primitiva de la función \(f\) que pasa por el punto \((2,10)\)

$$
F(x)=\int 4x^3-3x+4 dx=\frac{4x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+4x=x^4-\frac{3}{2}x^2+4x+C
$$

Imponiendo que la función pasa por el punto dado se obtiene,

$$
F(2)=16-\frac{3}{2}4+16+C=10 \Leftrightarrow C=-8
$$

Así, la función pedida es

$$
F(x)=x^4-\frac{3}{2}x^2+4x-8
$$

Ejercicio 4

a)Calcule la derivada de las siguientes funciones
$$
f(x)=(-5+x^2)^2\cdot e^{3x} \qquad g(x)=\frac{\ln(x^3-5x)}{1-x^2}
$$

Este ejercicio se basa en la utilización de las reglas de derivación de funciones reales.

$$
f'(x)=2(-5+x^2)2xe^{3x}+(-5+x^2)^2e^{3x}3=e^{3x}(-5+x^2)(3x^2+4x-15)
$$

$$
g'(x)=\frac{\frac{3x^2-5}{x^3-5x}(1-x^2)-\ln(x^3-5x)(-2x)}{(1-x^2)^2}
$$

b) Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de \(h(x)=-x^2+2x+3 \) y el eje de abscisas

En primer lugar vamos a calcular los puntos de corte entre la función \(h(x)\) y el eje de abscisas o lo que es lo mismo, vamos a calcular las raíces de la función.

$$
h(x)=0 \Leftrightarrow -x^2+2x+3=\Leftrightarrow x=-1 \quad \text{y} \quad x=3
$$

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El área de dicho recinto viene dada por,

$$
\int_{-1}^3-x^2+2x+3 dx=\left[ \frac{-x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}+3x\right]_{-1}^3=\frac{32}{3} \quad u^2
$$

Ejercicio 5

A 120 estudiantes se les ha recomendado la lectura de dos libros. Se sabe que 46 de ellos han leído el primer libro recomendado, 34 el segundo y 16 estudiantes han leído ambos libros. Se elige un estudiante al azar.

Antes de empezar con la resolución de los apartados definimos los sucesos y las probabilidades asociadas a los mismos.

$$
P=\text{«Leer el primer libro recomendado»} \qquad S=\text{«Leer el segundo libro recomendado»}
$$

$$
P(P)=\frac{46}{120}=\frac{23}{60} \quad P(S)=\frac{34}{120}=\frac{17}{60} \quad P(P \cap S)=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}
$$

a) Calcula la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.

$$
P(P\cup S)=P(P)+P(S)-P(P\cap S)=\frac{23}{60}+\frac{17}{60}-\frac{2}{15}=\frac{8}{15}
$$

b) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros

$$
P(\bar{P} \cap \bar{S})=P(\overline{P\cup S})=1-P(P\cup S)=1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}
$$

c) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.

$$
P(P\cap \bar{S})=P(P)-P(P\cap S)=\frac{23}{60}-\frac{2}{15}=\frac{1}{4}=0’25
$$

d) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.

$$
P(P/ \bar{S})=\frac{P(P\cap \bar{S})}{P(\bar{S})}=\frac{1/4}{1-\frac{17}{60}}=\frac{15}{43}
$$

Ejercicio 6

Las bicicletas de alquiler de una ciudad se clasifican por su calidad: buena, media y mala. El 30% de dichas bicicletas son gestionadas por una empresa E1 y el resto por una empresa E2. De las bicicletas de la empresa E1, el 80% son de buena calidad, el 5% de calidad media y el resto de mala calidad. De las bicicletas de la empresa E2, se sabe que el 60% son de buena calidad, pero se desconocen los porcentajes de bicicletas de calidad media y calidad mala. Se elige al azar una bicicleta de alquiler de esa ciudad.

Antes de resolver los apartados que nos proponen vamos a definir los sucesos asociados al problema y el diagrama de árbol con las probabilidades asociadas.

\begin{align}
&E1=\text{«Estar gestionada por la empresa E1»}\\
&E2= \text{«Estar gestionada por la empresa E2»}\\
&B=\text{«Ser bicicleta de buena calidad»}\\
&ME=\text{«Ser bicicleta de calidad media»}\\
&M=\text{«Ser bicicleta de calidad mala»}
\end{align}

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a) Calcula la probabilidad de que sea de buena calidad.

Por el Teorema de la Probabilidad Total tenemos:

$$
P(B)=P(E1)\cdot P(B/ E1)+P(E2)\cdot P(B/E2)=0’3\cdot 0’8+0’7\cdot 0’6=0’66
$$

b) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa E1 y de mala calidad.

Tenemos que calcular \(P(E1\cap M)\)

Usamos que \(P(M/E1)=\frac{P(M\cap E1)}{P(E1)}\) por lo que
$$
P(M\cap E1)=P(M/E1)\cdot P(E1)=0’3\cdot 0’15=0’045
$$

c) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19%, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa E2?
Del enunciado se deduce que \(P(ME)=0’19\) y nos piden calcular \(P(ME/E2)\). Utilizando el Teorema de la Probabilidad total se tiene,

$$
P(ME)=P(E1)\cdot P(ME/E1)+P(E2)\cdot P(ME/E2)=0’19
$$

Por tanto,
$$
P(ME/E2)=\frac{0’19-0’3\cdot 0’05}{0’7}=0’25
$$

Ejercicio 7

La vida útil, en años, de las lavadoras de un determindo modelo, se distribuye según una ley Normal de varianza 7.84. En una muestra de 12 lavadoras, la vida útil en años ha sido:
$$
9.5\quad 9 \quad 10.2 \quad 8.6 \quad 11.4 \quad 10.8 \quad 12.6 \quad 11 \quad 11.8 \quad 14.5 \quad 10.4 \quad 9.8
$$

a) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al 93.5% para estimar la vida últil media de estas lavadoras

Claramente estamos ante un ejercicios de intervalo de confianza para la población normal. Comenzamos definiendo la variable

$$
X=\text{«Tiempo de vida útil de las lavadoras de un determinado modelo»}
$$

Sabemos por el enunciado que \(X\rightsquigarrow N(\mu ,\sqrt{7’84})=N(\mu, 2’8)\)

El intervalo de confianza para la media de una población normal viene dado por:

$$\left( \bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
$$

En primer lugar,
$$
n.c=1-\alpha \Leftrightarrow 0.935=1-\alpha \Leftrightarrow \alpha=0.065
$$

Buscamos un valor \(z_{\alpha/2}\) de la distribución normal que deje a la izquierda una probabilidad de \(1-\alpha/2\), es decir,


$$P(Z<z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}\Leftrightarrow P(Z<z_{\alpha/2})=0’9675$$

Buscando dicho valor en la trabla de la distribución \(N(0,1)\) se tiene,

$$z_{\alpha/2}=1’845$$

Por otra parte se tiene que,
$$
\bar{x}=\frac{9.5+ 9 + 10.2 + 8.6 + 11.4 + 10.8 + 12.6 + 11+ 11.8 + 14.5 + 10.4 + 9.8}{12}=10’8
$$
Sustituyendo en la expresión del intervalo de confiazna tenemos,

$$
\left( 10’8 -1’845\cdot\frac{2’8}{\sqrt{12}}, 10’8 +1’845\cdot\frac{2’8}{\sqrt{12}}\right) =(9’3087,12’2912)
$$

b) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del 99%

Sabemos que el error de estimación viene dado por,
$$
E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
Como el nivel de confianza cambia, el valor \(z_{\alpha/2}\) también, obteniendo en este caso \(\alpha=0.01\) y

$$P(Z<z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}\Leftrightarrow P(Z<z_{\alpha/2})=0’995$$

Obteniendo \(z_{\alpha/2}\)=2’575. Sin más que sustituir en la expresión del error se tiene,
$$
E=2’575\frac{2’8}{\sqrt(50)}=1’0196 \text{ años}
$$

Ejercicio 8

La renta anual de los hogares andaluces, en miles de euros, se distribuye según una ley Normal con desviación típica 5 y media desconocida \(\mu\).

a) Si se desea que en el 99% de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no difiera de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras?

Sea \(X=\text{«Renta anual de los hogares andaluces»}\)

En este apartado nos piden el valor de \(n\) para que la diferencia entre la estimación del parámetro y su verdadero valor no difiera en más de una unidad, es decir buscamos \(n\) para que el error cometido sea inferior a uno.

$$
E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
Comenzamos bucando el valor \(\alpha\),

$$
n.c=1-\alpha \Leftrightarrow 0.99=1-\alpha \Leftrightarrow \alpha=0.01
$$

Buscamos un valor \(z_{\alpha/2}\) de la distribución normal que deje a la izquierda una probabilidad de \(1-\alpha/2\), es decir,
$$P(Z<z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}\Leftrightarrow P(Z<z_{\alpha/2})=0’995$$

Obteniendo, \(z_{\alpha/2}\)=2’575 y sustituyendo en la expresión del error se tiene,

$$
1=2’575\cdot \frac{5}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \sqrt{n}= 2’575\cdot\frac{5}{1}\Leftrightarrow \sqrt{n}=12’875\Leftrightarrow n=165’76
$$

Para \(n=175’76\) obtenemos un error de 1 exactamente. Nos exigen que el error debe ser inferior a 1 por lo que es necesario aumentar el tamaño de la muestra, es decir, redondear al entero superior más cercano. Así obtenemos,

$$n=166$$

b) Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100,¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria «Renta media anual muestral»?

El Teorema central del límite nos da una caracterización para la distribución de las medias muestrales,

Si \(X\rightsquigarrow N(\mu,\sigma)\longrightarrow \bar{X}\rightsquigarrow N(\mu, \sigma/\sqrt{n})\)

Aplicando dicho resultado tenemos que,

$$
\bar{X}=\text{«Renta media anual muestral} \qquad \bar{X}\rightsquigarrow N(\mu, 5/ \sqrt{100})=N(\mu,0’5)
$$

c) Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es \(\mu=24\), ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25?

Por el enunciado sabemos que

$$
\bar{X}\rightsquigarrow N(24,0’5)
$$

Nos preguntan por \(P(\bar{X}\geq 25)\). Tipificando obtenemos,

$$
P(\bar{X}\geq 25)=P(\frac{\bar{X}-24}{0’5}\geq \frac{ 25-24}{0’5})=P(Z\geq 2) =1-P(Z\leq 2)=1-0.9772=0’0228
$$

Donde se ha usado que \(Z\rightsquigarrow N(0,1)\)


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Carlos Martínez matemáticas y estadística Granada

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